材料力学A(圆轴扭转时的应力和变形2学时)

(c)
故得出：
d T dx GI
(12.2)
p
Ip
D (12.4)

A
2 dA

D/2

0
2
2 d
D 4
32
G
TR T T T T (12.3) max I I p W GI p Ip p p R
W p
Ip R
D 4
d dx
C’
d dx
(a)
T 称为单位长度的扭转角 单位长度的扭转角

7
8
（2） 物理关系 由剪切胡克定律
d G G dx

(b)
d
dx

d dx
(a)
G G
d dx
(b)
（3）静力学关系 横截面上分布切应力构成的合力偶矩 就是该截面上的扭矩T d d T dA G dA G 2 dA A A dx dx A 记几何量
D 可令

d
dx

R
B
B’
R为表层处的单元体
ABCD的切应变：
C
C’
BB Rd d R R dx dx AB d为相距dx的两横截面相对扭转角
d
在某一横截面上
d 常数 dx 在横截面上半径为 处切应变 ，
且 半径
例如若已知：
n=300 r/min 70KW 2 Mt2 3 1 Mt1
30KW
40KW
1
Mt3 Mt1 已知：轴的转速—— n (转/分,r/min)(转动方向如图) 该轮传递的功率（输入或输出）—— N (KW) 则该轮处的外力偶矩为：
M t ( N m) 9549 N ( KW ) n(r / min)
4
2228.1N•m
轴的受 轴的受 力简图
954.9N•m
1273.2N•m
x1 T(x1)
2. 圆轴扭转应力分析 （1）圆轴扭转变形几何关系 Mt
Hale Waihona Puke Baidu
Mt
2228.1N•m
x2 T(x2)
1273.2N•m 在表面层切取一个单元体： 单元体：纯剪切 变形后观察：轴向线，仍为直线，长短不变，倾斜角 圆周线，大小形状不变，绕杆轴转动 圆轴扭转平面假定：横截面变形后仍为平面， 形状大小不变，绕杆轴转过一个角度。
(适用于等截面圆轴)
其中GIp称为扭转刚度 扭转刚度 若轴中扭矩为分段常数

i
Ti li Gi I pi
(12.7)
构件几何 外力 横截面 内力 应力公式 变形公式
19
直杆 沿轴向的外力 轴力FN

l
圆截面直杆 横截面内力偶矩 扭矩T

T Ip
G1Ip1 l1
G2Ip2 l2

45°
d T dx GI
(12.2)
p
1 纯剪应力状态：由广义胡克定律 1 1 ( 2 3 ) E ( max ) (1 ) 1 45 ( 1 3 ) max max E E E
故得出相距dx的两截面间的相对扭转角： d A ,B两截面间的相对扭转角为：

T Ip

-
45° 45°
主单元体： 主方向为±45° 主应力：
1 =
15 16
1= ， 2= 0 ， 3= -
4. 扭转应力的测量 T
T
3= - max max 1= max
T A
5. 圆轴扭转时的变形分析 T l B x
由单位长度的扭转角：
32 D 2
D 3
16
记扭转截面系数 扭转截面系数 单位：m3,cm3,mm3
Wp
Ip R
(12.5)
11
空心圆轴，内、外径分别为 d , D , 令=d/D : D 4 (D 4 d 4 ) Ip (1 4 ) 32 32 d D I D 3 W p p (1 4 ) D/2 16

max
9
d d T G 2 dA GI p dx A dx d 由此可求出 dx
(c)
max
10

d
dx

d dx
(a)
T GI
p
G G
d dx
d dx
(b)
以上分析只适用于圆截面轴 只适用于圆截面轴（实心、空心、圆锥轴） 几何量 Ip , Wp 的计算： 实心圆轴，直径为 D ：
22
作业
4.1
23
4
Tdx GI p
AB d
l

l
0
Tdx GI p
(12.5)
max
T E 45 Wp 1
17
若等截面轴在 l 段内扭矩T=常数，则：

Tl GI p
(12.6)
的单位为弧度
18
3
扭转变形公式

Tl GI p
(12.6)
轴向拉压与圆轴扭转的比较 轴向拉压 扭转
T ( x1 ) 2228.1N m
2228.1N•m
T ( x2 ) 1273.2 N m
1273.2N•m
(T)
5
6
1
R A

O1
dx B B’ C
同理在距离杆的轴线O1O2 O2 d 半径为处的圆柱面上切取 的单元体的切应变为：
O1 A D R
dx O2
d 为相邻dx的两个截面 的相对扭转角
故横截面上半径为 处切应力 圆心 =0处， 0 0 圆截面周边 =R处， R max 横截面上切应力沿半径三角形 分布，且方向垂直于半径。 T
max

I p 2 dA
A
(12.1) dA

T
max
称为截面极惯性矩 截面极惯性矩 ,单位：m4,cm4,mm4
§4 扭转
材料力学
第4章 扭转
§4.1 圆轴扭转时的应力分析
1. 基本概念和假设 圆截面轴（实心、空心） 几何——直杆(轴) 非圆截面轴 内力——横截面上只有扭矩
季葆华
北京理工大学宇航学院力学系
变形——横截面绕轴线转动，任意两横截面产 生相对扭转角 平截面假设
2
例如，传动轴：主动轮1，从动轮2，3
n转/分
n转/分
2 Mt2
3 Mt3
N 70 9549 2228.1N m n 300 30 M t 2 9549 954.9 N m 300 M t1 9549 M t 3 9549
3
主动轮或输入功率处Mt与n 同向； 从动轮或输出功率处Mt与n 反向。
40 1273.2 N m 300
12
2
圆轴扭转时横截面上的切应力分布图示： 实心圆轴： T 空心圆轴：
实验：圆轴扭转
max
T Wp
T
max
T W p
max
T Wp
max
T Wp
max
T W p
max
T W p
13 14
3. 扭转时轴内各点的应力状态
3= -

各点为纯剪切：
G3Ip3 l3
FN A
FN l EA
max
Tl GI p
T Wp

20
6.材料扭转时的力学性能 材料的扭转试验： (1)低碳钢薄壁圆管扭转
(2)铸铁圆轴扭转
特点：横截面 max 达到材料的剪切屈服极限 S 时 低碳钢(塑性材料)—沿圆周线、纵向线出现滑移线
21
特点：横截面 max 达到材料的剪切强度极限 b 时 铸铁(脆性材料)—沿与轴线呈45°的斜面断开