结构力学第07章 位移法-2
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由结点1的力矩平衡条件 ∑M1=0 ：
M13+M12=0
1
M12
M13
10 iθ1 – 3FP a / 16 =0 解出： θ1 = 3FP a /160i
求各杆的杆端弯矩，作最后弯矩图。 M13=4i×(3FP a2 /160i)=3FP a /40 M31=2i×(3FP a2 /160i)=3FP a /80
n=nθ+n⊿= 4+2=6
举例： （1）等高刚架。
位移法： n=nθ+n⊿=6+2=8 力法：
位移法： n=nθ+n⊿=7+3=10 力法：
n=3×4=12
n=3×4=12
（2）刚架有组合结点
组合结点 位移法： n=nθ+n⊿=4+2=6 力法：
n=3+2=5 。
（3）刚架有刚性杆
(EI1=∞) n=nθ+n⊿=0+1=1 (EI1≠∞) n=nθ+n⊿=2+1=3
（2）、利用杆端弯矩的一 般公式（7-12）等，写出各杆 端弯矩的表达式。 令： EI1/a=i
θ1 1 a θ1
FP
EI2=2EI1
2
EI1
原结构Biblioteka Baidu
a/2
3 a/2
杆13： M13=4i13θ13+2i13θ31 - 6i13⊿13 /l+MF13 注意： θ13 = θ1 ， θ31= 0，⊿13= 0，MF13= 0
FP
60 FP l 552 183 FP l 552 66 FP l 552
总结：
• • • • 从计算过程可见，位移法的基本方程都是平 衡方程。 对应每一个转角未知量，有一个相应的结点 力矩平衡方程。 对应每一个独立的结点线位移未知量，有一 个相应截面上的剪力平衡方程。 直接平衡法—先拆后搭，根据结点或截面平 衡列基本方程。
C
原结构
E
E
n=nθ+n⊿=2+1=3
③、几何法，把刚结点 （包括固定端支座）变成铰 结点，则此铰结体系的自由 度数目即为原结构独立结点 线位移的个数。（将此机构 变为几何不变体系，所需加 上的最少链杆数，即为独立 线位移的个数。) 因为不考虑各杆长度 的改变，所以结点独立线 位移的个数，可以用几何 构造分析方法得出。
1、变形假定（传统）
（1）受弯直杆忽略轴向变形和剪切变形的影响。 （2）受弯直杆弯曲变形是微小的（小变形）。
① 假定弯曲后，杆端间距不变；
② 圆弧可用垂直于半径的一小段直线代替。
弯曲变形是微小的。
FP
Δ
1
Δ 2Δ
FP
1
2、位移法的基本未知量
1）刚结点转角位移。每个刚结点有一 个独立 的角位移未知量。
-6i/l θB +15i/l2⊿ - FP /2= 0 ( b)
FQCD
（3）解如下联立方程： 7i θB - 6i/l ⊿ +FP l/8=0 -6i/l θB +15i/l2⊿ - FP /2=0
F l 9 P 解得： B 552 i 2 22 FP l 552 i
（4）将θB 、⊿代入各杆杆端转角位移方程，即 得出各杆端弯矩。
作业（2版教材）：
P314 7-1 (a)(b) 7-2 (b)(d) 7-6 7-10
(EA=∞) n=nθ+n⊿=0+1=1 (EA≠∞) n=nθ+n⊿=0+2=2
（4）有斜杆的刚架
n=nθ+n⊿ =2+1=3 （分析计算较麻烦）
n=3+2=5 n=2+1=3
(α≠0) (α= 0 )
（5）考虑受弯直杆的轴向变形， 考虑受弯曲杆的变形情况
各杆 EI=c ， EA=c n=nθ+n⊿=2+4=6
M12=6i×(3FP a2 /160i)- 3FP a /16= - 3FP a /40
3FP a /40
1
FP
2
17FP a / 80
3
M图
3FP a / 80
2、有侧移刚架
举例说明。 （1）图示刚架有两个基本 未知量。 FP
B l/2
θB
θB
C Δ
l/2
EI=常数 A D
l
（2）利用公式（7-8）和（7-9），并叠加固端弯矩后， 可写出各杆端弯矩的表达式。 令：EI/l=i MBA= 4iθB – 6 i⊿ /l + FPl /8 MAB=2iθB –6i⊿ /l –FP l/8 MBC = 3i θB MDC= – 3i⊿ /l
各杆EI=c
n=nθ+n⊿=2+2=4
（ 6）
A 1
3
2
D
B
C
n= n +n⊿ =2+1=3
θ
注意13，32杆
（7）刚架有内力静定的杆件
E
E
B A D C
B
A
D
C
n= n +n⊿ =2+1=3
θ
n= n +n⊿ =2+0=2
θ
二、刚架的计算 （举例说明）
1、无侧移刚架
（1）、图示刚架有一 个基本未知量θ1。
§ 7-3 无侧移刚架的计算 § 7-4 有侧移刚架的计算
一、位移法基本未知量的确定 上一节讨论了杆端位移与杆端力之间的关系。 可以认为：如果结构上每根杆件的两端的角位移 和相对线位移成为已知，则由此可以得到整个结 构的所有内力。
各杆件是由结点联在一起的，杆端位移即为 结点位移。由此可知，位移法的基本未知量是刚 结点的角位移和结点线位移。
7iθB – 6 i/l ⊿ +FP l/ 8 = 0
(a)
与横梁水平位移相对应，截 取两柱顶以上部分为隔离体，考 FP 虑平衡条件∑Fx= 0
B l/2 l/2
θB
θB
C
Δ
FQBA+FQCD= 0
EI=常数 A D
l C
1 FP M A 0 FQBA l (M AB M BA ) 2 B 1 M D 0 FQCD l M DC FQBA
2）独立的结点线位移。 在传统的位移法中，由于考虑了杆件的变形 假定，结点独立线位移的确定有一定的难度。
判断方法：
①、一般刚架 （简单），可直接 观察判断。
n=nθ+n⊿ =2+1=3
②、附加链杆法，由两个已知不动点出发 （无线位移点），引出的两个不平行的受弯直杆 的相交点也不动。 控制所有结点成为不动点，所需添加的最少 链杆数，则为独立线位移的个数。 B A D F B A D C F
MBA= 4iθB – 6 i⊿ /l + FPl /8= – 27/552· FP l MAB=2i θB –6i⊿ /l –FP l/8 = -183/552· FP l MBC = 3i θB =27/552· FP l MDC= – 3i⊿ /l= – 66/552· FP l
27 FP l 552
MBA= 4iθB – 6 i⊿ /l + FPl / 8 MAB=2i θB –6i⊿ /l –FP l/ 8 MBC = 3i θB MDC= – 3i⊿ /l 由结点B的力矩平衡条件 ∑MB=0 ： MBA+MBC = 0
FP
B l/2 l/2
θB
θB
C
Δ
EI=常数 A D
l B
MBC MBA
M13=4iθ1
同理：M31=2i θ1
杆12：M12=3i12θ12 - 3i12⊿12 /l+MF12
M21=0 注意： θ12 = θ1 ，⊿12=0 MF12= - 3FP a /16
a
θ1 1
FP
EI2=2EI1
2
θ1 EI1
3
a/2 a/2
M12=3×2iθ1 – 3FP a / 16
M13+M12=0
1
M12
M13
10 iθ1 – 3FP a / 16 =0 解出： θ1 = 3FP a /160i
求各杆的杆端弯矩，作最后弯矩图。 M13=4i×(3FP a2 /160i)=3FP a /40 M31=2i×(3FP a2 /160i)=3FP a /80
n=nθ+n⊿= 4+2=6
举例： （1）等高刚架。
位移法： n=nθ+n⊿=6+2=8 力法：
位移法： n=nθ+n⊿=7+3=10 力法：
n=3×4=12
n=3×4=12
（2）刚架有组合结点
组合结点 位移法： n=nθ+n⊿=4+2=6 力法：
n=3+2=5 。
（3）刚架有刚性杆
(EI1=∞) n=nθ+n⊿=0+1=1 (EI1≠∞) n=nθ+n⊿=2+1=3
（2）、利用杆端弯矩的一 般公式（7-12）等，写出各杆 端弯矩的表达式。 令： EI1/a=i
θ1 1 a θ1
FP
EI2=2EI1
2
EI1
原结构Biblioteka Baidu
a/2
3 a/2
杆13： M13=4i13θ13+2i13θ31 - 6i13⊿13 /l+MF13 注意： θ13 = θ1 ， θ31= 0，⊿13= 0，MF13= 0
FP
60 FP l 552 183 FP l 552 66 FP l 552
总结：
• • • • 从计算过程可见，位移法的基本方程都是平 衡方程。 对应每一个转角未知量，有一个相应的结点 力矩平衡方程。 对应每一个独立的结点线位移未知量，有一 个相应截面上的剪力平衡方程。 直接平衡法—先拆后搭，根据结点或截面平 衡列基本方程。
C
原结构
E
E
n=nθ+n⊿=2+1=3
③、几何法，把刚结点 （包括固定端支座）变成铰 结点，则此铰结体系的自由 度数目即为原结构独立结点 线位移的个数。（将此机构 变为几何不变体系，所需加 上的最少链杆数，即为独立 线位移的个数。) 因为不考虑各杆长度 的改变，所以结点独立线 位移的个数，可以用几何 构造分析方法得出。
1、变形假定（传统）
（1）受弯直杆忽略轴向变形和剪切变形的影响。 （2）受弯直杆弯曲变形是微小的（小变形）。
① 假定弯曲后，杆端间距不变；
② 圆弧可用垂直于半径的一小段直线代替。
弯曲变形是微小的。
FP
Δ
1
Δ 2Δ
FP
1
2、位移法的基本未知量
1）刚结点转角位移。每个刚结点有一 个独立 的角位移未知量。
-6i/l θB +15i/l2⊿ - FP /2= 0 ( b)
FQCD
（3）解如下联立方程： 7i θB - 6i/l ⊿ +FP l/8=0 -6i/l θB +15i/l2⊿ - FP /2=0
F l 9 P 解得： B 552 i 2 22 FP l 552 i
（4）将θB 、⊿代入各杆杆端转角位移方程，即 得出各杆端弯矩。
作业（2版教材）：
P314 7-1 (a)(b) 7-2 (b)(d) 7-6 7-10
(EA=∞) n=nθ+n⊿=0+1=1 (EA≠∞) n=nθ+n⊿=0+2=2
（4）有斜杆的刚架
n=nθ+n⊿ =2+1=3 （分析计算较麻烦）
n=3+2=5 n=2+1=3
(α≠0) (α= 0 )
（5）考虑受弯直杆的轴向变形， 考虑受弯曲杆的变形情况
各杆 EI=c ， EA=c n=nθ+n⊿=2+4=6
M12=6i×(3FP a2 /160i)- 3FP a /16= - 3FP a /40
3FP a /40
1
FP
2
17FP a / 80
3
M图
3FP a / 80
2、有侧移刚架
举例说明。 （1）图示刚架有两个基本 未知量。 FP
B l/2
θB
θB
C Δ
l/2
EI=常数 A D
l
（2）利用公式（7-8）和（7-9），并叠加固端弯矩后， 可写出各杆端弯矩的表达式。 令：EI/l=i MBA= 4iθB – 6 i⊿ /l + FPl /8 MAB=2iθB –6i⊿ /l –FP l/8 MBC = 3i θB MDC= – 3i⊿ /l
各杆EI=c
n=nθ+n⊿=2+2=4
（ 6）
A 1
3
2
D
B
C
n= n +n⊿ =2+1=3
θ
注意13，32杆
（7）刚架有内力静定的杆件
E
E
B A D C
B
A
D
C
n= n +n⊿ =2+1=3
θ
n= n +n⊿ =2+0=2
θ
二、刚架的计算 （举例说明）
1、无侧移刚架
（1）、图示刚架有一 个基本未知量θ1。
§ 7-3 无侧移刚架的计算 § 7-4 有侧移刚架的计算
一、位移法基本未知量的确定 上一节讨论了杆端位移与杆端力之间的关系。 可以认为：如果结构上每根杆件的两端的角位移 和相对线位移成为已知，则由此可以得到整个结 构的所有内力。
各杆件是由结点联在一起的，杆端位移即为 结点位移。由此可知，位移法的基本未知量是刚 结点的角位移和结点线位移。
7iθB – 6 i/l ⊿ +FP l/ 8 = 0
(a)
与横梁水平位移相对应，截 取两柱顶以上部分为隔离体，考 FP 虑平衡条件∑Fx= 0
B l/2 l/2
θB
θB
C
Δ
FQBA+FQCD= 0
EI=常数 A D
l C
1 FP M A 0 FQBA l (M AB M BA ) 2 B 1 M D 0 FQCD l M DC FQBA
2）独立的结点线位移。 在传统的位移法中，由于考虑了杆件的变形 假定，结点独立线位移的确定有一定的难度。
判断方法：
①、一般刚架 （简单），可直接 观察判断。
n=nθ+n⊿ =2+1=3
②、附加链杆法，由两个已知不动点出发 （无线位移点），引出的两个不平行的受弯直杆 的相交点也不动。 控制所有结点成为不动点，所需添加的最少 链杆数，则为独立线位移的个数。 B A D F B A D C F
MBA= 4iθB – 6 i⊿ /l + FPl /8= – 27/552· FP l MAB=2i θB –6i⊿ /l –FP l/8 = -183/552· FP l MBC = 3i θB =27/552· FP l MDC= – 3i⊿ /l= – 66/552· FP l
27 FP l 552
MBA= 4iθB – 6 i⊿ /l + FPl / 8 MAB=2i θB –6i⊿ /l –FP l/ 8 MBC = 3i θB MDC= – 3i⊿ /l 由结点B的力矩平衡条件 ∑MB=0 ： MBA+MBC = 0
FP
B l/2 l/2
θB
θB
C
Δ
EI=常数 A D
l B
MBC MBA
M13=4iθ1
同理：M31=2i θ1
杆12：M12=3i12θ12 - 3i12⊿12 /l+MF12
M21=0 注意： θ12 = θ1 ，⊿12=0 MF12= - 3FP a /16
a
θ1 1
FP
EI2=2EI1
2
θ1 EI1
3
a/2 a/2
M12=3×2iθ1 – 3FP a / 16