离散傅里叶变换(DFT)讲课教案

周期序列
x % ( n ) x % ( n k N ) ,k ¢
因为周期序列不满足条件： x%(n) 。因此它的DTFT
不存在。但是，正象连续时间周n期 信号可用傅氏级数表达，
周期序列也可用离散的傅氏级数来表示。
(1)DFS定义
正变换：X
(k)
DFS [ x(n )]
N 1
x(n)e
j 2 N
x% (n) 1N1X%(k)ej2Nkn
Nk0
X(ej)2 X % (k)(2k)
Nk
N
其 中 :X % (k)N1x% (n)ej2N kn
n0
第3章 离散傅里叶变换(DFT)
四. 离散付里叶变换
周期序列实际上只有有限个序列值才有意义 ，因 而它的离散傅里叶级数表示式也适用于有限长序列 , 这就得到有限长序列的傅里叶变换(DFT)。
具体而言，即：
(1)时域周期序列看作是有限长序列x(n)的周期延拓
(2)频域周期序列看作是有限长序列X(k)的周期延拓
(3)把周期序列DFS的定义式（时域、频域）各取主值 区间，就得到关于有限长序列时频域的对应变换对。
（前面已证：时域上周期序列的离散傅里叶级数在频域上仍是同 周期序列）
第3章 离散傅里叶变换(DFT) (1)周期序列的主值区间与主值序列
j2kn
x%(n) ake N
ak
k
将上式两边乘以
e
j2 N
mn
，
并对n在一个周期N上求和得
N1
j2m n N1 j2kn j2m n
x % (n)e N akeN e N
n0
n0 k
N1 j2kn j2mn
ak e N e N
e N 1 j 2 (km)n N n0
N,k m
0,
k
m
k n0 根据正交定理
N1
j2mn
x%(n)e N Nam
令k=m
n0
ak
1
N1
j2kn
x%(n)e N
Nn0
第3章 离散傅里叶变换(DFT)
ak
1
N1
j2kn
x%(n)e N
Nn0
令X%(k)Nak
N 1
j 2 nk
X (k) x(n)e N
n0
X
(k
N
)
N
第3章 离散傅里叶变换(DFT)
二. 四种信号傅里叶表示
(1) 周期为T的连续时间周期信号
x(t)
X (k 0 )e jk0t
FS
k
X
(k0
)
1 T
tT x(t )e jk0t dt
t
x(t) x(t nT ) 0 2 / T
时域周期频域离散。频谱特点:离散非周期谱
(2) 连续时间非周期信号
x((n )) N 表示先对n进行模N运算，然后对所得结果进行函数运算
n 25, N 9, 25 7 9
第3章 离散傅里叶变换(DFT) x(n)
n
0 ~x (n) N-1
...
...
n
0
N-1
定义从n=0 到(N-1)的第一个周期为主值序列或区间。
nk
一般记：
反变换：x(n)
ຫໍສະໝຸດ Baidu
n0
IDFS[X (k)] 1
N 1
j 2 nk
X (k)e N
N k0
j 2
WN e N
第3章 离散傅里叶变换(DFT) (2)周期序列的离散傅里叶级数推导 由
x % ( n ) x % ( n k N ) ,k ¢
x%( n ) 可以展成傅里叶级数：
为 ~x对(n于)周的期“序主列值~x区(间n)”，，定主义值其区第间一上个的周序期列n为=0主~N值-1序，
列 x(n)。
x(n)与~x(n) 的关系可描述为： ~x(n)是x(n)的周期延拓 x(n)是~x(n)的"主值序"列
数学表示：
x%(n) x(nmN)x((n))N
m
x(n)x%(n)RN(n)x((n))NRN(n)
1
x(n)e
j
2 N
n(k
N
)
N 1
j 2 nk
x(n)e N
X (k)
n0
n0
所以，时域上周期序列的离散傅里叶级数在频域上
仍是一个周期序列
依同样方法可推出：
x% (n) 1N1X%(k)ej2Nkn
Nk0 周期序列的离散傅立叶级数表明：可将周期为N的序列 ~x (n)
分解成N个离散的谐波分量的加权和，各谐波的频率为 2k ，
幅度为 1 N
X~ (k )，其中k
0,1,
,N
N
1表示其频谱分布规律
第3章 离散傅里叶变换(DFT)
(3)周期序列的傅里叶变换表示
因为周期序列不满足条件： x%(n) 。因此它的DTFT 不存在。但是，通过引入奇异函n数 δ其DTFT可以用公式
表示。
x % ( n ) x % ( n k N ) ,k ¢
FT
X ( j) x(t)e jtdt
x(t) 1 X ( j)e jtd
2
时域非周期频域连续。频谱特点：连续非周期谱
第3章 离散傅里叶变换(DFT)
(3)离散非周期信号
X (e j ) x(n)e jn
DTFT
n
x(n) 1 X (e j )e jnd
2
时域离散频域周期。频谱特点：周期为2的连续谱
(4) 周期为N 的离散周期信号
X%(k)
N1
x%(n)e
j2nk
N
k ~
DFS
n0
x%(n) 1 N1X%(k)ej2Nnk
N k0
n ~
时域离散周期频域周期离散。频谱特点:周期为N的离散谱
第3章 离散傅里叶变换(DFT)
四种傅立叶变换:
1. 连续非周期 2. 连续周期 3. 离散非周期 4. 离散周期
第3章 离散傅里叶变换(DFT)
第3章 离散傅里叶变换(DFT)
3.1 离散傅里叶变换的定义 3.2 离散傅里叶变换的基本性质 3.3 频率域采样 3.4 DFT的应用举例
第3章 离散傅里叶变换(DFT)
3.1 离散傅里叶变换的定义
一. 引言
我们已经学习了连续时间傅里叶变换、连续周期信 号的傅里叶级数、离散时间傅里叶变换，他们都是信号 处理领域中重要的数学变换。本章讨论离散傅里叶变换 (DFT)，其开辟了频域离散化的道路，使数字信号处理可 以在频域进行。DFT存在快速算法，使信号的实时处理得 以实现。DFT不仅在理论上有重要意义，在各种信号处理 中也起着核心作用。
连续非周期() FT
离散非周期 () FS
连续周期（ ） DTFT
离散周期
DFS
切实理解四种FT之间的对应关系
第3章 离散傅里叶变换(DFT)
三. 离散付里叶级数(DFS)
为了便于更好地理解DFT的概念，先讨论周期序列及 其离散傅里叶级数（DFS）表示。然后讨论可作为周期函 数一个周期的有限长序列的离散傅里叶变换(DFT)。