误差、精确度和有效数字

误差、精确度和有效数字

不论用哪一种方法截取近似数，它与准确值之间总要相差一个数，这个差数可以反映出近似数的精确程度．如果近似数比准确值小，就叫做不足近似值；如果近似数比准确值大，就叫做过剩近似值．

在实际应用中，常常只需要知道近似数与准确值相差多少，而不必过问近似数比准确值小还是大．也就是说，重要的是我们要知道近似数a 与准确数A 的差的绝对值．我们把它叫做近似数的误差，用Δ①表示．即

a A

∆=-

在大多数情况下，一个量的准确值是得不到的．因而近似数的误差也常常无法求出．但是，我们可以根据具体情况确定近似数的误差不会超过多少．例如，用最小刻度是毫米的钢尺来度量工件的长度，可以保证测量结果的误差不超过1毫米．

近似数的误差不超过某个数，我们就说它的精确度是多少，或者说精确到多少．上面举的例子用钢尺测量工件的精确度是1毫米，也可以说成精确到1毫米．

又如，近似数 3.14，不管它是用什么方法截取的，它的误差一定不会超过0.01，因而它的精确度是0.01，也可以说精确到0.01．

根据上面讲的我们可以知道：近似数4.3的精确度是0.1，近似数4.30的精确度是0.01，可见近似数4.3与4.30的精确度是不同的．因此，在近似数中，小数末尾不能随意添上或去掉“0”．

一个近似数，从左边第一个不是0的数字起，到右边截得的最后一个数字止，都叫做这个近似数的有效数字．例如，近似数4.3有两个有效数字：4，3；近似数4.30有三个有效数字：4，3，0．

当一个近似数是整十、整百、整千……的数时，它的精确度并不是一目了然的．例如，近似数9400，如果它精确到100，就只有两个有效数字：9，4；如果它精确到10，就有三个有效数字：9，4，0；如果它精确到1，就有四个有效数字：9，4，0，0．为了区别它们，可以分别写成9.4×103、9.40×103、9.400×103．一般地，写成10n a ⨯(110a ≤<，n 是整数)的形式，这样我们就可以根据a 的有效数字来确定近似数的精确度．

① Δ是希腊字母，读作“德耳塔”。