数学分类讨论思想课件

BC=2 cm,则∠ A的度数是 600或1200 。
4．若⊙O的弦 AB所对的圆心角∠AOB=60°，则弦 AB所对的圆周角的度数为 300或1500。
5、半径为3cm、5cm的两圆相切，则它们的圆心 距为 8cm或2cm。
6、已知两圆内切，一个圆的半径是3，圆心距是2， 那么另一个圆的半径是_____1_或__5．
解:(1) B－A＝（a－1）2+2 ＞0 ∴ B＞A （2）C－A＝（a＋7）(a－3) ∵ a＞2， ∴ a＋7＞0 ∴当2＜a＜3时， A＞C
当a＝3时， A＝C 当a＞3时， A＜C
某些不确定的数量、不确定的图 形的形状或位置、不确定的结论 等，都要通过分类讨论，保证其 完整性，使之具有确定性.
分析：本题是数量（60°的
y
角）不确定，所以要分类讨论，
同时，本题中还涉及到轴对称， 1 x
O1
因此有4种情况产生.
解：
设二次函数的图像的对称轴与 x轴相交于点E，
（1）如图①，当 CAD 60 时， y
因为ABCD菱形，一边长为2，
D
所以， DE 1,BE 3
A OE
x B
所以点B的坐标为（ 1 3 ，0）， C
5.若O为△ABC的外心，且 ∠BOC=600 ,
则∠BAC=
。
【简解】本题分三角形的外心在三角形形内和
形外两种情况，答案 30°和150°.
解含有字母系数（参数）的题目时， 必须根据参数的不同取值范围进行讨 论.如解不等式ax>2时分a>0、a＝0和 a<0三种情况讨论.这称为含参型.
例4、已知A＝a ＋2，B＝a 2－a＋5， C＝a 2＋5a－19，其中a＞2． 求证：B－A＞0，并指出A与B的大小关系； 指出A与C哪个大？说明理由．
3
A OE B
x
所以符合条件的二次函数的表达式有：
y 3x 12 3 y 1 x 12 1
C
y 1 x 12 1, y 33x 12 3
3
图②
在有关动点的几何问题中，由于图形 的不确定性，我们常常需要针对各种 可能出现的图形对每一种可能的情形 都分别进行研究和求解．换句话说， 分类思想在动态问题中运用最为广 泛．
7、矩形一个角的平分线分矩形一边为1cm和 3 cm两部分
，则这个矩形的面积为 4cm2或12cm2
。 3
1
1
3
1
3
8、 矩形ABCD，AD=3，AB=2，则以矩形 的一边所在直线为轴旋转一周所得到的圆柱 的表面积为_1_6_π__或21π .
例6：1、如图，线段OD的一个端点O在 直线a上，以OD为一边画等腰三角形， 并且使另一个顶点在直线a上，这样的 等腰三角形能画多少个?
(2）若底角顶点与矩形顶点重合
A
D
A
E D
E
F
B
F
C
B
C
如图，当EA=EF=10时,BE=6, 如图，当EA=EF=10时,DE=7,
BF= 102 62 =8,
S△AEF=
1 ×10×8=40(cm2)
2
DF= 102 72 = 51 ,
S△AEF=
1 2
×10×
51= 5
51 (cm2)
F
个函数的解析
式
1
Y= 3x-4,
或 y=- 1
3
x-3
。
2）、 已知关于x的方程(k2－1)x2－2(k＋ 1)x＋1＝0有实数根，求k的取值范围。
【简解】本题分方程是一元二次方程和一元 一次方程两种情况讨论，答案:k＞－1；
3）在同一坐标系中，正比例函数y=-3x与反比例
函数 y k 的图象的交点的个数是（ A）
在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P沿AB边从点A出发
向B以2cm秒的速度移动;点Q沿DA边从点D开始向A以1cm/秒
的速度移动时，如果P、Q同时出发，用t秒表示移动的时
间（0＜t＜6）那么：
D
C
（3）当t为何值时，以点Q、A、PQ
为顶点的三角形与ABC相似？
（3）根据题意，可分为两种情况来研究
Q
D
C
A
B
P ∵AP=4t,CQ=t,∴DQ=20-t,∴t=4(秒)
∴当t=4秒时，四边形APQD为矩形
（2）若⊙P和⊙Q半径都是2厘米,那么当t 为何值时,⊙P和⊙Q相外切?
D
QC
A
B
P
当t=4秒、20秒、28秒时，⊙P和⊙Q相外切 33
D
QC
A
B
P
例13、在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P沿
x y 1或x y 1
2）、 若a、b在互为倒数，b、c互为相反数，m 的绝对值为 1，则 ab (b c)m m2 的值是_0_或__-2__.
m
等腰三角形的角与边
3)．若等腰三角形的一个内角为500,则其他两个
内角为（D）
A．500 ，80o B．650， 650
C．500 ，650
问题中涉及到的数学定理、公式和运算
性质、法则有范围或者条件限制，或者是 分类给出的.如讨论一次函数ｙ＝ｋｘ＋ｂ （k≠0）的增减性，要分k＜0和k＞0两种 情况.这种分类讨论题型可以称为性质型
例2： 1）、 一次函数y=kx+b的自变
量的取值范围是 -3≤x≤ 6，，相应的
函数值的取值范围是-5≤y≤-2 ，则这
Ｄ
150°
Ｈ
Ｏ
ＣＥ
Ｆa
2、在直角坐标系中，O为坐标原点， 已知 A（1，1），在x轴上确定点P， 使得△AOP为等腰三角形，则符合条 件的P点共有 4 个y
1
A (1,1)
P2(- 2 ,0)
P1(2,0)
-1
o
x 1 P3( 2 ,0)
P4( 1, 0 )
-1
例8、在Ｒｔ△ABC中，∠C=900，AC=3，BC=4。 若以Ｃ为圆心，Ｒ为半径的圆与斜边只有一个 公共点，则R的值为多少？
A
P
B
①当 QA AB
=
AP BC
时，△QAP∽△ABC，则 612t=
2t，解得t= 6
6 5
=1.2（秒）。
∴当t=1.2秒时，△QAP∽△ABC。
❖ 分类讨论思想，就是把要研究的数学对 象按照一定的标准划分为若干不同的类 别，绕后逐类进行研究、求解的一种数 学解题思想。分类思想的实质是按照数 学对象的共同性和差异性，将问题划分 为不同的种类，其作用是克服思维的片 面性，防止漏解。
❖ 引起分类讨论主要原因：（1）概念本 身是分类定义的。如绝对值、点（直线、 圆）与圆的位置关系和两圆相切等概念 的分类；（2）某些公式、定理、性质、 法则的条件和范围是限制的; （3）含有 字母系数的问题，需对该字母的不同取 值范围进行讨论；
3.五个正整数从小到大排列，若这组数据的中位数 是4，唯一众数是5，则这五个正整数的和为 .
【简解】本题分五个数分别为1、2、4、5、5； 1、3、4、5、5； 2、3、4、5、5三种情况， 答案 17、18、19；
4.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为45°则 这个等腰三角形的顶角 ° 【简解】本题分腰上的高在三角形形内和腰上的高 在三角形形外两种情况，答案 45°和135°；
例5
1、已知⊙O的半径为5cm，AB、CD是⊙O的弦， 且AB=6cm， CD=8cm，AB∥CD，则AB与CD之 间的距离为 7cm或1cm。
A
B
A
C
C
OD
B D
O
2、在半径为1的圆O中，弦AB、AC的长分 别是 3、 2，则∠BAC的度数是 150或750 。
3、△ABC是半径为2cm的圆的内接三角形，若
❖ （4）题设的数量大小或关系确定，而 图形的位置或形状不确定(5)题目条件和 结论的不唯一；
解答分类讨论型问题的关键是要有分类讨 论的意识，克服想当然的错误习惯，注意 分类可能导致问题发生质的变化的各种情 况。解答分类讨论型问题的一般步骤是：
（1）确定分类对象；
（2）进行合理分类（理清分类的界限， 选择分类标准，并做到不重复、补遗漏）;
问题所涉及到的数学概念是分类 进行定义的.如|a|的定义分a>0、 a＝0、a<0三种情况.这种分类讨 论题型可以称为概念型.
例1：1)已知｜x︱=3，｜y︱=2，且
xy﹤0，则x+y的值= 1或-1
。
解 ： x 3 x 3
y 2 y 2 xy＜0
x
y
32或 y x
3 2
A
P
B
即6－t=2t,解得t=2（秒）
∴当t=2秒时， △QAP为等腰直 角三角形。
在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P沿AB边从点A出发
向B以2cm秒的速度移动;点Q沿DA边从点D开始向A以1cm/秒
的速度移动时，如果P、Q同时出发，用t秒表示移动的时
间（0＜t＜6）那么：
D
C
（2）求四边形QAPC的面积,并提出Q
例12、如图,在矩形ABCD中,AB=20厘米,BC=4厘米,
点P从点A开始沿折线A—B—C—D以4厘米/秒的速
度移动,点Q从点C开始沿CD以1厘米/秒的速度移
动,如果点P和Q分别从点A、C同时出发,当其中一
个点到达D点时,另一点也随之停止运动.设运动
时间为t（秒）.
（1）当t为何值时，四边形APQD为矩形；
例3：1. 在Rt△ABC中,AB=6,BC=8,则这个三 角形的外接圆直径是（ ）
A 5 B 10 C 5或4
D 10或8
【简解】本题对谁是斜边进行讨论，选D；
2.菱形有一内角为120°,有一条对角线为6cm,
则此菱形的边长为
cm.
【简解】本题分6cm是较短的对角线和6cm是较
长的对角线两种情况，答案 6cm或2cm；
D．500，800或 650，650
4)．等腰三角形的一边长为3cm，周长是13cm， 那么这个等腰三角形的腰长是（A） A．5cm B.3cm C．5cm或3cm D．不确定
5）．已知等腰三角形的两边长分别为5和6，则 这个三角形的周长是（ B） A．16 B．16或 17 C.17 D．17或 18
x
A．0个或2个 B．l个 C．2个 D．3个
4）、若直线 y=－x+b 与两坐标轴围成的三角形
的面积是2，则b的值为 2或-2 ；
y
y
o
x
o
x
5）、函数y=ax2-ax+3x+1与x轴只 有一个交点，求a的值与交点坐标。
当a=0时,为一次函数y=3x+1,交点为（- 1，0）； 3
当a不为0时,为二次函数y=ax2+(3-a)x+1, △ =a2 10a+9=0. 解得a=1或 a=9,交点为（-1，0）或（ 13，0）
点C的坐标为（1，-1），
图①
解得
k 1, a 1
，所以y
1 3
x
12
1
3
（2）如图②，当 ACB 60时，由菱形性质知点
A的坐标为（0，0），点C的坐标为（1， 3），
解得 k 3,a 3
y
所以 y 3x 12 3
同理可得：
D
y 1 x 12 1, y 3x 12 3
AB边从点A出发向B以2cm秒的速度移动;点Q沿DA边
从D开始向A以1cm/秒的速度移动时，如果P、Q
同时出发，用t秒表示移动的时间（0＜t＜6）那
么：（1）当t为何值时，△QAP为等腰直角三角形？
解:(1) AP=2t,DQ=t,∴QA=6－ D
C
ｔ，
Q
当ＡＱ=AP时，△QAP为等腰直
角三角形，
A
B
A
C
C B
B
C
A
分析（1）圆C与斜边AB相切时， R=2.4
（2）圆C与斜边AB相交时，一个交点在线段AB上，
另一个交点在延长线上。
3﹤R≦4
例9、半径为R的两个等圆外切，则半径为 2R且和这两个圆都相切的圆有几个？
(1）若顶角顶点与矩形顶点重合
F
A
D
16
E
B
17 1 C
如图，当AE=AF=10时,S△AEF= 2×10×10=50(cm2)
A
D
A
D
16
E
E
B
17
C
B
F
C
∴三角形面积是50cm2 、 40 cm2 、 5 51cm2
E
A
D
F
例11：在平面直角坐标系中，已知二次函数的图像 与 x 轴相交于点A、B，顶点为C，点D在这个二次 函数图像的对称轴上，若四边形ABCD是一个边长 为2且有一个内角为60°的菱形，求此二次函数的 表达式.
（3）逐类进行讨论
（4）归纳出结论
分类讨论型问题常与开放探究型问题综 合在一起，不论是在分类中探究，还是 在探究中分类，都需要具备扎实的基础 知识和灵活的思维方式，对问题进行全 面衡量、统筹兼顾，切忌以偏概全。分 类讨论是中学数学中常用的一种数学思 想方法，它能考查学生的综合的数学知 识和灵活的应用能力，因此，分类讨论 型问题也是中考命题的热点之一，常出 现在中考数学的压轴题中。
一个与计算结果有关的结论；
（2）在△QAC中，S=
1 2
QA·DC= 12（A
B
6－tP)·12=36－６ｔ
在△APC中，S=
1 2
1
AP·BC= 2 ·２ｔ·６＝６ｔ
S QAPC的面积=（３６－6t)+6t=36(cm2)
由计算结果发现：在P、Q两点移动的过程中，四边形QAPC 的面积始终保持不变。