振动力学(梁的横向振动)

x1
2
2 sin i x dx Al l
v 2 A 2l sin i sin i x1
l i 2l
l
v 2 A sin i x1
l
l
qi
(t)
qi 0
cos
it
qi 0
i
sin
it
弹性体的振动
3. 对外激励的响应 （1）分布干扰力
设干扰力密度为f(x,t), 和前面杆的外激励受迫振 动响应推动方法一样。利用标准化振型函数Fi，得到 标准坐标下的解耦方程
求出后得i 到固i2a有频i2率
EI
A
,
(i 1, 2
)
Φ振(x型) 为 C1 sin x C2 cos x C3 sh x C4 ch x
C
sin
x
sh
x
sin l sh l ch l cos l
(cos
x
ch
x)
弹性体的振动
Φ(x) C1 3 cos x C2 3 sin x C3 3 ch x C4 3 sh x
求出后得到固有频率
i i2a i2
EI ,
A
(i 1, 2
)
弹性体的振动
振型为
Φ(x) C1 sin x C2 cos x C3 sh x C4 ch x
C1
sin
x
sin ch l
l sh cos
l l
C1
cos
x
C1
sh
x
sin ch
l l
sinh l cos l
对于均匀梁，振动方程为
a2 4u 2u 0 x4 t 2
其中
a EI
A
弹性体的振动
假定有分离变量形式的解存在，令
u(x,t) Φ(x)q(t)
代入方程得到
a2
2 x2
q(t)
d 2Φ(x)
dx2
Φ(x)
d 2q(t) dt 2
写为
a2
2 x2
d 2Φ(x)
dx2
d 2q(t) dt 2
2 dx
i2M i
弹性体的振动
梁在激励力作用下的响应
和一维波动方程一样，用振型叠加法求响应
u(x, t) qi (t)Φ(i) (x) i 1
1. 标准坐标（正则坐标） 对振型函数按下式条件正则化
l
0i Aidx Mi 1
弹性体的振动
2. 对初始激励的响应 设初始条件为
u(x, 0) u0 (x)
弹性体的振动
取微段梁dx，截 面上的弯矩与剪力为 M和Q，其正负号的 规定和材料力学一样。
则微段梁dx沿z方向的运动方程为：
Q
Q
Q x
dx
fdx
Adx
2u t 2
弹性体的振动
即
Q x
A
2u t 2
f
利用材料力学中的关系
Q M x
M EI 2u x2
得到梁的弯曲振动方程
2 x2
EI
1
2
l2
EI
A
i
l
xk
k
即
xk
kl , i
(k 1, 2 i 1)
2
4 2
l2
EI
A
3
9 2
l2
EI
A
弹性体的振动
【例2】求两端固定梁弯曲振动的固有频率与固有振型。
解：边界条件为挠度和转角为0，即
Φ(0) 0,Φ(0) 0 Φ(l) 0,Φ(l) 0
代入特征方程的解得到
C2 C4 0, 以及
2
Φ(x)
q(t)
弹性体的振动
则有
d
2q(t dt 2
)
2
q(t
)
0
d
4Φ ( x) dx4
4Φ ( x)
（称为特征方程）
其中
4
2
a2
弹性体的振动
方程的通解为
Φ(x) C1 sin x C2 cos x C3 sh x C4 ch x
q(t) C5 sin t C6 cost
x)
i2
A(x)Φi (x)
弹性体的振动
考虑边界条件为简支、自由、固定的情
况，梁端点的位移、弯矩或剪力为0，则
l
0 j
d2 dx2
EI
d 2i
dx2
dx
l EI d 2i
0 dx2
d 2 j dx
dx2
l 0
i2
A
i
j
dx
对第j阶振型进行上面类似的运算得：
l
0i
d2 dx2
EI
C1
ch
x
C
sin
x
sh
x
sin l sh l ch l cos l
(cos
x
ch
x)
弹性体的振动
【例3】求左端固定、右端用刚度为k的弹簧支承的 均匀梁弯曲振动的频率方程。
解：左端的边界条件为挠度和转角为0
Φ(0) 0,Φ(0) 0
弹性体的振动
解：左端的边界条件为挠度和转角为0
Φ(0) 0,Φ(0) 0
将其按标准振型展开
u( x, t ) t
t 0
u0 (x)
u(x, 0) u0 (x) q0iΦi i 1
u(x, 0) u0 (x) q0iΦi i 1
弹性体的振动
用Aj左乘上两式，并积分得
l
l
q0i 0 AΦ jΦidx q0i 0 AΦiu(x, 0)dx
i 1
弹性体的振动
【例4】长为l的均匀简支梁初始静止，设在x＝x1处的 微段d上有初始速度v，求系统对此初始条件的响应。
解： （1）固有频率与相应的固有振型为
i
i
l
2
EI
A
Φi
(
x)
Ci
sin
i
l
x
（2）由正规化条件
l
0 Φi AΦidx 1
确定系数Ci
l 0
Ci
sin
i
l
x
A
Ci
sin
i
l
x
dx
弹性体的振动
右端的边界条件：弯矩为0，剪力等于弹性力
Φ(l) 0
Q dM EIq d 3Φ
dx
dx3
qkΦ(l)
xl
弹性体的振动
Φ(l) 0
Q
dM dx
EIq
d 3Φ dx3
qkΦ(l)
xl
代入特征方程的解
Φ(x) C1 sin x C2 cos x C3 sh x C4 ch x
弹性体的振动
振动力学
------弹性体的振动
弹性体的振动
梁的横向振动
仅讨论梁在主平面内的平面弯曲振动。这种振 动只有当梁存在主平面的情形才能发生，并符合材 料力学中梁弯曲的小变形假设和平面假设。
弹性体的振动
1、运动微分方程
在梁的主平面上取坐标xoz，原点位于梁的左端截 面的形心，x轴与梁平衡时的轴线重合。假设梁在振 动过程中，轴线上任一点的位移u(x,t)均沿z轴方向。
qi i2qi
l
0 f (x, y)Φidx
利用杜哈美积分得
1
qi i
l
0 Φi
t
0 f (x, ) sin[i (t )]d dx
弹性体的振动
（4）响应
u(x,t) qi (t)Φi (x) i 1
i 1
qi0
cos it
qi0
i
sin it
2 sin i x Al l
求得 C3 C1
C2
C4
sin l sh l ch l cos l
C1
弹性体的振动
讨论：
（1）k＝0时，频率方程变为 ch l cos l 1 0
即为悬臂梁的情况。 （2）k趋于无穷大时，频率方程变为
ch l sin l cos l sh l 0
或
tan l th l
即为左端固定，右端简支的情况。
qi i2qi
l
0 F (x, t) (x x1)Φidx Φi (x1)F (t)
总响应为
u(x,t)
Φi (x)Φi (x1)
i 1
i
t
0 F ( ) sin[i (t )]d
弹性体的振动
（3）集中力偶（不推导，只给出结果）
设在x＝x1处受集中力M(t), 这时有
qi
Φi( x1 )
l
l
q0i 0 AΦ jΦidx q0i 0 AΦiu(x, 0)dx
i 1
标准坐标下的初始激励响应
qi
(t)
qi 0
cos it
qi 0
i
sin
it
弹性体的振动
物理坐标下的响应
u( x, t )
i1
Φi (x) qi0
cos it
qi0
i
sin it
弹性体的振动
响应求解步骤： （1）根据边界条件求解固有频率和固有振型; （2）利用标准化条件确定振型中的常数因子; （3）将初始条件变换到标准坐标; （4）求标准坐标下的响应; （5）求物理坐标下的响应。
(C1 C3) 0
C1 sin l C2 cos l C3 sh l C4 ch l 0 C1 cos l C2 sin l C4 sh l C3 ch l 0
弹性体的振动
求得 C3 C1
C2
C4
sin l sh l ch l c o s l
C1
化简后得到频率方程
cos l ch l 1
弹性体的振动
【思考题】 证明图示悬臂梁在x＝l处的边界条件为：
EI
2u( x, t ) x2
xl
k0
u ( x, t ) x
xl
3u( x, t )
EI
ku(l,t)
x3
xl
弹性体的振动
关于振型函数的正交性
和一维波动方程振型函数的正交性类似。第i阶 特征值满足
d2 dx2
EI (x)
d
2Φi ( dx2
d 2
dx2
j
dx
l
EI
0
d 2i
dx2
d 2
dx2
j
dx
l 0
2 j
A
i
j
dx
弹性体的振动
用j左乘上式两端，并积分
l
0
j
d2 dx2
EI
d 2i
dx2
dx
j
d dx
EI
d 2i
dx2
l 0
l 0
d dx
EI
d 2i
dx2
j dx
j
d dx
EI
d 2i
dx2
l 0
EI
u(0, t )
0,
EI
2u( x, t ) x2
0
x0
（3）自由端：弯矩和剪力为0，即
EI
2u( x, t ) x2
x0
0,
x
EI
2u(x,t)
x2
x0
0
其它边界条件用类似的方法给出。
弹性体的振动
2、梁弯曲自由振动的解
令振动方程中的干扰力为0，得到
2 x2
EI
2u x2
A
2u t 2
d 2i
dx2
d j
dx
l
0
l
EI
0
d 2i
dx2
d 2
dx2
j
dx
弹性体的振动
上两式相减得
则 i＝j时
(i2
2 j
)
l
0 Ai jdx 0
l
0 Ai jdx 0 (i j)
l
0 Aiidx M i
l
0i
d2 dx2
EI
d 2i
dx2
dx
Βιβλιοθήκη Baidu
l 0
EI
d 2i
dx2
将边界条件代入得到
C2 C4 0, (C1 C3) 0
C1 sin l C2 cos l C3 sh l C4 ch l 0
EI (C1 3 cos l C2 3 sin l C3 3 ch l C4 3 sh l)
k(C1 sin l C2 cos l C3 sh l C4 ch l)
2 v
l
i1
1
i
sin
i x
l
sin
i x1
l
sin it
总响应为
u(x,t) Φi
i1 i
l
0 Φi
t
0 f (x, ) sin[i (t )]d dx
弹性体的振动
（2）集中力 设在x＝x1处受集中力F(t), 这时可以用函数表示
为分布形式：F(x,t)dx (x-x1), 方程变为
i
t
0 M ( ) sin i (t )d
总响应为
u(x,t) Φi (x)Φi(x1)
以及
Φ(x) C1 cos x C2 sin x C4 sh x C3 ch x
Φ(x) C1 2 sin x C2 2 cos x C3 2 sh x C4 2 ch x
弹性体的振动
进一步化k简后得 到3 频率c方h 程l cos l 1
EI
ch l sin l cos l sh l
以及
C1 sin l C3 sh l 0
C1 2 sin l C3 2 sh l 0
则
C3 0
以及频率方程
sin l 0
由此解得
i
i
l
,
(i 1, 2
)
弹性体的振动
所以固有频率 振型为
i
Φ(i) (x)
i2a
i2
l2
2
C sin i x
EI ,
A
C sin
(i
i x
l
1,
2
)
第i阶振型有i－1 个节点。节点坐标
0
xl
(x) C1 sin x C2 cos x C3 sh x C4 ch x
以及
Φ(x) C1 2 sin x C2 2 cos x C3 2 sh x C4 2 ch x
弹性体的振动
得到 则
C2 C4 0, C2 C4 0
2 (C2 C4 ) 0
由特征方程，利用边界条件即可求出振型函数 F(x)和频率方程，进一步确定系统的固有频率wi。用 四个边界条件只能确定四个积分常数之间的比值。
弹性体的振动
【例1】 求简支梁弯曲振动的固有频率与固有振型。
解：边界条件为挠度和弯矩为0。
Φ
(0)
0,
d 2Φ dx2
0
x0
代入特征方程的解
Φ(l
)
0,
d 2Φ dx2
2u
x2
A
2u t 2
f
弹性体的振动
边界条件
和一维波动方程一样，要使弯曲振动微分方程 成为定解问题，必需给出边界条件和初始条件。
梁的每一端必须给出两个边界条件(以左端为例)。 （1）固定端：挠度和转角为0，即
u(0,t) 0, u(x,t) 0 x x0
弹性体的振动
（2）简支端：挠度和弯矩为0，即
1
弹性体的振动
求得 所以
Ci
2
Al
Φi (x)
2 sin i x Al l
（3）初始条件。按题意
u(x, 0) 0,
u t
t0
v 0
x1
2
x
x1
2
弹性体的振动
变换到主坐标下
l
qi0 0 AΦiu0 (x)dx 0
l
qi0 0 AΦiu0 (x)dx
A v x1
2