球坐标系与柱坐标系

4.1.3球坐标系与柱坐标系

1．球坐标系、柱坐标系的理解．

2．球坐标、柱坐标与直角坐标的互化．

[基础·初探]

1．球坐标系与球坐标

(1)在空间任取一点O作为极点，从O点引两条互相垂直的射线Ox和Oz作为极轴，再规定一个长度单位和射线Ox绕Oz轴旋转所成的角的正方向，这样就建立了一个球坐标系．

图4-1-5

(2)设P是空间一点，用r表示OP的长度，θ表示以Oz为始边，OP为终边的角，φ表示半平面xOz到半平面POz的角，则有序数组(r，θ，φ)就叫做点P 的球坐标，其中r≥0,0≤θ≤π，0≤φ＜2π.

2．直角坐标与球坐标间的关系

图4-1-6

若空间直角坐标系的原点O，Ox轴及Oz轴，分别与球坐标系的极点、Ox 轴及Oz轴重合，就可以得到空间中同一点P的直角坐标(x，y，z)与球坐标(r，θ，φ)之间的关系，如图4-1-6所示．

x 2＋y 2＋z 2＝r 2， x ＝r sin_θcos_φ， y ＝r sin_θsin_φ， z ＝r cos_θ. 3．柱坐标系

建立了空间直角坐标系O -xyz 后，设P 为空间中任意一点，它在xOy 平面上的射影为Q ，用极坐标(ρ，θ)(ρ≥0,0≤θ＜2π)表示点Q 在平面xOy 上的极坐标，这时点P 的位置可以用有序数组(ρ，θ，z )(z ∈R )表示，把建立上述对应关系的坐标系叫柱坐标系，有序数组(ρ，θ，z )叫做点P 的柱坐标，记作P (ρ，θ，z )，其中ρ≥0,0≤θ＜2π，z ∈R .

图4-1-7

4．直角坐标与柱坐标之间的关系

⎩⎨⎧

x ＝ρcos θ，

y ＝ρsin θ，z ＝z .

[思考·探究]

1．空间直角坐标系和柱坐标系、球坐标系有何联系和区别？

【提示】 柱坐标系和球坐标系都是以空间直角坐标系为背景，柱坐标系中一点在平面xOy 内的坐标是极坐标，竖坐标和空间直角坐标系的竖坐标相同；球坐标系中，则以一点到原点的距离和两个角(高低角、极角)刻画点的位置．空间直角坐标系和柱坐标系、球坐标系都是空间坐标系，空间点的坐标都是由三个数值的有序数组组成．

2．在空间的柱坐标系中，方程ρ＝ρ0(ρ0为不等于0的常数)，θ＝θ0，z ＝z 0分别表示什么图形？

【提示】 在极坐标中，方程ρ＝ρ0(ρ0为不等于0的常数)表示圆心在极点，半径为ρ0的圆，方程θ＝θ0(θ0为常数)表示与极轴成θ0角的射线．而在空间的柱坐标系中，方程ρ＝ρ0表示中心轴为z 轴，底半径为ρ0的圆柱面，它是上述圆周沿z 轴方向平行移动而成的．方程θ＝θ0表示与zOx 坐标面成θ0角的半平面．方程z ＝z 0表示平行于xOy 坐标面的平面，如图所示．

常把上述的圆柱面、半平面和平面称为柱坐标系的三族坐标面．

[质疑·手记]

预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问1：_____________________________________________________ 解惑：_____________________________________________________ 疑问2：_____________________________________________________ 解惑：_____________________________________________________

(1)已知点M 的球坐标为⎝ ⎛

⎭

⎪⎫2，3π4，3π4，则点M 的直角坐标为

________．

(2)设点M 的柱坐标为⎝ ⎛

⎭⎪⎫2，π6，7，则点M 的直角坐标为________．

【自主解答】 (1)设M (x ，y ，z )， 则x ＝2sin 3π4·cos 3π

4＝－1，

y ＝2×sin 3π4×sin 3π

4＝1， z ＝2×cos 3π

4＝－ 2.

即M 点坐标为(－1,1，－2)． (2)设M (x ，y ，z )， 则x ＝2×cos π

6＝3， y ＝2×sin π

6＝1，z ＝7. 即M 点坐标为(3，1,7)．

【答案】 (1)(－1,1，－2) (2)(3，1,7) [再练一题]

1．(1)已知点P 的柱坐标为⎝ ⎛

⎭⎪⎫4，π3，8，则它的直角坐标为________．

(2)已知点P 的球坐标为⎝ ⎛

⎭⎪⎫4，3π4，π4，则它的直角坐标为________．

【解析】 (1)由变换公式得： x ＝4cos π

3＝2， y ＝4sin π

3＝23，z ＝8.

∴点P 的直角坐标为(2,23，8)． (2)由变换公式得：

x ＝r sin θcos φ＝4sin 3π4cos π

4＝2， y ＝r sin θsin φ＝4sin 3π4sin π

4＝2， z ＝r cos θ＝4cos 3π

4＝－2 2. ∴它的直角坐标为(2,2，－22)．

【答案】 (1)(2,23，8) (2)(2,2，－22)

已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1

的棱长为1，如图4-1-8建立空间直角坐

标系A —xyz ，Ax 为极轴，求点C 1的直角坐标、柱坐标以及球坐标．

图4-1-8

【思路探究】 解答本题根据空间直角坐标系、柱坐标系以及球坐标系的意义和联系计算即可．

【自主解答】 点C 1的直角坐标为(1,1,1)， 设点C 1的柱坐标为(ρ，θ，z )，球坐标为(r ，φ，θ)， 其中ρ≥0，r ≥0,0≤φ≤π，0≤θ＜2π， 由公式⎩⎪⎨⎪

⎧ x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，

z ＝z

及⎩⎪⎨⎪

⎧

x ＝r sin φcos θ，y ＝r sin φsin θ，z ＝r cos φ

得⎩⎨⎧

ρ＝x 2＋y 2，tan θ＝y

x (x ≠0)

及⎩⎨⎧

r ＝x 2＋y 2＋z 2，cos φ＝z

r ，