几何最值及路径长讲义及答案

几何最值及路径长（讲义）

一、知识点睛

1.解决几何最值问题的通常思路

①分析定点、动点，寻找不变特征；

②若属于常见模型、结构，调用模型、结构解决问题；

若不属于常见模型，结合所求目标，依据不变特征转化，借助基本定理解决问题．

转化原则：尽量减少变量，向定点、定线段、定图形靠拢．

理论依据：

两点之间，线段最短（已知两个定点）

垂线段最短（已知一个定点、一条定直线）

三角形三边关系（已知两边长固定或其和、差固定）

过圆内一点，最长的弦为直径，最短的弦为垂直于直径的弦

常用模型、结构示例：

①奶站模型

l

l

求P A+PB的最小值，求|P A-PB|的最大值，

使点在线异侧使点在线同侧

②天桥模型

l

固定长度线段MN在直线l上滑动，求AM+MN+BN的最小值，需平移BN（或AM），转化为奶站模型解决

③折叠求最值结构

A

M

A'

N

B C

求BA′的最小值，转化为求BA′+A′N+NC的最小值（利用

A′N+NC为定值）

2.解决路径长问题的思路

①分析定点、动点，寻找不变特征；

②猜测、验证，确定运动路径；

猜测常通过“起点、终点、特殊点”，

结合不变特征验证．

③设计方案，求出路径长．

二、精讲精练

1.如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的直角顶点A在x

轴的正半轴上，顶点B的坐标为(3

，点C的坐标为

(1

2

，0)，点P为斜边OB上一动点，则PA+PC的最小值

为___________．

Q P E D C

B

A

第1题图第2题图

2.如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=8，E为CD边的中点．若

P，Q为BC边上的两动点，且PQ=2，则当BP=_______时，四边形APQE的周长最小．

3. 如图，在三角形纸片ABC 中，已知∠ABC =90°，AC =5，

BC =4．过点A 作直线l 平行于BC ，折叠三角形纸片ABC ，使直角顶点B 落在直线l 上的点P 处，折痕为MN ．当点P 在直线l 上移动时，折痕的端点M ，N 也随之移动，若限定端点M ，N 分别在AB ，BC 边上（包括端点）移动，则线段AP 长度的最大值与最小值之差为__________．

l

P

C

N

B

M

A

第3题图 第4题图

4. 如图，在△ABC 中，∠BAC =120°，AB=AC =4，M ，N 两点

分别是边AB ，AC 上的动点，将△AMN 沿MN 翻折，A 点的对应点为A'，连接BA'，则BA'的最小值是___________．

5. 如图，∠MON=90°，矩形ABCD 的顶点A ，B 分别在OM ，

ON 上，当点B 在ON 上运动时，点A 随之在OM 上运动，且矩形ABCD 的形状和大小保持不变．若AB =2，BC =1，则运动过程中点D 到点O 的最大距离为（ ） A

B

C

．

5

D ．52

D

C

A

B O

N M F

D E

A

H G

B

C

第5题图 第6题图

6. 如图，E ，F 是正方形ABCD 的边AD 上的两个动点，且满

足AE =DF ．连接CF 交BD 于点G ，连接BE 交AG 于点H ．若正方形的边长为2，则线段DH 长度的最小值是__________．

A M

A'

N

B

C

7. 如图，在△ABC 中，AB =6，AC =8，BC =10，P 为边BC 上

一动点，PE ⊥AB 于点E ，PF ⊥AC 于点F ，M 为EF 中点，则AM 的最小值为___________．

M F

E P

C

B

A

第7题图 第8题图

8. 如图，在Rt △AOB 中，OA =OB

=O 的半径为1，点

P 是AB 边上的动点，过点P 作⊙O 的一条切线PQ （点Q 为切点），则PQ 长度的最小值为___________．

9. 如图，AB 是⊙O 的一条弦，点C 是⊙O 上一动点，且

∠ACB =30°，点E ，F 分别是AC ，BC 的中点，直线EF 与⊙O 交于G ，H 两点．若⊙O 的半径为7，则GE +FH 的最大值为_________________．

G

O

O'

D'A'

D

C B

A

第9题图 第10题图

10. 边长为2的正方形ABCD 的两条对角线交于点O ，把BA 与

CD 分别绕点B 和点C 逆时针旋转相同的角度，此时正方形ABCD 随之变成四边形A'BCD'．设A'C ，BD'交于点O'，若旋转了60°，则由点O 运动到点O'所经过的路径长为___________．

P

B

O

A

Q

11.如图，木棒AB的长为2a，斜靠在与地面OM垂直的墙壁

ON上，且与地面的倾斜角（∠ABO）为60°．当木棒A端

沿NO向下滑动到A'，B端沿直线OM向右滑动到B'

，若

AA'=a，则木棒的中点P随之运动的路径长为____________．

N

A

B

第11题图第12题图

12.如图，已知线段AB=10，AC=BD=2，点P是线段CD上一

动点，分别以AP，PB为边向上、向下作正方形APEF和正方形PHKB．设正方形对角线的交点分别为O1，O2，当点P 从点C运动到点D时，线段O1O2的中点G运动的路径长为_________．

13.已知等边三角形ABC的边长为4，点D是边BC的中点，点

E在线段BA上由点B向点A运动，连接ED，以ED为边在ED右侧作等边三角形EDF．设△EDF的中心为O，则点E由点B向点A运动的过程中，点O运动的路径长为_____________．

三、回顾与思考