第八节多元函数的极值及其求法
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第八节 多元函数的极值及其求法
1. 多元函数的极值与最值 2. 求条件极值的拉格朗日数乘法 3. 小结、作业
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一、多元函数的极值与最值
实例：某商店卖两种牌子的果汁，本地牌子每 瓶进价1元，外地牌子每瓶进价1.2元，店主估
计，如果本地牌子的每瓶卖 x元，外地牌子的 每瓶卖 y 元，则每天可卖出 70 5x 4 y 瓶本 地牌子的果汁，80 6x 7 y瓶外地牌子的果汁
盘8元，每盒磁带10元，问他如何分配这200 元以达到最佳效果．
问题的实质：求 U( x, y) ln x ln y 在条 件 8x 10 y 200下的极大值点．
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无条件极值：对自变量除了限制在定义范围外 并无其他附加条件. 条件极值：对自变量有附加条件（以方程组的
形式表示：
1( x1 ,
问：店主每天以什么价格卖两种牌子的果汁可 取得最大收益？
每天的收益为 f ( x, y) ( x 1)(70 5x 4 y) ( y 1.2)(80 6x 7 y)
求最大收益即为求二元函数的最大值.
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1、n元函数极值的定义
o
设 f (P) f ( x1, , xn ) 在某个U (P0 ) 上满足 f (P) f (P0 )，则称P0 为 f (P)的一个极大值点， f (P0 ) 为 f (P)的一个极大值。
22
22
z( 1 , 1 ) 1 , z( 1 , 1 ) 1 ,
22 2
22
2
又lim x
x2
x y y2 1
0
最大值为
1 ，最小值为 2
1
.
2
y
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二、条件极值、拉格朗日乘数法
实例： 小王有200元钱，他决定用来购买两 种急需物品：计算机磁盘和录音磁带。设他
购买 x 张磁盘，y盒录音磁带达到最佳效果， 效果函数为 U( x, y) ln x ln y．设每张磁
f x ( x0 , y0 ) 0; 类似地可证 f y ( x0 , y0 ) 0.
4/20
注意：驻点
极值点
定理 2（充分条件）
设 z f ( x, y)在( x0 , y0 ) 有连续的二阶偏导数， ( x0 , y0 ) 为驻点。记 f xx ( x0 , y0 ) A， f xy ( x0 , y0 ) B ， f yy ( x0 , y0 ) C ，
zxx zyy
Fra Baidu bibliotek
4zxx 4zyy
0 0
2
z
x
zy
2z
zxy
4zxy
0
A
zxx
|P
2
1
z
,
B zxy |P 0,
在驻点处， z 2 或 6,
zx zy 0
C
zyy
|P
2
1
z
,
6/20
故
AC
B2
1 (2 z)2
0
(z 2) ,
函数在P 有极值.
当z1
2时，A
1 4
0,
所以z f (1,1) 2为极小值；
*证 不妨设z f ( x, y)在点( x0 , y0 ) 处有极大值,
则在( x0 , y0 )的某去心邻域内，恒有 f ( x, y) f ( x0 , y0 ), 故当 y y0，x x0 时，
有 f ( x, y0 ) f ( x0 , y0 ), 说明一元函数 f ( x, y0 )在 x x0处有极大值,
, xn )
0
m ( x1 , , xn ) 0
条件极值的解法：
）的极值．
1、将条件方程（组）转化为函数关系，把条 件极值化为无条件极值；
2、用拉格朗日数乘法直接把条件极值化为无 条件极值。
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拉格朗日数乘法
设 f ( x1 , , xn )、Φ1( x1, ,xn )、 、Φm ( x1 , , xn ) C1D , Φ1、 、Φm 的Jaccobi行 列 式 在D上 处 处不 全为 零。那么，可按下面方法求出 f 在D上、在条件
z f ( x, y) 的极值.
解 将方程两边分别对x, y 求偏导，得
2x 2z zx 2 4zx 0 令 zx zy 0， 2 y 2z zy 2 4zy 0 得驻点 P(1,1),
将上方程组再分别对x, y 求偏导数，得
2
2
2(zx )2 2(zy )2
2z 2z
1( x1 , , xn ) 0
则：
（1） AC B2 0时 f ( x, y)在( x0 , y0 ) 处有极值，
当A 0时有极大值， 当A 0 时有极小值；
（2） AC B2 0时没有极值；
（3） AC B2 0时可能有极值,也可能没有极值．
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例1求 x2 y2 z2 2 x 2 y 4z 10 0 确定的
极大值、极小值统称为极值. 极大值点、极小值点称为极值点.
2、多元函数取得极值的条件
3/20
定理 1（必要条件）
若z f ( x, y)在点( x0 , y0 ) 具有偏导数，则它 在 点 ( x0 , y0 ) 处 有 极 值 该 点 为 驻 点 ： f x ( x0 , y0 ) 0， f y ( x0 , y0 ) 0.
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3、多元函数的最值
若 f (P ) 在 D 上最大值存在，则 f 在 D
上的最大值点只能是
D 所含的边界点； D的内点 D中(广义)极值点
D内的驻点； D内偏导数不全
存在的点。
max f (P) max{ max f (P), max f (P) }
PD
PD D
PD的 内 部
而 max f (P)
当z2
6 时， A
1 4
0,
所以z f (1,1) 6为极大值.
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求z f ( x, y)极值的一般步骤：
第一步：求出驻点（及偏导数不全存在的点）.
第二步：对于每一个驻点，求出二阶偏导数的值
A、B、C. 定出AC B2 的符号，再判定是否是极
值点. （此法判定不了的点及偏导数不全存在的点，用 定义或其他方法判定是否为极值点）.
PD的 内 部
max{ f (P) | P 为偏导数不全存在的点、驻点}
9/20
例2
求z
x2
x
y
y 2
的最大值和最小值.
1
解令
zx
(x2
y2 1) 2x( x ( x2 y2 1)2
y)
0,
( x2 y2 1) 2 y( x y)
zy
( x2 y2 1)2
0,
得驻点( 1 , 1 )和( 1 , 1 ),
1. 多元函数的极值与最值 2. 求条件极值的拉格朗日数乘法 3. 小结、作业
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一、多元函数的极值与最值
实例：某商店卖两种牌子的果汁，本地牌子每 瓶进价1元，外地牌子每瓶进价1.2元，店主估
计，如果本地牌子的每瓶卖 x元，外地牌子的 每瓶卖 y 元，则每天可卖出 70 5x 4 y 瓶本 地牌子的果汁，80 6x 7 y瓶外地牌子的果汁
盘8元，每盒磁带10元，问他如何分配这200 元以达到最佳效果．
问题的实质：求 U( x, y) ln x ln y 在条 件 8x 10 y 200下的极大值点．
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无条件极值：对自变量除了限制在定义范围外 并无其他附加条件. 条件极值：对自变量有附加条件（以方程组的
形式表示：
1( x1 ,
问：店主每天以什么价格卖两种牌子的果汁可 取得最大收益？
每天的收益为 f ( x, y) ( x 1)(70 5x 4 y) ( y 1.2)(80 6x 7 y)
求最大收益即为求二元函数的最大值.
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1、n元函数极值的定义
o
设 f (P) f ( x1, , xn ) 在某个U (P0 ) 上满足 f (P) f (P0 )，则称P0 为 f (P)的一个极大值点， f (P0 ) 为 f (P)的一个极大值。
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22
z( 1 , 1 ) 1 , z( 1 , 1 ) 1 ,
22 2
22
2
又lim x
x2
x y y2 1
0
最大值为
1 ，最小值为 2
1
.
2
y
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二、条件极值、拉格朗日乘数法
实例： 小王有200元钱，他决定用来购买两 种急需物品：计算机磁盘和录音磁带。设他
购买 x 张磁盘，y盒录音磁带达到最佳效果， 效果函数为 U( x, y) ln x ln y．设每张磁
f x ( x0 , y0 ) 0; 类似地可证 f y ( x0 , y0 ) 0.
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注意：驻点
极值点
定理 2（充分条件）
设 z f ( x, y)在( x0 , y0 ) 有连续的二阶偏导数， ( x0 , y0 ) 为驻点。记 f xx ( x0 , y0 ) A， f xy ( x0 , y0 ) B ， f yy ( x0 , y0 ) C ，
zxx zyy
Fra Baidu bibliotek
4zxx 4zyy
0 0
2
z
x
zy
2z
zxy
4zxy
0
A
zxx
|P
2
1
z
,
B zxy |P 0,
在驻点处， z 2 或 6,
zx zy 0
C
zyy
|P
2
1
z
,
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故
AC
B2
1 (2 z)2
0
(z 2) ,
函数在P 有极值.
当z1
2时，A
1 4
0,
所以z f (1,1) 2为极小值；
*证 不妨设z f ( x, y)在点( x0 , y0 ) 处有极大值,
则在( x0 , y0 )的某去心邻域内，恒有 f ( x, y) f ( x0 , y0 ), 故当 y y0，x x0 时，
有 f ( x, y0 ) f ( x0 , y0 ), 说明一元函数 f ( x, y0 )在 x x0处有极大值,
, xn )
0
m ( x1 , , xn ) 0
条件极值的解法：
）的极值．
1、将条件方程（组）转化为函数关系，把条 件极值化为无条件极值；
2、用拉格朗日数乘法直接把条件极值化为无 条件极值。
12/20
拉格朗日数乘法
设 f ( x1 , , xn )、Φ1( x1, ,xn )、 、Φm ( x1 , , xn ) C1D , Φ1、 、Φm 的Jaccobi行 列 式 在D上 处 处不 全为 零。那么，可按下面方法求出 f 在D上、在条件
z f ( x, y) 的极值.
解 将方程两边分别对x, y 求偏导，得
2x 2z zx 2 4zx 0 令 zx zy 0， 2 y 2z zy 2 4zy 0 得驻点 P(1,1),
将上方程组再分别对x, y 求偏导数，得
2
2
2(zx )2 2(zy )2
2z 2z
1( x1 , , xn ) 0
则：
（1） AC B2 0时 f ( x, y)在( x0 , y0 ) 处有极值，
当A 0时有极大值， 当A 0 时有极小值；
（2） AC B2 0时没有极值；
（3） AC B2 0时可能有极值,也可能没有极值．
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例1求 x2 y2 z2 2 x 2 y 4z 10 0 确定的
极大值、极小值统称为极值. 极大值点、极小值点称为极值点.
2、多元函数取得极值的条件
3/20
定理 1（必要条件）
若z f ( x, y)在点( x0 , y0 ) 具有偏导数，则它 在 点 ( x0 , y0 ) 处 有 极 值 该 点 为 驻 点 ： f x ( x0 , y0 ) 0， f y ( x0 , y0 ) 0.
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3、多元函数的最值
若 f (P ) 在 D 上最大值存在，则 f 在 D
上的最大值点只能是
D 所含的边界点； D的内点 D中(广义)极值点
D内的驻点； D内偏导数不全
存在的点。
max f (P) max{ max f (P), max f (P) }
PD
PD D
PD的 内 部
而 max f (P)
当z2
6 时， A
1 4
0,
所以z f (1,1) 6为极大值.
7/20
求z f ( x, y)极值的一般步骤：
第一步：求出驻点（及偏导数不全存在的点）.
第二步：对于每一个驻点，求出二阶偏导数的值
A、B、C. 定出AC B2 的符号，再判定是否是极
值点. （此法判定不了的点及偏导数不全存在的点，用 定义或其他方法判定是否为极值点）.
PD的 内 部
max{ f (P) | P 为偏导数不全存在的点、驻点}
9/20
例2
求z
x2
x
y
y 2
的最大值和最小值.
1
解令
zx
(x2
y2 1) 2x( x ( x2 y2 1)2
y)
0,
( x2 y2 1) 2 y( x y)
zy
( x2 y2 1)2
0,
得驻点( 1 , 1 )和( 1 , 1 ),