第三章 标量衍射理论(三).ppt

✓ 单缝衍射
5、夫琅和费衍射
3) 双缝衍射
狭缝宽度为a，中心相距为d，其复振幅透过率可表示为：
t
x0
rect
x0
a
d 2
rect
x0
a
d 2
rect
x0 a
*
x0
d 2
x0
d 2
Ft x0 2a sin c afx cos dfx
当采用单位振幅的单色平面波垂直照明孔径时，观察平面 上夫琅和费衍射的复振幅分布为
由夫朗和费衍射公式，观察平面场分布为
U x, y
A exp
j z
jkz
exp
j
k 2z
x2 y2
F
t x0, y0
f
x
x z
,
f
y
y z
A
j z
exp
jkz
exp
j
k 2z
x2 y2
T
x
z
,
y
z
观察平面上的衍射图样的复振幅分布正比于物体的频谱。
我们更关心的是 衍射图案分布
分立的无限细谱线,
光栅有限尺寸引起的
间隔为1/d ( 即光栅基频）
谱线展宽
受基元孔径衍射的调制
宽度为1/L
aL2
d
n
sinc
a
n d
sinc
L
fx
n d
sinc
Lf y
要数值计算或画 截面图等, 展开
谱线的概念:comb(dfx)的周期性结构形成谱线,
∵L>>d , ∴1/ L<<1/d, 各谱线的sinc函数互不重叠.
t
x0
rect
x0 a
*
n
x
nd
rect
x0 a
*
1 d
comb
x0 d
其对应的频谱为
T
fx
F
rect
x0 a
•
F
1 d
comb
x0 d
a sin c afx comb dfx
若考虑光栅的大小限制，假设其为边长为L的正方形，则其透过率为：
t
x0
rect
x0 a
*
sin
c
L
fx
n d
sin
c
Lf y
6、衍射光栅*
则强度分布为
I
x,
y
U
x,
y
2
aL2
zd
2
sin
n
c2
an d
sin
c2
L
fx
n d
sin
c2
Lf y
典型孔径的夫琅禾费衍射
线光栅(多缝)
t
x0
rect
x0 a
*
1 d
comb
x0 d
•
rect
x0 L
z
2z
若使z进一步增大，使其不仅满足菲涅耳近似条件，而且满足
z k 2
x02 y02
max
这时观察平面所在的区域称为夫朗和费区。
r z x2 y2 xx0 yy0
2z
z
夫琅和费近似
5、夫琅和费衍射
h x, y; x0, y0
1 e jkr
j r
1
j
z
exp
jkz
exp
J1(2 a 2 a
)
ຫໍສະໝຸດ Baidu
r
z
采用单位振幅的单色平面波垂直照明孔径，在观察面 上得到的夫琅和费衍射场的复振幅分布为：
U r
1
j
z
exp
jkz
exp
j
k 2z
r
2
Ft
r0
r z
a2 j z
exp
jkz
exp
j
k 2z
r2
2J1(kar / kar / z
z)
2
2J1( kar / kar / z
t x , y 0
0
fx
x z
,
f
y
y z
ab
j z
exp
jkz exp
j
k 2z
x2 y2
sin
c
ax
z
sin
c
by
z
5、夫琅和费衍射
强度分布为
I
(
x,
y)
ab
z
2
sinc2
ax
z
sinc2
by
z
光能主要集中在中央亮斑，其宽度为：
x
2 z
a
y 2 z
普通高等教育“十一五”国家级规划教材 《傅里叶光学》
第三章 标量衍射理论(三)
主讲教师：刘 丽
太原理工大学物理与光电工程学院
5、夫琅和费衍射
5.1 夫朗和费衍射公式
菲涅尔近似
r z (x x0 )2 ( y y0 )2 2z
z x2 y2 xx0 yy0 x02 y02
2z
菲涅尔衍射 夫琅禾费衍射
U
(x,
y)
F
U
( x0
,
y0
)
exp
j
k 2z
(
x02
y02
)
U(x, y) FU(x0, y0) FUi (x0, y0)t(x0, y0)
照明光波的性质
孔径的特点
5、夫琅和费衍射
5.2 一些简单孔径的夫琅和费衍射 ✓例如圆孔、矩形孔、单缝以及多缝结构（如光栅）等。
直接观察
远场衍射
r z x2 y2 xx0 yy0
2z
z
通过透镜观察
衍射花样不同 像与z有关，图象随z亮暗交替变化 屏移动时，图象分布 稳定
计算公式不同
U (x, y)
F
U
(
x0
,
y0
)
exp
j
k 2z
( x02
y02
)
U (x, y)
FU (x0, y0)
H fx , fy exp jkzexp jz fx2 fy2
6、衍射光栅*
✓线光栅
若采用单位振幅的单色平面波垂直照明光栅，其夫朗和费衍 射图样的复振幅分布为：
U x, y
1
j
z
exp
jkz
exp
j
k 2z
x2 y2
F
t x0, y0
f
x
x z
,
f
y
y z
1
j
z
exp
jkz
exp
j
k 2z
x2 y2
aL2
d
sin
n
c
an d
z)
5、夫琅和费衍射
强度分布为
I
(r)
a2 z
2
2J1(kar / kar / z
z)
2
2J1( kar / kar / z
z)
2
其衍射图案类似于爱里图案，仍然是中心亮斑 外套着一系列圆环，ε值越大，圆环越往内缩。
a2 2
I (0)
z
1 2
2
5、夫琅和费衍射
R mN
谱线级数 光栅总缝数
mz mz z
d dL
mL d
I
x,
y
U
x,
y
2
A
z
2
T
x
z
,
y
z
2
5、夫琅和费衍射
1） 圆孔衍射 圆孔的复振幅透过率
t
x0 ,
y0
circ
r0 a
其中，a为圆孔半径，r0为孔径平面的径向坐标，如下图所示。
5、夫琅和费衍射
采用单位振幅的单色平面波垂直照明孔径
t(r0 )
circ
r0 a
circ
r0 a
rect
y0 L
I
x,
y
aL2
zd
2
n
sin
c2
an d
sin
c2
L
x
z
n d
sin
c2
L
y
z
I
(
x)
a
z
2
sinc2
ax
z
单缝衍射图案 与多光束干涉 图样相互调制 的结果
6、衍射光栅*
光栅的分辨本领 分辨两个波长很靠近的谱线（和）的能力。 根据瑞利判据，一条谱线的强度极大值与另一条谱线的第 一个极小值重合时，两条谱线刚好能够分辨。
若某衍射屏上开有N个与其相同的孔径，每个孔径位置 On n,n
则整个衍射屏的透过率函数 t x0, y0 可以表示为
N
t x0, y0 t0 x0 n , y0 n
n1
N
t0 x0 , y0 x0 n , y0 n
n1
N
则其频谱为： T fx , fy T0 fx , fy exp j2 fxn fyn 列阵定理 n1
j
k 2z
x2 y2
exp
j
2 z
xx0
yy0
把该脉冲响应代入叠加积分公式，有
U x, y U x0, y0 h x, y; x0, y0 dx0dy0
1
j
z
exp
jkz
exp
j
k 2z
x2 y2
U
x0
,
y0
exp
j
2 z
xx0
yy0
dx0dy0
1
j
z
exp
x0 a
a
z
2
sinc2
ax
z
x 2 z a
双 缝
rect
x0
a
d 2
rect
x0
a
d 2
2a z
2
sin
c
2
ax z
cos2
dx z
重点：求解特定照明条件特定孔径的夫琅禾费衍射
Step1：写出孔径的复振幅透过率
t x0 , y0
Step2：指出照明条件，写出透射场分布 U x0, y0
jkz
exp
j
k 2z
x2 y2
F
U
x0, y0
f
x
x z
,
f
y
y z
观察平面上的场分布正比于孔径平面上透射光场分布的傅立 叶变换。
5、夫琅和费衍射
观察平面上衍射图样的强度分布为：
I
x,
y
1
z
2
F
U x0, y0
f
x
x z
,
f
y
y z
2
1
z
2
2
A0
x
z
,
y
z
孔径平面透射光场分布的功率谱
6、衍射光栅
1）什么是光栅？
衍射光栅具有周期性重复排列的结构，可对入射光波的振幅或位相 （或者两者同时）施加周期性的空间调制。 2）光栅是光学仪器中或者光学信息处理系统中常用的重要光学元件。
几类典型的光栅：
✓线光栅 ✓余弦型振幅光栅 ✓正弦型位相光栅 ✓矩形位相光栅
6、衍射光栅
列阵定理
假设某个小孔的透过率为t0 x0, y0 ，其频谱为 T0 fx , f y
U x
1
j
z
exp
jkz
exp
F j
k 2z
x2
t x0
fx
x z
2a
j z
exp
jkz
exp
j
k 2z
x2
sin
c
ax
z
cos
dx z
5、夫琅和费衍射
强度分布为（如下图）
I
x
2a
z
2
sin
c
2
ax
z
cos2
dx z
I
(
x)
a
z
2
sinc2
ax
z
b
5、夫琅和费衍射
✓ 单缝衍射 二维矩孔，若b>>a，矩孔就变成了平行于y0轴的狭缝
t
x0
rect
x0 a
Ft(x0 ) absinc(afx )
fx
x
z
I
(
x)
a
z
2
sinc2
ax
z
5、夫琅和费衍射
✓ 单缝衍射
5、夫琅和费衍射
✓ 单缝衍射
单缝
透镜
衍射角
衍射屏
f
I
5、夫琅和费衍射
Step3：求解透射场分布的傅里叶变换
FU x0 , y0
Step4：根据夫琅禾费衍射公式，写出观察平面场分布
U (x, y)
1
j
z
exp(
jkz)
exp
j
k 2z
(x2
y
2
)
F
U x0, y0
fx
x f
,
fy
y f
Step5：求强度分布 I x, y U x, y 2
Step6：根据题意画图（归一化强度） I / I 0
✓ 孔径的概念推广到一般透明或半透明的平面型物体。 类型：振幅调制型和相位调制型
排除复杂照明光波，只考虑孔径影响
5、夫琅和费衍射
5.2 一些简单孔径的夫琅和费衍射
照明条件：单位振幅的单色平面波垂直照明
孔径：复振幅透过率 孔径函数的频谱
t (x0,y0)
F.T.
T (fx,fy)
屏后透射光场复振幅 U (x0,y0) = t (x0,y0)
双缝夫琅和费衍射图样的强度分
布是单缝衍射图样与双光束干涉
图样相互调制的结果。
5、夫琅和费衍射
5、夫琅和费衍射
5、夫琅和费衍射
圆环衍射
圆环的复振幅透过率可表示为：
t
r0
circ
r0 a
-circ
r0
a
5、夫琅和费衍射
圆环衍射
Ft
(r0
)
a2
2
J1(2 a 2 a
)
a
2
2
强度分布为
I
(r)
a2 z
2
2J1(kar / kar / z
z)
2
2J1( kar / kar / z
z)
2
ε =0.8
ε =0.5
知识回顾
Fresenl 衍射
Fraunhofer衍射
观察条件不同 观察方法不同
近场衍射
r z (x x0 )2 ( y y0 )2 2z
功率谱为：
T
fx, fy
2
T0
fx, fy
2
N
exp j2
2
fxn f yn
n 1
当单色平面波垂直照明时，整个衍射屏的夫琅禾费图样是单个孔径
衍射图样与N个点源阵列产生的多光束干涉图样的乘积。
6、衍射光栅*
✓线光栅
假设线光栅狭缝宽度为a，相邻狭缝的中心距为d，则光栅的透 过率可表示为
1 d
comb
x0 d
•
rect
x0 L
rect
y0 L
单个狭缝
阵列函数
有限尺寸
6、衍射光栅*
✓线光栅
其对应的频谱为
T
fx
F
rect
x0 a
•
F
1
d
comb
x0 d
*
F
rect
x0 L
rect
y0 L
a sin c afx combdfx * L2sincLfx sinc Lfy
典型孔径的夫琅禾费衍射
透过率
强度分布
衍射图案 中心大小
圆 孔
circ
r0 a
ka2 2z
2
2J1(kar / kar / z
z) 2
r 0.61z a
矩 孔
rect
x0 a
rect
y0 b
ab
z
2
sinc2
ax
z
sinc2
by
z
x 2 z a
单 缝
rect
y0
rect
x0 a
rect
y0 b
其对应频谱为
Ft(x0, y0 ) absinc(afx )sinc(bf y )
fx
x
z
,
fy
y
z
采用单位振幅的单色平面波垂直照明孔径，在观察面
上得到的夫琅和费衍射场的复振幅分布为：
F U x, y
1
j
z
exp
jkz
exp
j
k 2z
x2 y2
a2
2J1(2 a) 2 a
r
z
I
(0)
ka2 2z
2
爱里图样 中央亮斑（爱里斑）的半径为：
I
(r)
I
(0)
2J1(kar / kar / z
z)
2
r 0.61z
a
5、夫琅和费衍射
5、夫琅和费衍射
P
L
爱 里 斑
5、夫琅和费衍射
2） 矩孔衍射
矩孔的复振幅透过率可表示为：
t
x0 ,