用数轴表示不等式的解集
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教学案例:用数轴表示不等式的解集
背景
对于集合的基本运算,如果是具体给定的集合,学生大都能顺利完成,如下题: 设全集是实数集R ,}1|{},22|{<=≤≤-=x x N x x M ,则N M I 等于( )
(A )]2,(-∞ (B )),1(+∞- (C )),1[+∞- (D )[– 1,1]
即使不用数轴帮忙,要得出正确答案也不难。然而,一旦引入参数后,学生便束手无策了,如:
已知集合}|{},21|{a x x N x x M ≤=<≤-=,若?≠N M I ,那么a 的取值范围是( )
(A )a ≥ – 2 (B )a > – 1 (C )a ≥ – 1 (D )– 1 ≤ a ≤ 1
选A 或D 的大有人在,问其理由,有的说不知道,用猜的;有的说凭直觉,观察M 、N 后感觉应是A 。遗憾的是竟很少有学生能借助数轴来分析,缺少图形意识的居多,不知道如何画图的也是普遍存在的问题。
经过深入了解发现,学生的思维依然停留在初中的定量分析中,对于具体数值的运算,解决起来得心应手。参数的引进大大加深了思维的难度,但这却是高中数学的重要内容,绝不可因其难度大而弃之不顾。
解决策略
1、数形结合、几何直观等数学思想方法,是数学和数学学习中的重要思想方法,它们对于理解数学、对于数学的思考和学习都是十分重要的,在整个高中阶段的数学学习中,数形结合贯穿始终。从学生的角度看,数形结合是难点,也是学生比较害怕的思想方法。因此,在高中数学新课程的学习中,我们决定从最基本的图形入手,在课堂中大量渗透直观感知的理念,通过长期的、不间断的学习,让图形的魅力根深蒂固地在学生的脑海里扎根。而数轴正是学习数形结合的开始。
2、在初中数学学习中,主要是进行定量的探究,所给问题都有具体的数字运算,高中与初中最大的区别是引入了变量,在运动变化过程中研究其规律,训练学生的数学思维。但思维的形成不是一朝一夕能解决的,应渗透于高中数学教与学的全过程,教师应善于捕捉每
_2
_
_一个细节,尽可能地引导学生积极思考、主动探究,逐渐形成良好的数学思维品质。我们不求三两节课便能使学生的思维有一个质的飞跃,也不求学完了本节课后学生能非常熟练解决含参问题,只想通过参数变化的情形,让学生初步了解变量的深刻意义,为后继的分类讨论的学生埋下伏笔。
案例设计
一、温故知新
复习:一元一次不等式a x > b 的解法:a > 0时,a b x >;a < 0时,a
b x <。 例:解下列不等式组,并把解集用数轴表示出来。(师生互动)
(1)???-<->+x x x x 410915465; (2)?????-+≥-+-≤+-)
3)(3()1(322211x x x x x x 。 〖知识提炼〗不等式组的解:大大取较大,小小取较小,大小小大中间取,大大小小解不了。
问题:用数轴如何表示?
二、案例探究
1、呈现案例 已知集合}|{},21|{a x x N x x M ≤=<≤-=,求N M I 。
2、学生探究
3、结论剖析
(1)当1- (3)当2≥a 时,}21|[<≤-=x x N M I 。 4、预备问题 (1)为什么要对a 进行讨论?如何讨论? (2)端点值 – 1与2应如何处理? 三、案例拓展 已知集合A = {x | – 1 < x < 2},B = {x | a < x < b },试讨论A 与B 的关系。 预计获得的结论: (1)b ≤ – 1或a ≥ 2时,?=B A I ; (2)– 1 ≤ a < b ≤ 2时,A B B B A ??=I ; (3)a ≤ – 1且b ≥ 2时,A B A B A ??=I ; (4)– 1 ≤ a < 2且b > 2时,}2|{<<=x a x B A I ; (5)a < – 1且– 1 < b ≤ 2时,}1|{b x x B A <<-=I 。 案例分析与反思 (1)本案例在引入中复习了一元一次不等式的解法,结合数轴并给出两个习题,学生通过对原有知识的提炼与升华,明确用数轴表示不等式组的方法,为以下的学习打下基础。 (2)学生的自主探究与其数学基础素质有着较大的联系,能主动学生、积极思考的都是具有良好数学基础的学生,而对于数学学习上的困难生,他们仅是在教师的注视下象征性地思考问题,更多的是等待教师给出现成的答案。因此,学生智力的差异给数学探究带来了较大的挑战,大班教学也使得探究未能尽如人意,教师能倾听的仅是一部分学生的心声,更多的人则由于自身素质或胆量较小而充当了旁观者。虽然在课堂上我们留出了足够的时间让学生寻找解决问题的策略,鼓励学生通过独立思考、合作交流等形式参与数学学习活动,并尽可能让学生发表自己的见解,但时间仍显相当的拮据,尚未把问题分析清楚便下课了,令人有意犹未尽的感觉,而学生的基础则更是探究的障碍,本校学生经中考筛选后,大多数初中知识很不完整,课堂能听懂就已经很了不起了,谈何思考与探究呢?而对学生的沉默与冷眼旁观,我们常有英雄无用武之地的感慨。 但我并不气馁,数学学习需要长期的潜移默化,学生才能养成良好的学习习惯。在以后的课堂教学中,我们仍应坚持引导学生探究,自主发现数学结论,经历数学知识发生的过程,循序渐进地让学生适应这种学习方式,学会数学地思考问题。 (3)令我们欣慰的是,拓展的问题仍有不少学生自觉去完成,除了在端点值的处理略有欠缺外,基本上能完整解答。因此,加强数学思维能力的训练应在课堂教学中时刻关注并适时渗透,哪怕只有三、五个学生能接受,也应不言放弃,并希望以“星星之火”,经过三年的强化,让更多的学生提高数学素质。 【教学目标】1. 2. 通过教学,渗透数形结合的思想和由一般到特殊的辩证唯物主义观点. 3. 培养学生合作交流的意识和乐于探究的良好思维品质,让学生从数学学习活动中获得成功的体验,树立自信心. 【教学重点】用区间表示数集. 【教学难点】对无穷区间的理解. 【教学方法】本节课主要采用数形结合法与讲练结合法.通过不等式介绍闭区间的有关概念, 并与学生一起在数轴上表示两种不同的区间,学生类比得出其它区间的记法.在此基础上引导学生用区间表示不等式的解集,为学习用区间法求不等式组的解集打下坚实的基础. 【教学过程】教师提问: (1) 用不等式表示数轴上的实数范围; (2) 把不等式1≤x ≤5在数轴上表示出来.设 a ,b 是实数,且 a <b . 满足 a ≤x ≤b 的实数 x 的全体,叫做闭区间,记作 [a ,b ],如图. a , b 叫做区间的端点.在数轴上表示一个区间时,若区间包括端点,则端点用实心点表示;若区间不包括端点,则端点用空心点表示. 全体实数也可用区间表示为(-∞,+∞),符号“+∞”读作“正无穷大”,“-∞”读作“负无穷大”. 例1用区间记法表示下列不等式的解集: (1) 9≤x ≤10; (2) x ≤0.4.解 (1) [9,10]; (2) (-∞,0.4]. 练习1 用区间记法表示下列不等式的解集,并在数轴上表示这些区间: (1) -2≤x ≤3; (2) -3<x ≤4;(3) -2≤x <3; (4) -3<x <4;(5) x >3; (6) x ≤4. 例2 用集合的性质描述法表示下列区间:(1) (-4,0); (2) (-8,7]. 解 (1) {x | -4<x <0};(2) {x | -8<x ≤7}. 练习2 用集合的性质描述法表示下列区间,并在数轴上表示这些区间: (1) [-1,2); (2) [3,1]. 例3 在数轴上表示集合{x |x <-2或x ≥1}. x 1 -1 10数轴(表示不等式的解) 一、选择题: 1.一个不等式的解集为﹣1<x≤2,那么在数轴上表示正确的是() A. B. C. D. 2.不等式2x﹣4≥0的解集在数轴上表示正确的是() A. B. C. D. 3.把某不等式组中两个不等式的解集表示在数轴上,如图所示,则这个不等式组可能是() A. B. C. D. 4.如图,在数轴上表示某不等式组中的两个不等式的解集,则该不等式组的解集为() A.x<4 B.x<2 C.2<x<4 D.x>2 5.不等式2(x+1)<3x的解集在数轴上表示出来应为() A. B. C. D. 6.不等式2x﹣6>0的解集在数轴上表示正确的是() A. B. C. D. 7.解集在数轴上表示为如图所示的不等式组是() A. B. C. D. 8.若关于x的不等式x﹣m≥﹣1的解集如图所示,则m等于() A.0 B.1 C.2 D.3 9.不等式:2x+1≥3的解集在数轴上表示正确的是() A. B. C. D. 10.如图,图中阴影部分表示x的取值范围,则下列表示中正确的是() A.x>﹣3<2 B.﹣3<x≤2 C.﹣3≤x≤2 D.﹣3<x<2 11.不等式组:的解集在数轴上可表示为() A. B. C. D. 12.在数轴上表示不等式2x﹣6≥0的解集,正确的是() A. B. C. D. 13.将不等式组的解集在数轴上表示出来,应是() A. B. C. D. 14.已知关于x的不等式2x+m>﹣5的解集如图所示,则m 的值为() A.1 B.0 C.﹣1 D.﹣2 15.不等式组的解集在数轴上表示,正确的是() A. B. C. D. 16.已知关于x的不等式2x﹣m>﹣3的解集如图,则m的值为() A.2 B.1 C.0 D.﹣1 17.若不等式组的解集为﹣1≤x≤3,则图中表示正确的是() A. B. C. D. 18.满足﹣1<x≤2的数在数轴上表示为() A. B. C. D. 19.在数轴上表示不等式x>﹣2的解集,正确的是() A. B. C. D. 20.如图,用不等式表示数轴上所示不等式组的解集,正确的是() 利用数轴确定一元一次不等式组的解集 利用数轴来确定一元一次不等式组的解集,就是利用数形结合的思想,将抽象转化为直观。在确定一元一次不等式组的解集教学中用数轴来帮助找解集,便于学生接受理解,并能直观完美、准确无误的找到解集,对于一元一次不等式组中参数字母的时候,利用数轴解决问题更直观、更准确。 利用数轴来确定一元一次不等式组的解集分三步曲——求解、画图、定解集。 第一步分别求出不等式组中每个不等式的解集,即求解; 第二步画数轴分别表示出每一个不等式的解集,即画图; 最后在数轴上找出各个不等式解集的公共部分,即定解集。 下面我们就通过几道例题,体验借助数轴的好处: 例1、请确定下列一元一次不等式组的解集: 解:由①得: x >3 由②得: x ≥-1 画数轴表示不等式组的解集: 学生很容易从数轴上观察出这一元一次不等式组解集的公共部分:x >3,所以确定这个不等式组的解集:x >3。(简记“同大取大”) x +1≥0 ② x -3>0 ① ○ ● 例2、请确定下列一元一次不等式组的解集: 解:由①得: x ≤-1 由②得: x <1 画数轴表示不等式组的解集: 学生很容易从数轴上观察出这一元一次不等式组解集的公共部分:x ≤-1,所以确定这个不等式组的解集:x ≤-1。(简记“同小取小”) 例3、请确定下列一元一次不等式组的解集: 解:由①得: x >-2 由②得: x ≤2 画数轴表示不等式组的解集: 学生很容易从数轴上观察出这一元一次不等式组解集的公共部分:-2<x ≤2,所以确定这个不等式组的解集:-2<x ≤2。(简记2x +3<5 ② 2x +5≤9 ② ○ ● ○ ● x +1≤0 ① 3x +6>0 ① 1.1二次函数定义导学案 【学习目标】 1、通过对实际问题的分析,体会二次函数的意义。 2、初步理解二次函数的概念。 3、进一步体验建立函数模型的方法。 【学习过程】 一、回顾旧知 1、大家还记得我们学过哪些函数吗? 2、它们是如何定义的? 3、我们分别从哪些方面对它们进行了研究? 二、合作探究 (一)提出问题 问题1:现有1根长12米的绳子,用它围城一个矩形,你所围城的矩形面积S与矩形的宽度x有什么样的关系?试写出它们的关系式. 问题2:某种型号的电脑两年前的销售价为6000元,现降价销售,如果每年的平均降价率为x ,怎样用x 来表示该型号电脑现在的售价y (元)? 思考:问题1与问题2中所列出的关系式有何共同特点? (二)自主学习教材P 3 归纳定义: 形如______________(其中a,b,c 是______ , _____≠0)的函数叫做二次函数. _____叫做二次项,_______为二次项系数;________为一次项系数;c 叫作常数项。我们把2y ax bx c =++叫作二次函数的__________. 三、 新知应用 1、把二次函数y =(2-3x )(6+9x )化为一般式为;二次项系数为;一次项系数为常数项为__________. 2、已知函数 (2)34m y m x x =++-为关于自变量x 的二次函数,则m=______. 3、写出下列函数的表达式,并指出其属于那种函数类型 (1)正方形的面积S关于它的边长x的函数; (2)圆的周长C关于它的半径r的函数; (3)圆的面积S关于它的半径r的函数 (4)当菱形的面积S一定时,它的一条对角线的长度y 关于另一条对角线的长度x的函数 4、已知二次函数2 =++,当x=1时,函数值是4;当 y x px q x=2时,函数值是-5.求这个二次函数的解析式 三、课堂小结 1、理解二次函数的定义,掌握二次函数的一般形式; 2、在建立二次函数模型的时候,我们应该注意自变量的取值范围。 四、过关检测 1、下列函数中,哪些是二次函数? 用数轴表示正、负数 一、教材分析: 本节课教材结合活动情境,引入了在数轴上表示从一点向两个相反方向运动后的情形,即在数轴上表示正数、0和负数的内容。 二、教学目标 (一)借助数轴初步理解正数、0、负数;初步体会数轴上数的顺序,完成对数的结构的初步构建以及正数与负数的比较。 (二)培养学生抽象思维能力和数学思维。 三、教学重点、难点 教学重点: 借助直线初步理解正数、0、负数。 教学难点: 充分理解正数、0、负数,能正确比较大小。 四、教学准备: 课件 五、教学过程 (一)情景导入 出示主题图。 教师用白板课件演示教材第5页的主题图。 (二)揭示课题,探究新知。 1.如何在一条直线上表示出他们运动后的情况呢? (1)学生尝试画直线表示。 (2)教师巡视课堂,了解情况。引导学生用数轴表示。 (3)学生汇报,教师启发、引导,投影出示例题2 以大树为起点,向东为正,向西为负,教师在黑板上画好直线,在相应的点上用小图片代表大树和学生。 2.怎样用数表示这些学生和大树的相对位置关系? (1)让学生把直线上的点和正负数对应起来。 (2)学生回答,教师在相应点的下方标出对应的数,再让学生说说 直线上其他几个点代表的数,让学生对数轴上的点表示的正负数 形成相对完整的认识。 -3m -2m -1m 0 1m 2m3m 大树 (3)总结:像这样规定了原点、正方向和单位长度的直线直线叫 数轴。 3.在数轴上表示出-1.5,如果你想从起点到-1.5处,应如 何运动? (1)学生口头回答,教师板书配合说明。 (2)如果从-2处到2处,应如何运动? (3)引导学生观察: A、从0起往右依次是?从0起往左依次是?你发现什么规律? 6.5在数轴上表示不等式的解集常考题 一、选择题(共24小题) 1、(2009?河池)一个不等式的解集为﹣1<x≤2,那么在数轴上表示正确的是() A、B、 C、D、 2、(2008?重庆)不等式2x﹣4≥0的解集在数轴上表示正确的是() A、B、 C、D、 3、(2008?河北)把某不等式组中两个不等式的解集表示在数轴上,如图所示,则这个不等式组可能是() A、B、 C、D、 4、(2007?武汉)如图,在数轴上表示某不等式组中的两个不等式的解集,则该不等式组的解集为() A、x<4 B、x<2 C、2<x<4 D、x>2 5、(2007?内江)不等式2(x+1)<3x的解集在数轴上表示出来应为() A、B、 C、D、 6、(2007?金华)不等式2x﹣6>0的解集在数轴上表示正确的是() A、B、 C、D、 7、(2007?福州)解集在数轴上表示为如图所示的不等式组是() A、B、 C、D、 8、(2006?宿迁)若关于x的不等式x﹣m≥﹣1的解集如图所示,则m等于() A、0 B、1 C、2 D、3 9、(2006?泸州)不等式:2x+1≥3的解集在数轴上表示正确的是() A、B、 C、D、 10、(2006?柳州)如图,图中阴影部分表示x的取值范围,则下列表示中正确的是() A、x>﹣3<2 B、﹣3<x≤2 C、﹣3≤x≤2 D、﹣3<x<2 11、(2006?衡阳)不等式组:的解集在数轴上可表示为() A、B、 C、D、 12、(2006?长春)在数轴上表示不等式2x﹣6≥0的解集,正确的是() A、B、 C、D、 13、(2005?盐城)将不等式组的解集在数轴上表示出来,应是() A、B、 C、D、 14、(2005?黄石)已知关于x的不等式2x+m>﹣5的解集如图所示,则m的值为() A、1 B、0 C、﹣1 D、﹣2 15、(2003?桂林)不等式组的解集在数轴上表示,正确的是() A、B、 C、D、 16、(2003?常州)已知关于x的不等式2x﹣m>﹣3的解集如图,则m的值为() 用数轴表示正、负数 教学目标 1.在数轴上表示正数、0和负数,初步渗透数轴的概念,体会数轴上正、负数的排列规律。 2.提高学生应用数学的能力,使学生感受数学和生活的密切联系,激发学生学习数学的兴趣。 3.增加学生的自然知识,产生热爱自然的情感。 重难难点 重点:体会在数轴上正、负数的排列规律。 难点:初步了解数轴,体会数轴上正、负数的排列规律。 教具学具 课件、直尺。 教学过程 一、创设情境,激趣导入 师:同学们,请大家拿出自己的直尺,仔细观察后与小组同学交流,说一说你发现了什么。 学生进行观察和小组交流活动;教师巡视了解情况。 师:把你的发现跟大家说一说吧! 学生可能会说: 我发现直尺上越往右边的数字越大。 我发现直尺上的数除了0以外,都是正数。 我发现直尺上每相邻两个数字之间的间隔一样大。 …… 师:从刚才的观察中,我们已经知道,可以把0和正数在直线上用点表示出来,那么我们能不能把负数也在直线上用点表示出来呢?今天我们就一起来研究这个问题。 【设计意图:从实例出发,激发学生学习兴趣,引入新课的教学】 二、探究体验,经历过程 师:请同学们看图,图中的四个同学以大树为起点,分别向东、西两个方向走。如何在一条直线上表示他们行走的距离和方向呢?跟小组同学说说你的想法。(课件出示:教材第5页例3图) 学生进行小组交流;教师巡视了解情况。 师:把你们讨论的结果跟大家说一说。 生1:他们两人向东,两人向西,走的方向正好相反。 生2:正数与负数正好可以表示相反意义的量。 生3:我们可以以大树为起点,向东为正,那么向西就为负。 生4:用0表示起点;0右边的数就是正数;0左边的数就是负数。 …… 师:根据大家的发言,请同学们自己在一条直线上表示出他们行走的距离和方向吧。 学生自己解决问题;教师巡视了解情况。 组织学生交流展示: 师:你能在直线上表示出-1.5吗?如果你想从起点到-1.5处,应如何运动?试一试自己能解答吗? 学生尝试独立解答问题;教师巡视了解情况,指导个别有困难的学生。 组织学生交流订正,(可以先找到1.5的点,再用相同的方法在反方向上找到-1.5对应的点)只要学生叙述合理就要给予肯定和鼓励。 师:我们可以像这样在直线上表示出正数、0和负数,像这样的直线我们把它叫做数轴。脱离具体情境,把数轴上的点和正、负数对应起来,可以更直观地体会到数轴上正、负数的排列规律。 【设计意图:经历观察、思考、分析、概括、抽象的过程,发展学生数形结合的观念】 三、课末总结,梳理提升 师:在本节课的学习中,你有哪些收获? 学生自由交流各自的收获、体会。 板书设计 用数轴表示正、负数 负数<0<正 课堂作业新设计 A类 1.说出A.B.C.D.E表示的数。 一、选择题: 1.一个不等式的解集为﹣1 A.?B. C. D. 12.在数轴上表示不等式2x﹣6≥0的解集,正确的是( ) A. B. C.D. 13.将不等式组的解集在数轴上表示出来,应是( ) A.?? B. C.? D. 14.已知关于x的不等式2x+m>﹣5的解集如图所示,则m的值为() A.1B.0 C.﹣1 ?D.﹣2 15.不等式组的解集在数轴上表示,正确的是( ) A.B. C.?D. 16.已知关于x的不等式2x﹣m>﹣3的解集如图,则m的值为( ) A.2? B.1 C.0?D.﹣1 17.若不等式组的解集为﹣1≤x≤3,则图中表示正确的是( ) A. B. C. D. 18.满足﹣1<x≤2的数在数轴上表示为( ) A.B. C.D. 19.在数轴上表示不等式x>﹣2的解集,正确的是() A. B.C.?D. 20.如图,用不等式表示数轴上所示不等式组的解集,正确的是( ) A.x<﹣1或x≥﹣3?B.x≤﹣1或x>3 C.﹣1≤x<3D.﹣1<x≤3 21.不等式组的解集在数轴上可表示为() A.?B.C.??D. 22.下图所表示的不等式组的解集为( ) 班级:课时:2授课时间:年月日 课题:§2.2.1不等式的解集与区间 目的要求: 掌握区间的概念,会用区间表示相关的集合,通过数形结合的方法,培养 学生的观察能力和数学思维能力. 重点难点: 教学重点是掌握区间的概念,掌握写区间的方法与技巧. 教学难点是理解无穷区间的概念,会对区间端点的进行取舍. 教学方法及教具: 采用讲授法、讨论法与观察法相结合完成教学,多媒体设备与作图工具辅 助教学. 教学反思: 作业或思考题: (1)读书部分:复习教材中§2.2.1; (2)书面作业:修改课堂练习并完成学习手册第 49 50 页中强化练习 1—3. 教学过程 *揭示新知识 数学和诗歌一样,有着独特的简洁美.我们在初中 学过不等式、在第一章学习了集合描述法,有没有更简 洁的表示范围的方法呢? 这就是我们将要研究学习的 2.2.1 不等式的解集与区间. *创设情景新知识导入 提出问题 某段高速公路规定汽车的行驶速度有限制,最低速度为 60km/ h ,最高速度为 120km / h ,如何表示汽车的行驶速度的范围? 解决问题 不等式: 60 v 120; 集合:v 60 v 120 ; 数轴:位于60与120 之间的一段包括端点的线段. 归纳小结教师学生设计 时间活动活动意图 05 介绍倾听点明教分钟说明了解学内容 05 播放观看通过实分钟课件课件例引导 质疑思考学生探 索新知 识,并 启发学 生体会 引导自我区间的 分析建构表示. 除了用集合描述法表示行驶速度范围,如何用更简 洁的形式表示? * 观察思考探索新知25 不等式的概念归纳探究通过不分钟 等式解 在含有未知数的不等式中,能使不等式成立的未知集概念 数值的全体所构成的集合,叫做不等式的解集.和及其表示方 不等式解集的表示方法法的讲 ( 1)性质描述法讲解理解解,引 导学生 例如:不等式 2 5x 0 的解集可表示为 理解区x 间的概 2 5x 0 .念,为 x x 后续学 ( 2)区间表示法 习做准强调记忆备. ①有限区间 设 a, b R,且a b . ? 1.如图,数轴上所表示关于的不等式组的解集是() A. B. C. D. ? 2.已知不等式组的两个不等式的解集在数轴上如图表示,那么这个不等式组的解集为() A. B. D. C. 3.一个不等式组的解集在数轴上的表示如图,则这个不等式组的解集是() A. B. C. D. ? 4.不等式组的解集在数轴上表示为如图,则原不等式组的解集为() A. B. C. D. ? 5.如图,在数轴上表示某不等式组中的两个不等式的解集,则该不等式组的解集为() B. A. ? 6.如图,在数轴上表示某不等式组中的两个不等式的解集,则该不等式组的解集为() A. B. C. D. ? 7.如图,在数轴上表示某不等式组中的两个不等式的解集,则该不等式组的解集为() A. B. C. D. ? 8.把一个不等式组的解集表示在数轴上,如图所示,那么这个不等式组的解集是() A. B. C. D. ? 9.把一个不等式组的解集表示在数轴上,如图所示,则该不等式组的解集为() A. B. C. D. ? 10.不等式组的解集在数轴上可以表示为() A. B. C. D. ? 11.不等式组的解集在数轴上可以表示为() A. B. C. D. ? 12.不等式组的解集在数轴上可表示为()A. B. C. D. ? 13.不等式组的解集在数轴上可表示为() A. B. C. D. ? 14.不等式组的解集在数轴上的正确表示是() A. B. C. D. ? 15.如果一个不等式组的解集在数轴上的表示如图所示,则该不等式组的解集是() A. B. C. D. ? 16.已知点在第四象限,则的取值范围在数轴上表示正确的是() A. B. C. D. ? 17.已知点在第一象限,则的取值范围在数轴上表示正确的是() A. B. 第二课时用数轴表示正负数导学案 学习目标: 1、认识数轴,理解数轴表示正负数的意义,会用数轴上的点表示正负数;同时能够由数轴上的点说出其所表示的数。 2、能够正确比较负数的大小 3、初步体会数轴上数的顺序,完成对数的结构的初步构建。 4、使学生体验数学和生活的密切联系,激发学生学习数学的兴趣,培养学生应用数学的能力。 教学重难点: 1、认识数轴,并会用数轴上的点表示正负数和0 2、能够正确比较负数的大小 3、理解比较负数大小的方法 预习学案: 1、读数,指出哪些是正数,哪些是负数?说一说你是怎样判断的? -8 5.6 +0.9 0 -82 2、如果+20%表示增加20%,那么-6%表示。 3、某日傍晚,黄ft的气温由上午的零上2 摄氏度下降了7 摄氏度,这天傍晚黄ft的气温是()摄氏度。 导学案: (一)教学例3: 1、怎样在数轴上表示数?(1、 2、 3、 4、 5、 6、7) 2、游戏中体会运动变化中的负数 看课本P5 页,出示例3,学生观察后提问:如何在一条直线上表示他们运动后的情况呢? 观察课本内容回答:(数轴的画法) (1)以为起点,用表示,即原点用。 (2)向为正,向为负,即0 的边为正,正的方向用表示,边为负。 (3)每一格的长度有什么关系? 通过观察让学生试着在下面空白处画数轴并表示-4、-2、0、3、4 几个点。 (4)在数轴上表示出-1.5。如果你想从起点到-1.5 处,应如何运动? 如果从-2 处到2 处,应如何运动? 总结:我们可以像这样在直线上表示出正数、0 和负数,像这样的直线我们叫数轴。 (二)看课本P6 页,教学例4: 2 3、学生交流比较的方法。 4、通过小精灵的话,引出利用数轴比较数的大小规定: 即所有的负数都在0 的()边,也就是负数都比0(),而正数都比0(),负数都比正数()。 5、再让学生进行比较,利用学生的具体比较来说明“-8 在-6 的左边,所以-8〈- 6” 6、在下面空白处把未来一周每天的最高气温在数轴上表示出来。 再通过数轴比较“8>6,但是-8<-6”,使学生初步体会两负数比较大小时,绝对值大的负数反而小。 7、总结:负数比0 小,正数比0 大,负数比正数小。 课堂检测: 一、做课本P7 页第1、2、3 题。 二、填空题: 1、若下降5 米记作-5 米,那么上升8 米记作(),不升不降记作()。 2、如果向东走为正,那么-50 米表示();如果向南为正,那么走-50 又表示()。 3、如果每格表示2 米,小华开始的位置在0 处。 A、小华从0 点向东行5 米,表示为+5 米,那么从0 点向西行3 米,表示为()米。 B、如果小华的位置是+6 米,说明他是向()行()米。 C、小华先向东行5 米,又向西行8 米,这时小华的位置在()米处。 三、比较下面每组数的大小 -3○2 -5○4 0○-8 -0.5○-1.5 6○-6 0○8 课后作业 1、比较大小。 -6○0.6 -9○9 0○-2 在数轴上表示不等式的解集常考题 一、选择题(共24小题) 1、(2009?河池)一个不等式的解集为﹣1<x≤2,那么在数轴上表示正确的是() A、B、 C、D、 2、(2008?重庆)不等式2x﹣4≥0的解集在数轴上表示正确的是() A、B、 C、D、 3、(2008?河北)把某不等式组中两个不等式的解集表示在数轴上,如图所示,则这个不等式组可能是() A、B、 C、D、 4、(2007?武汉)如图,在数轴上表示某不等式组中的两个不等式的解集,则该不等式组的解集为() A、x<4 B、x<2 C、2<x<4 D、x>2 5、(2007?内江)不等式2(x+1)<3x的解集在数轴上表示出来应为() A、B、 C、D、 6、(2007?金华)不等式2x﹣6>0的解集在数轴上表示正确的是() A、B、 C、D、 7、(2007?福州)解集在数轴上表示为如图所示的不等式组是() A、B、 C、D、 8、(2006?宿迁)若关于x的不等式x﹣m≥﹣1的解集如图所示,则m等于() A、0 B、1 C、2 D、3 9、(2006?泸州)不等式:2x+1≥3的解集在数轴上表示正确的是() A、B、 C、D、 10、(2006?柳州)如图,图中阴影部分表示x的取值范围,则下列表示中正确的是() A、x>﹣3<2 B、﹣3<x≤2 C、﹣3≤x≤2 D、﹣3<x<2 11、(2006?衡阳)不等式组:的解集在数轴上可表示为() A、B、 C、D、 12、(2006?长春)在数轴上表示不等式2x﹣6≥0的解集,正确的是() A、B、 C、D、 13、(2005?盐城)将不等式组的解集在数轴上表示出来,应是() A、B、 C、D、 14、(2005?黄石)已知关于x的不等式2x+m>﹣5的解集如图所示,则m的值为() A、1 B、0 一、选择题: 1.一个不等式的解集为﹣1<x≤2,那么在数轴上表示正确的是() A. B. C. D. 2.不等式2x﹣4≥0的解集在数轴上表示正确的是() A. B. C. D. 3.把某不等式组中两个不等式的解集表示在数轴上,如图所示,则这个不等式组可能是() A. B. C. D. 4.如图,在数轴上表示某不等式组中的两个不等式的解集,则该不等式组的解集为() A.x<4 B.x<2 C.2<x<4 D.x>2 5.不等式2(x+1)<3x的解集在数轴上表示出来应为() A. B. C. D. 6.不等式2x﹣6>0的解集在数轴上表示正确的是() A. B. C. D. 7.解集在数轴上表示为如图所示的不等式组是() A. B. C. D. 8.若关于x的不等式x﹣m≥﹣1的解集如图所示,则m等于() A.0 B.1 C.2 D.3 9.不等式:2x+1≥3的解集在数轴上表示正确的是() A. B. C. D. 10.如图,图中阴影部分表示x的取值范围,则下列表示中正确的是() A.x>﹣3<2 B.﹣3<x≤2 C.﹣3≤x≤2 D.﹣3<x<2 11.不等式组:的解集在数轴上可表示为() A. B. C. D. 12.在数轴上表示不等式2x﹣6≥0的解集,正确的是() A. B. C. D. 13.将不等式组的解集在数轴上表示出来,应是() A. B. C. D. 14.已知关于x的不等式2x+m>﹣5的解集如图所示,则m的值为() A.1 B.0 C.﹣1 D.﹣2 15.不等式组的解集在数轴上表示,正确的是() A. B. C. D. 16.已知关于x的不等式2x﹣m>﹣3的解集如图,则m的值为() A.2 B.1 C.0 D.﹣1 17.若不等式组的解集为﹣1≤x≤3,则图中表示正确的是() A. B. C. D. 18.满足﹣1<x≤2的数在数轴上表示为() A. B. C. D. 19.在数轴上表示不等式x>﹣2的解集,正确的是() A. B. C. D. 20.如图,用不等式表示数轴上所示不等式组的解集,正确的是() A.x<﹣1或x≥﹣3 B.x≤﹣1或x>3 C.﹣1≤x<3 D.﹣1<x≤3 21.不等式组的解集在数轴上可表示为() A. B. C. D. 22.下图所表示的不等式组的解集为() A.x>3 B.﹣2<x<3 C.x>﹣2 D.﹣2>x>3 23.关于x的不等式﹣2x+a≤2的解集如图所示,那么a的值是() A.﹣4 B.﹣2 C.0 D.2 5 课题:一元一次不等式的解法及在数轴上表示不等式的解集 学习主题:1、能进一步熟练掌握一元一次不等式的解法; 2 、能掌握一元一次不等式解集在数轴上的表示方法,且能在数轴上正确表示出不等式解集。 课堂结构 自研探究环节合作探究环节 自学指导 (内容?学法) 互动策略 (内容?形式) 展示提升环节 质疑评价环节 展示方案 (内容?方式) 总结归纳环节 随堂笔记 (成果记录?知识生成?同步演练) 主题一【知识链接】 1、什么叫数轴?数轴的三要素是什么: 问题分析2、作一条数轴并在数轴上找出3与-3这两点,并说说比-3 大的数在-3的哪一边,比-3小的数在-3的哪一边? 3、那么不等式的解集能否在数轴上表示出来呢? 主题二、【问题探究】 1、阅读教材P141 “动脑筋”及P142例2,完成下面的内容: (1)、解不等式5X>10,并把它的解集在数轴上表示出来。 结论:在数轴上定边界点时,若不等号是“〉”或“<” 则边 界点为(空心或实心)____________________ 圆圈. (2)、解不等式4X-3 < 2X+7,并把它的解集在数轴上表示 出来。 在组长的安 排下确定:板书 组,展示组和培辅 组。 展示组(4-6 人),根据主题 一、二、三的内 容,梳理展示流 程,选好展示主持 人,做好任务分 工,进行展示预 展。 板书组(2 人)结合展示内容 和展示需要,进行 板书设计和版面规 划。 培辅组(2-3 人)寻求帮助解决 疑难 (质疑补充组) 师生对学合作学习 建议:交流自我探 究中各自有什么区 别和联系? 主题二:关注 全体学生的合 作探究效能。 关注对基础知 识的理解程 度。 关注知识点类 型的思路和方 法,总结与归 纳。 重点识记: 1、什么是数轴三要素: 2、如何确定数轴上不等式解集的边界点是空心 圆圈还是实心圆圈: 3、如何确定解集在数轴上的方向: 问 题处理结论:在数轴上定边界点时,若不等号是 _______________ 则边界点为实心圆圈。 (3)、在以向右为正方向的数轴上的点,其右边的点表示 的数比该点表示的数____________ ;其左边的点表示的数 比该点表示的数______ 。 主题三【自我探究?例题导析】阅读教材P142例3,完成下面 例题. 1 例1:当X取什么值时,代数式- X+2的值大于 2 或等于0?并求出所有满足条件的正整数解,且将解集在数轴 上表示出来。- 建议:科研组长 收集本组的互动 难点和疑点,准 备展示后的质 疑,适当进行拓 展和延伸。 主题三:展示 本组成果,并 比较课本例题 的思路。 展示例题的方 法,并理清例 题的思路,规 范板书展示的 解答全过程。 【同类演练?巩固提升】 已知3m 2x m 31是关于X的一元一次不 等式. (1)、求m的值; (2)、求出不等式的解集,并将解集在数轴上表 示出来; 反馈性展示:展示流程 目标聚焦点在黑板,全班搜索问 题,并争论纠错; 相互纠错,补充完善; 规范书写并完成同类演练。 等级评定:__________ 在数轴上表示不等式的解集常考题(详细的 答案解析) 6.5在数轴上表示不等式的解集常考题 一、选择题(共24小题) 1、(2009?河池)一个不等式的解集为﹣1<x≤2,那么在数轴上表示正确的是() A、B、 C、D、 2、(2008?重庆)不等式2x﹣4≥0的解集在数轴上表示正确的是() A、B、 C、D、 3、(2008?河北)把某不等式组中两个不等式的解集表示在数轴上,如图所示,则这个不等式组可能是() A、B、 C、D、 4、(2007?武汉)如图,在数轴上表示某不等式组中的两个不等式的解集,则该不等式组的解集为() A、x<4 B、x<2 C、2<x<4 D、x>2 5、(2007?内江)不等式2(x+1)<3x的解集在数轴上表示出来应为() A、B、 C、D、 6、(2007?金华)不等式2x﹣6>0的解集在数轴上表示正确的是() A、B、 C、D、 7、(2007?福州)解集在数轴上表示为如图所示的不等式组是() A、B、 C、D、 8、(2006?宿迁)若关于x的不等式x﹣m≥﹣1的解集如图所示,则m等于() A、0 B、1 C、2 D、3 9、(2006?泸州)不等式:2x+1≥3的解集在数轴上表示正确的是() A、B、 C、D、 10、(2006?柳州)如图,图中阴影部分表示x的取值范围,则下列表示中正确的是() A、x>﹣3<2 B、﹣3<x≤2 C、﹣3≤x≤2 D、﹣3<x<2 11、(2006?衡阳)不等式组:的解集在数轴上可表示为() A、B、 C、D、 12、(2006?长春)在数轴上表示不等式2x﹣6≥0的解集,正确的是() A、B、 4.3.2 用数轴表示一元一次不等式的解集 教学目标 1进一步熟练掌握一元一次不等式的解法;2掌握不等式解集在数轴上的表示 方法,能正确的表示出解集。 教学重点、难点 重点:熟练的解一元一次不等式,并把解集表示在数轴上。 难点:在数轴上正确的表示不等式的解集。 教学过程 1解下列不等式 1 (1)7 (4-x)-2(4-3x)<4x (2)x- 3x 8 2 10 x , 1 2 7 2解一元一次不等式的依据是什么?有哪些步骤?与解一元一次方程有哪些相同之处和不同之处? 3在数轴上表示:(1)-3 (2)大于3的数 (3)不大于3的数, (4)小于5的数 (5)大于-2而不大于4的数 ——I ]■_?_■一■丄」. (2) -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 数可以用数轴上的点来表示,数轴上的点可以表示数,这样数和形就紧密 的结合起来了,,一元一次不等式的解集能否用数轴上的点来表示呢?下面我们 来研究这个问题。 二 合作交流,探究新知。 1用数轴上的点来表示不等式的解集 动脑筋:(1)不等式3x>6的解集是什么? 解:两边同除以 _______ ,得:x ________ (2) 不等式3x>6的解集有多少个?包括3吗? (3) 分布在数轴上的什么位置? (4) 怎样在数轴上表示3x>6的解呢? (5) 把3x>6改为3x > 6,怎样在数轴上表示其解集呢? (6) 把3x>6改为3x<6在数轴又怎样表示其解集呢? (7) 有上可知,在数轴上表示不等式的解集时是怎样区别“ >”与 ?怎样区别“ >”与“<”的呢? (3)- -4-3 -2 -1 0 1 2 3 4 (4) -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 (5) -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 -4-3 -2 - 1 0 1 2 3 4 -4 -3 -2 -1 0 -4-3 -2 -1 0 1 2 3 4 2考考你: (1)把下列不等式的解集在数轴上表示出来: ①x>-1; ② x > -1 ; ③ x<4; ④ x < 4 , ⑤-2 V x < 4, ⑥ 0 < 不等式的证明规律及重要公式总结 重 要 公式 1、2 2 2 )2 ( ,2b a ab ab b a +≤≥+(可直接用)ca bc ab c b a ++≥++?222 2、),(1122 22 2+∈+≥≥+≥+R b a b a a b b a b a (要会证明) 3、0(3333≥++≥++c b a abc c b a 即可) 4、33abc c b a ?≥++,3 )3 ( c b a abc ++≤;),,(+∈R c b a 5、||||||||||b a b a b a +≤+≤-,),,(R c b a ∈ 证明方法 方法一:作差比较法: 已知:1=++c b a ,求证:3 1222≥++c b a 。 证:左-右=)1333(31222-++c b a ])(333[3 12 2221c b a c b a ++-++====的代换 0])()()[(31 222≥-+-+-=a c c b b a 方法二:作上比较法,设a 、b 、c +∈R ,且c b a ≠≠,求证:b a a c c b c b a c b a c b a +++>222 证:a c c b b a b c a c a b c b c a b a b a a c c b c b a a c c b b a c c b b a a c b a c b a ---------+++??===)()()(222右左 当a>b>0时1)(0,1>?>->? -b a b a b a b a 当0?<-∈?-b a b a b a b a ∴ 不论a>b 还是a-b a b a ,同理可证,1)(>-c b c b ,1)(>-a c a c ,…… 方法三:公式法:设a>0,b>0,且a+b=1,求证: ①814 4 ≥ +b a ②2 25)1()1(22≥+++b b a a 证①由公式:2 2222)2 (222B A B A B A B A +≥+?+≥+得: 8 1 161])2[()2(2442222244≥+?=+≥+≥+b a b a b a b a 1.如图,数轴上所表示关于的不等式组的解集是() A. B. C. D. 2.已知不等式组的两个不等式的解集在数轴上如图表示,那么这个不等式组的解集为() A. B. C. D. 3.一个不等式组的解集在数轴上的表示如图,则这个不等式组的解集是() A. B. C. D. 4.不等式组的解集在数轴上表示为如图,则原不等式组的解集为() A. B. C. D. 5.如图,在数轴上表示某不等式组中的两个不等式的解集,则该不等式组的解集为() A. B. C. D. 6.如图,在数轴上表示某不等式组中的两个不等式的解集,则该不等式组的解集为() A. B. C. D. 7.如图,在数轴上表示某不等式组中的两个不等式的解集,则该不等式组的解集为() A. B. C. D. 8.把一个不等式组的解集表示在数轴上,如图所示,那么这个不等式组的解集是() A. B. C. D. 9.把一个不等式组的解集表示在数轴上,如图所示,则该不等式组的解集为( ) A. B. C. D. 10.不等式组的解集在数轴上可以表示为( ) A. B. C. D. 11.不等式组的解集在数轴上可以表示为( ) A. B. C. D. 12.不等式组的解集在数轴上可表示为( ) A. B. C. D. 13.不等式组的解集在数轴上可表示为( ) A. B. C. D. 14.不等式组的解集在数轴上的正确表示是( ) A. B. C. D. 15.如果一个不等式组的解集在数轴上的表示如图所示,则该不等式组的解集是( ) A. B. C. D. 16.已知点在第四象限,则的取值范围在数轴上表示正确的是( ) A. B. C. D. 17.已知点在第一象限,则的取值范围在数轴上表示正确的是( ) A. B. C. D. 课题:不等式的概念及数轴表示 二次备课案 一、示标 学习目标:1. 了解不等式概念,理解不等式的解及解集,能利用数轴正确表示 不等式的解集 2. 通过数轴表示不等式的解集,渗透数形结合的思想. 3.类比一元一次方程,理解一元一次不等式的概念,并会解简单 的一元一次不等式。 学习重点:1.用不等式表示不等关系。 2.不等式解集的数轴表示。 教学难点:不等式解集的数轴表示。 二、导学 一.生活中的不等式 例:一辆匀速行驶的汽车在11:20距离A 地50千米,要在12:00之前驶过A 地,车速应该满足什么条件? 分析:设车速为x 千米/时 1.从时间上看,汽车要在12:00之前驶过A 地,则以这个速度行驶50千米所用的时间不到 3 2 小时,用式子表示 2.从路程上看,汽车要在12:00之前驶过A 地,则以这个速度行驶 3 2 小时的路程要超过50千米,用式子表示 上面2个式子从不同角度表示了车速应满足的条件。 2.不等式的概念。 用符号 、 或 表示的式子叫不等式。 练习:用不等式表示下列的句子 1.a 是正数; 2.a 是负数; 3.a 与5的和小于7; 4.a 与2的差大于-1; 5.a 的4倍大于8; 6.a 的一半小于3; 3.一元一次不等式的概念 类似于一元一次方程,含有 未知数,未知数的次数是 的不等式,叫做一元一次不等式。 4.不等式的解 请你写出不等式 3 2 50?x 未知数x 的3个取值 。 即当x= 时,不等式成立。 我们把使 叫做不等式的解。 5.不等式的解集 判断下列数中是不等式503 2?的解的有 76,73,79,80,74.9,75.1,90,60 你还 (可以/不可以)找出这个不等式的其他解吗? 这个不等式有 个解。 可以发现,当 时,不等式503 2?总成立;而当 或 时,不等式5032?不成立。这就是说,任何一个 的数都是不等式503 2?的解,这样的解有 个。因此, 表示了能使不等式503 2?成立的x 的取值范围,叫做不等式503 2?的解的集合,简称解集。 6.不等式解集的数轴表示。 不等式503 2?的解集是 这个解集用数轴表示为: 注意:在表示75的点在画空心圆圈,表示不包括这一点。 归纳:用数轴表示不等式解集的一般步骤是: 1 。 2 。 3 。 练习:1.把下面不等式的解集在数轴上表示出来。 1>x 1≥x 1- 湘教版八上数学第2课时用数轴表示一元一次不等式的解 集 【知识与技能】 1.进一步熟练掌握一元一次不等式的解法; 2.掌握不等式解集在数轴上的表示方法,能正确地表示出解集. 【过程与方法】 通过对一元一次方程的解法的复习和对不等式的性质的利用,导入对解不等式的讨论. 【情感态度】 通过类比一元一次方程的解法,从而更好地掌握一元一次不等式的解法,树立辩证唯物主义思想. 【教学重点】 熟练地解一元一次不等式,并把解集表示在数轴上. 【教学难点】 在数轴上正确地表示不等式的解集. 一、情景导入,初步认知 1.解下列不等式: (1)7(4-x)-2(4-3x)<4x (2) () 210 38 1 27 x x x - - -≤+ 2.解一元一次不等式的依据是什么?有哪些步骤?与解一元一次方程有哪些相同之处和不同之处? 3.数可以用数轴上的点来表示,数轴上的点可以表示数,这样数和形就紧密地结合起来了,一元一次不等式的解集能否用数轴上的点来表示呢?下面我们来研究这个问题. 【教学说明】既能对以前所学内容复习,又能给本节课的教学打好基础. 二、合作探究,探索新知 1.如何在数轴上表示不等式3x>6的解集呢? 【分析】解得这个不等式的解集为x>2,先在数轴上标出表示2的点A,则点A右边所有的点表示的数都大于2,而点A左边所有的点表示的数都小于2,因此可以像下图这样表示3x>6的解集x>2. 【教学说明】强调:把表示2的点A画成空心圆圈,表示解集不包括2. 2.解不等式12-6x≥2(1-2x),并把它的解集在数轴上表示出来. 解:12-6x≥2(1-2x) 12-6x≥2-4x -6x+4x≥2-12 -2x≥-10 x≤5 原不等式的解集在数轴上表示如图所示: 【教学说明】强调:解集x≤5这包含5,所以在数轴上将表示5的点画成实心圆点. 三、运用新知,深化理解 1.教材P142例3. 2.解不等式,并把解集在数轴上表示出来. (1)211015 5 364 x x x -+ -≥-. 解:去分母,得4(2x-1)-2(10x+1)≥15x-60,整理,得-27x≥-54, 系数化为1,得x≤2. 解集在数轴上表示为: (2) 431 1 32 x x +- -> 解:x+43-3x-12>1 去分母,得2(x+4)-3(3x-1)>6不等式的解集与区间
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