几何最值及路径长(讲义和习题)含答案

几何最值及路径长（讲义）

➢ 课前预习

1. 如图，A ，B 为定点，P 为直线l 上一动点，若点P 恰好使AP +BP 最短，请画出点P 的位置．

提示：

①分析定点（A ，B ），动点（P 在直线l 上动），不变特征 ②以l 为对称轴利用轴对称进行转化 ③由“两点之间，线段最短”确定位置

2. 如图，A ，B 为定点，MN 为直线l 上一可以移动的线段，且MN 长度固定，若点M 恰好使AM +MN +BN

最短，请画出点M 的位置． 提示：

①分析定点（A ，B ），动点（M ，N 在l 上动，且MN

②先平移BN ，使平移后的点N 与M 重合，将其转化为问题1 ③以l 为对称轴，利用轴对称进行转化 ④由“两点之间，线段最短”确定位置

3. 如图，∠AOB =60°，点P 在∠AOB 的平分线上，OP =10 cm ，点E ，F 分别是∠AOB 两边OA ，

OB 上的动点，当△PEF 的周长最小时，点P 到EF 的距离是_________． 提示：

①分析定点（P ），动点（E 在OA 上动，F 在OB 上动），不变特征

②分别以OA ，OB 为对称轴，将P 对称过去，得到P 1，P 2

③连接P 1P 2，由“两点之间，线段最短”确定位置，进而求解P 到EF 的距离．

➢ 知识点睛

1. 几何最值问题的处理思路

P

F

O A

B

E

l

l

①分析定点、动点，寻找不变特征；

②若属于常见模型、结构，调用模型、结构解决问题；

若不属于常见模型，要结合所求目标，根据不变特征转化为基本定理或表达为函数解决问题．

转化原则：

尽量减少变量，向定点、定线段、定图形靠拢，或使用同一变量表达所求目标．

基本定理：

两点之间，线段最短（已知两个定点）

垂线段最短（已知一个定点、一条定直线）

三角形三边关系（已知两边长固定或其和、差固定）

过圆内一点，最长的弦为直径，最短的弦为垂直于直径的弦

常用模型、结构示例：

①轴对称最值模型

l

l

求PA+PB的最小值，求|PA-PB|的最大值，

使点在线异侧使点在线同侧

l

固定长度线段MN在直线l上滑动，求AM+MN+BN的最小值，需平移BN（或AM），转化为AM+M B′解决．

②折叠求最值结构

A

M

A'

N

B C

求BA′的最小值，转化为求BA′+A′N+NC的最小值（利用A′N+NC为定值）．

2.解决路径长问题的思路

①分析定点、动点，寻找不变特征；

②确定运动路径；

通过“起点、终点、特殊点”猜测运动路径，并结合不变特征进行验证．

③设计方案，求出路径长．

➢精讲精练

1.如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的直角顶点A在x轴的正半轴上，顶点B的坐标为(3

，

，点C的坐标为(1

2，0)，点P为斜边OB上一动点，则PA+PC的最小值为___________．

2.如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=8，E为CD边的中点．若P，Q为BC边上的两动点，且

PQ=2，则当BP=_______时，四边形APQE的周长最小．

Q

P E

D C B A

3. 如图，在边长为2的菱形ABCD 中，∠A =60°，M 是AD 边的中点，N 是AB 边上一动点，将△AMN

沿MN 所在的直线翻折得到△A ′MN ，连接A ′C ，则A ′C 长度的最小值是_______．

A'

D C

B

N

M

A

4. 如图，菱形ABCD 的边AB =8，∠B =60°，P 是AB 上一点，BP =3，Q 是CD 边上一动点，将梯形

APQD 沿直线PQ 折叠，A 的对应点为A′，当CA′的长度最小时，CQ 的长为_______．

Q

E P

A

B

D

C

B

P

D A

C

5. 如图，有一矩形纸片ABCD ，AB =8，AD =17，将此矩形纸片折叠，使顶点A 落在BC 边的A′处，

折痕所在直线同时经过边AB ，AD （包括端点），设BA′=x ，则x 的取值范围是______．

B

A

D

C

6. 如图，E ，F 是正方形ABCD 的边AD 上的两个动点，且满足AE =DF ．连接CF 交BD 于点G ，

连接BE 交AG 于点H ，连接DH ．若正方形的边长为2，则DH 长度的最小值是_______．

F D

E

A

H G

B C

7. 如图，△ABC ，△EFG 均是边长为2的等边三角形，点D 是边BC ，EF 的中点，直线AG ，FC

相交于点M ．当△EFG 绕点D 旋转时，线段BM 长的最小值是__________．

G

M F E

D C

B

A

G

第7题图 第8题图

8. 如图，AB 是⊙O 的一条弦，点C 是⊙O 上一动点，且∠ACB =

30°，点E ，F 分别是AC ，BC 的中点，直线EF 与⊙O 交于G ，H 两点．若⊙O 的半径为7，则GE +FH 的最大值为_____．

9. 如图，在平面直角坐标系中，已知点A (1，0)，B (1-a ，0)，C (1+a ，0)（a ＞0），点P 在以D (4，

4)为圆心，1为半径的圆上运动，且始终满足∠BPC =90°，则a 的最大值是_________．

10. 如图，边长为2的正方形ABCD 的两条对角线交于点O ，把BA 与CD 分别绕点B 和点C 逆时针

旋转相同的角度，此时正方形ABCD 随之变成四边形A ′BCD ′．设A ′C ，BD ′交于点O′，若旋转了60°，则点O 运动到点O′所经过的路径长为_________．