2020版高考数学一轮复习 第七章 解析几何 第6讲 双曲线课时作业 理

第6讲 双曲线

1．(2015年湖南)若双曲线x

2

a

2－y 2

b

2＝1的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为( )

A.73

B.54

C.43

D.53

2．(2017年新课标Ⅱ)若a ＞1，则双曲线x 2a

2－y 2

＝1的离心率的取值范围是( )

A ．(2，＋∞) B．(2，2) C ．(1，2) D ．(1,2)

3．如图X7­6­1，F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2

b

2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，过焦点F 1

的直线l 与C 的左、右两支分别交于A ，B 两点．若|AB |∶|BF 2|∶|AF 2|＝3∶4∶5，则双曲

线的离心率为( )

图X7­6­1

A.13

B.15 C ．2 D. 3

4．(2017年新课标Ⅰ)已知F 是双曲线C ：x 2

－y 2

3

＝1的右焦点，P 是C 上一点，且PF

与x 轴垂直，点A 的坐标是(1,3)，则△APF 的面积为( )

A.13

B.12

C.23

D.32 5．(2015年新课标Ⅰ)已知M (x 0，y 0)是双曲线C ：x 2

2

－y 2

＝1上的一点，F 1，F 2是C 上的

两个焦点，若MF 1→·MF 2→

<0，则y 0的取值范围是( )

A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33

B.⎝ ⎛

⎭⎪⎫－36

，36

C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－2 23，2 23

D.⎝

⎛⎭⎪⎫

－2 33，2 33

6．(2016年天津)已知双曲线x 24－y 2

b

2＝1(b >0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半

径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A ，B ，C ，D 四点，四边形ABCD 的面积为2b ，则双

曲线的方程为( )

A.x 24－3y 24＝1

B.x 24－4y 2

3

＝1 C.x 24－y 28＝1 D.x 24－y 2

12

＝1 7．(2017年黑龙江哈尔滨质检)已知双曲线x 2

－y 2

24

＝1的两个焦点为F 1，F 2，P 为双曲线

右支上一点．若|PF 1|＝4

3

|PF 2|，则△F 1PF 2的面积为( )

A ．48

B ．24

C ．12

D ．6

8．(2017年山东)在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 2a 2－y 2

b

2＝1(a >0，b >0)的右支与焦点

为F 的抛物线x 2

＝2py (p >0)交于A ，B 两点，若|AF |＋|BF |＝4|OF |，则该双曲线的渐近线方

程为______________．

9．(2016年上海)双曲线x 2

－y 2

b

2＝1(b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，直线l 过F 2且与双曲线交于A ，B 两点．

(1)若l 的倾斜角为π

2

，△F 1AB 是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；

(2)设b ＝3，若l 的斜率存在，且|AB |＝4，求直线l 的斜率．

10．(2016年江西上饶横峰中学第一次联考)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2

b

2＝1(a ＞0，b ＞0)与圆

O ：x 2＋y 2＝3相切，过双曲线C 的左焦点且斜率为3的直线与圆O 相切．

(1)求双曲线C 的方程；

(2)P 是圆O 上在第一象限内的点，过P 且与圆O 相切的直线l 与C 的右支交于A ，B 两点，△AOB 的面积为3 2，求直线l 的方程．

第6讲 双曲线

1．D 解析：因为双曲线x 2a 2－y 2b

2＝1的一条渐近线经过点(3，－4)，∴3b ＝4a .∴9(c 2

－

a 2)＝16a 2.∴e ＝c a ＝5

3

.故选D.

2．C 解析：双曲线x 2a 2－y 2＝1的离心率e ＝a 2＋1a ＝1＋1

a

2< 2.故选C.

3．A 解析：设|AB |＝3x ，|BF 2|＝4x ，|AF 2|＝5x ，

所以|BF 1|＝2a ＋4x ，|AF 1|＝5x －2a .所以|AB |＝4a －x ＝3x .解得a ＝x .所以|BF 1|＝6a ，

|BF 2|＝4a .由题意有36a 2

＋16a 2

＝4c 2

，c 2

a

2＝13，e ＝13.

4．D 解析：由c 2＝a 2＋b 2＝4，得c ＝2，所以F (2,0)．将x ＝2代入x 2

－y 2

3

＝1，得y

＝±3.所以|PF |＝3.又点A 的坐标是(1,3)，故△APF 的面积为12×3×(2－1)＝3

2

.故选D.

5．A 解析：由题设知，F 1(－3，0)，F 2(3，0)，x 20

2

－y 2

0＝1，所以MF 1→·MF 2→＝(－3－

x 0，－y 0)·(3－x 0，－y 0)＝x 20＋y 20－3＝3y 2

0－1<0.解得－

33

3

.故选A. 6．D 解析：根据对称性，不妨设A 在第一象限，A (x ，y )，

∴⎩

⎪

⎨

⎪⎧

x 2＋y 2

＝4，

y ＝b 2x ⇒⎩⎪⎨⎪⎧

x ＝

4b 2

＋4

，

y ＝

4

b 2＋4·b

2

.

∴4×

4

b 2＋4×

4

b 2＋4·b

2

＝2b .解得b 2

＝12.故双曲线的方程为x 24－y 2

12

＝1.故选D.

7．B 解析：由双曲线的定义，可得

|PF 1|－|PF 2|＝1

3

|PF 2|＝2a ＝2，

解得|PF 2|＝6.故|PF 1|＝8.又|F 1F 2|＝10， 由勾股定理可知△F 1PF 2为直角三角形，因此12

F PF S ＝1

2

|PF 1|·|PF 2|＝24. 8．y ＝±

22x 解析：∵|AF |＋|BF |＝y A ＋p 2＋y B ＋p 2＝y A ＋y B ＋p ＝4×p

2

，∴y A ＋y B ＝p . 由⎩⎪⎨⎪⎧

x 2

a 2－y 2

b 2＝1，

x 2＝2py

⇒a 2y 2

－2pb 2

y ＋a 2b 2

＝0⇒y A ＋y B ＝2pb

2

a

2＝p ，得a ＝2b .

∴双曲线的渐近线方程为y ＝±

22

x . 9．解：(1)设A (x A ，y A )．由题意，得F 2(c,0)，c ＝1＋b 2

，y 2

A ＝b 2

(c 2

－1)＝b 4

. 因为△F 1AB 是等边三角形，所以2c ＝3|y A |.

即4(1＋b 2)＝3b 4.解得b 2

＝2.

故双曲线的渐近线方程为y ＝±2x .