第三章-动量守恒 火箭的飞行原理

2
z
z'
解
v1 v 2 v '
v2 v m1
( m1 m 2 ) v m1 v1 m 2 v 2
v ' 2 .17 10 3 m s 1
1
m1 m 2
3
v 1 3 .17 10 m s
y
s
o
y'
s'
m2
v
o'
z'
v'
m1
x x'
z
动量、冲量 、动量定理、动量守恒 动能、功、动能定理、机械能守恒
2
第3章 动量定理
dp 考虑力的时间积累效应 由牛Ⅱ F外 dt 力的时间积累 力的冲量：
3.1 冲量与动量定理
F外 dt dp
动量定理微分形式
质点的动量定理： 质点受合外力的冲量等于同一时间内该质点动量的增量

t
'
t0
' p ' F合外 dt dp p p0
p0
' I合外力 p p0
冲量
t I F合外 dt
'
t0

t
'
t0
' F合外 dt mv mv0
动量定理积分形式
可以看出动量定理是牛顿第二定律变形
则
I
(b)
例6 一枚返回式火箭以 2.5103 m·-1 s 的速率相对惯性系S沿水平方向飞行．空气 阻力不计．现使火箭分离为两部分, 前方的 仪器舱质量为100 kg，后方的火箭容器质量 为200 kg，仪器舱相对火箭容器的水平速率 为1.0103 m·-1． y s s y' s' v' v 求仪器舱和火 m1 m 箭容器相对惯 o x x' o' 性系的速度．
m2
O
F m 1 g yg
由质点系动量定理得
m1
y
Fdt dp
y
Fdt dp
又
d p d( y v )
d yv dt
m2
O
yg d t d( y v )
m1
y
则
yg
两边同乘以 y d y 则
y gdy ydy
2
y
yv d yv
lz
m
l
f
z
(a )
(b)
解:
绳子上端的下落速度
v dz dt
2 g (l z )
z
lz
f
紧靠地面的质元 dm 与地面相碰, 动量由 vdm 变为 零. 设该质元受到的支持力为 f1 , 则根据质点的动量 定理有:
( f1 gdm) dt vdm, dm (dz )
i 1、 、 、 、 n 2 3 ......
内力仅能改变系统内某个物体的动 量，但不能改变系统的总动量.
质点系
Fi
fi2
对于质点系：
f2i
F2
m2

i 1 t2 t1
n
t2 t1
( Fi f i )d t Fi

n
mi vi
n
i 1

n
mi vi0
水平光滑圆盘以大小为 ω 的角速度作匀速转动。圆盘上有一质量为 m 的质点，在半径为 R 的光滑圆槽里，以相对于地面为 v 的速率作匀速圆周 运动。设Rω>v ,试以圆盘为参考系写出质点 m 所受的各种力。
f2
在转动圆盘上观察小球受力：
垂直圆盘方向： 重力 mg
在圆盘水平方向：
支持力 N mg
FM
F
在三维直角坐标系中
Fx

t2 t1
Fx d t
t 2 t1

m v x 2 m v x1 t 2 t1
o
t
t1
t2
Fy

t2 t1
Fydt
t 2 t1

m v y 2 m v y1 t 2 t1
Fz
注意： 在
p

t2 t1
Fz d t
t 2 t1
神舟六号待命飞天
注：照片摘自新华网
神舟六号点火升空
注：照片摘自新华网
http://news.xinhuanet.com/st/2005-10/12/content_3610021.htm
神舟六号发射成功
注：照片摘自新华网
3-3
系统内质量移动问题
M
M dm
选地面作参照系,忽略外力 (1) t 时刻: 火箭+燃料=M 选正向
mvx MV
m
t 0
vx
m vx dt M Vdt
0
t
R
v
s
ms MS
V
S
S m mM R
M
sS R
x
例 5. 一根长为 l 的完全柔软的质量均匀分布的绳子竖直地 悬挂着, 其下端刚刚与地面接触让绳子从静止开始下落, 求下 落所剩长度为 z 时, 地面对这段绳子的作用力. z
Iy Iz


平均冲力

t2 t1
F d t m v 2 m v1
mv

t2 t1
F d t F t 2 t1
m v1
F
mv2
F

t2 t1
Fdt
t 2 t1

m v 2 m v1 t 2 t1
F
（3）守恒条件：合外力为零，即 F外

i
Fi 外 0
例如在碰撞、打击、
爆炸等问题中，当 F外 F内
时，可
略去外力的作用, 近似地认为系统动量守恒 。 （4）若某一方向合外力为零, 则此方向动量守恒 。
Fx 0 , px
Fy 0 ,
Fz 0 ,
py
pz
n
mi
i 1
(
n
i 1

n
n
f i )d t
fi
n
n n
i 1

mi vi
i 1

mi vi0
i 1
因为内力
i 1

i 1
f ji 0
n
，故
mi vi0
质点系动量定理：作用 于质点系的合外力的冲 量等于质点系动量的增 量。
ji

dm dM
dMv dMdv dMu Mv dMv Mdv dMdv Mv
Mdv udM 0
d yv dt
g y d y
2 0
y

yv 0
2
yv d yv
2 v gy 3
1 2
1 3
gy
3
1 2
yv
三、动量守恒定律
质点系动量定理 动量守恒定律：
的总动量守恒，即 p
若质点系所受的合外力为零 F
I

t1
t2
Fi d t
f1
fc
ω
槽壁提供的向心力
f1 mv
2
2
R
f c 2m( R v)
惯性离心力
科里奥利力
f c 2mv ,
f 2 m R ，沿半径向外。
v R v，小球相对于圆盘的速度。
该力指向圆心。
力的累积效应
F ( t )对 t 积累 I , p F 对 r 积累 W , E

成为一个新的原子核。已知电子和中微子的运动方向互相垂直，

Fi内 0
pe
p

n
mivi 恒 量

pν
1
i 1

pN
即 pe p ν p N 0
p e 1 . 2 10
p 6 . 4 10
22
kg m s
kg m s
23
1
系统动量守恒 , 即
pe p ν p N 0
pe
pN
又因为

2 e
pe p ν

2 ν 1 2
p e pν

pN
pN ( p p )
代入数据计算得
pνБайду номын сангаас
p N 1 . 36 10
22
kg m s
1
arctan
pe pν
61 . 9
例 4. 如图，一个有四分子一圆弧滑槽的大物体质量为M，置 于光滑的水平面上。另一质量为m的小物体自圆弧顶点由静止下滑。 求： 当小物体 m 滑到底时，大物体 M 在水平面上移动的距离。 解: 由水平方向动量守恒有 S s y 0 mvx M (V )

t2 t1
F d t m v 2 m v1 p 2 p1
动量定理：在某一时间内，外力作用在质点上的冲量， 等于质点在该时间内动量的增量。
说明 某方向受到冲量，该方向上动量就增加．
直角坐标系内的分量形式—— Ix
I I xi I y j I zk
t1
t2
Fi d t

mi vi
i 1

i 1
说明： 1、内力不改变质点系的动量。
——推开前后系 统动量不变
即： p p 0
2、在直角坐标系中

t1
t2
Fix d t Fiy d t

i 1 n
n
m i v ix m i v iy

t1

i
pi

i
pi0

i
pi

i
Fi 0 ， 则系统
保持不变 。
说明： （1）系统的动量守恒是指系统的总动量不变，系统内任一物
体的动量是可变的, 各物体的动量均相对于同一惯性参考系 。
（2）力的瞬时作用规律。
dp F , dt 若 F 0, 则 P C。
它们对地的速度为 v
(2)经 dt 时间后 ,质量为 dm 的燃料喷出
u 称为喷气速度 （喷出燃料相对火箭速度）
剩下质量为 M dm, 对地速度为 v dv
动量守恒
dm ( v dv u ) ( M dm )( v dv ) Mv dM ( v dv u ) ( M dM )( v dv ) Mv
y
14.1N
方向沿 x 轴反向。
例2 一柔软链条长为l，单位长度的质量为。链条放在桌上， 桌上有一小孔，链条一端由小孔稍伸下，其余部分堆在小孔周
围.由于某种扰动，链条因自身重量开始落下。求链条下落速
度与落下距离之间的关系。设链与各处的摩擦均略去不计，且 认为链条软得可以自由伸开。 以竖直悬挂的链条和桌面 解： 上的链条为一系统，建立如图 坐标。 则
m l vdt
忽略二级小量 , 有
dm
z
2 m 1 mv z f1 v v vdt 2mg1 dt l dt l l m 已落地部分所受到支持力为 f 2 (l z ) g l z f f1 f 2 3mg 1 l

t2 t1 t2 t1 t2 t1
F x d t m v 2 x m v1 x F y d t m v 2 y m v1 y F z d t m v 2 z m v1 z
v vxi v y j vzk
F Fx i F y j Fz k
t2
i 1 n

i 1
n
但，个体的动量 发生改变。
mi vi0 x mi vi0 y mi vi0 z
i 1 n
内力仅能改变系统内 某个物体的动量，但 不能改变系统的总动 量.

t1
t2
Fiz d t

m i v iz
i 1

n
i 1
例1 一质量为0.05kg、速率为10m·-1的刚球,以与钢板法线呈45º s 角的方向撞击在钢板上,并以相同的速率和角度弹回来。设碰撞 时间为0.05s.求在此时间内钢板所受到的平均冲力 F 。
解：建立如图坐标系, 由动量定理得
Fx t mv2 x mv1x
mv cos (mv cos )
2mv cos
Fy t mv2 y mv1 y
x

m v1
mv2

mv sin α mv sin 0
F Fx 2mv cos t
m v m v m v
i
ix
恒量
i
iy
恒量
恒量
i
iz
（5）动量守恒定律只在惯性参考系中成立，是自然界最普遍， 最基本的定律之一 。
例3 设有一静止的原子核,衰变辐射出一个电子和一个中微子后 且 电 子 动 量 为 1.210-22 kg· s-1 ， 中 微 子 的 动 量 为 6.410-23 m· kg· s-1。问新的原子核的动量的值和方向如何? m· 解: Fi 外 Fi内

m v z 2 m v z1 t 2 t1
一定时， t 越小，则 F 越大。
例如：飞机与鸟相撞、打桩等碰撞事件中，作用时间很短， 冲力很大；相反，还可以利用一些手段使得作用时间很长，
进而减小冲力。
二、质点系的动量定理
对于质点i：
t2 t1
( Fi f i )d t m i v i m i v i 0