第二类曲面积分

lim∑R(ξi ,ηi ,ζ i )(∆Si ) xy 存在, 存在,
λ→0
i =1
n
在有向曲面Σ 则称此极限为函数 R( x, y, z) 在有向曲面 Σ 上 的曲面积分(也称第二类曲面积分 第二类曲面积分) 对坐标 x, y的曲面积分(也称第二类曲面积分)
记作∫∫ R( x, y, z)dxdy ,即
典型单侧曲面 典型单侧曲面: 莫比乌斯带 单侧曲面
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曲面法向量的指向决定曲面的侧 曲面法向量的指向决定曲面的侧. 向量的指向决定曲面的 决定了侧的曲面称为有向曲面. 决定了侧的曲面称为有向曲面. 有向曲面 曲面的投影问题: 在有向曲面Σ 曲面的投影问题: 在有向曲面Σ上取一小块
曲面 ∆S , ∆S在xoy面上的投影(∆S) xy为 ∆
Σ Σ2 Σ1
= ∫∫ xy 1 − x − y dxdy − ∫∫ xy( − 1 − x − y )dxdy
2 2 2 2 D xy D xy
= 2 ∫∫ xy 1 − x 2 − y 2 dxdy
D xy
极坐标
2
= 2 ∫ dθ ∫ ρ cosθ sin θ 1 − ρ dρ
3 0
π 2 0
1
2 = . 15
计算对坐标的曲面积分时 计算对坐标的曲面积分时: 对坐标的曲面积分 (1) 认定对哪两个坐标的积分 将曲面 表为 认定对哪两个坐标的积分,将曲面 将曲面Σ表为 这两个变量的函数,并确定 的投影域. 并确定Σ的投影域 这两个变量的函数 并确定 的投影域 (2) 将Σ 的方程代入被积函数 化为投影域上 的方程代入被积函数,化为投影域上 的二重积分. 的二重积分 (3) 根据 的侧 法向量的方向 确定二重积分 根据Σ的侧 法向量的方向)确定二重积分 的侧(法向量的方向 前的正负号. 前的正负号
x2 + y2 + z2 = 1外侧
的部分. 在 x ≥ 0, y ≥ 0的部分.
y
x
Σ1
−
解
把Σ分成Σ 1和Σ 2两部分
Σ 1 : z1 = − 1 − x − y ;
2 2
Σ 2 : z2 = 1 − x − y ,
2 2
∫∫ xyzdxdy = ∫∫ xyzdxdy + ∫∫ xyzdxdy
(∆σ ) xy 当cos γ > 0 时 (∆S) xy = − (∆σ ) xy 当cos γ < 0 时. 0 当cos γ = 0 时
其中( ∆σ ) xy 表示投影区域的面积 .
∆S 在xOy面上的投影( ∆S ) xy , 实际上就是 面上的投影 面上的
面上的投影区域的面积附以一定的 ∆S 在xOy面上的投影区域的面积附以一定的 正负号. 正负号 类似地,可定义 面及zOx面的投影 面的投影: 类似地 可定义∆S 在yOz面及 面及 面的投影
Σ1
2.
∫∫ P ( x , y , z )dydz = − ∫∫ P ( x , y, z )dydz
−Σ Σ
∫∫ Q( x , y, z )dzdx = − ∫∫ Q( x , y , z )dzdx
−Σ Σ
∫∫ R( x , y, z )dxdy = − ∫∫ R( x , y , z )dxdy
∴ lim∑R(ξi ,ηi ,ζ i )( ∆Si ) xy
λ→0
i =1
= lim∑R(ξi ,ηi , z(ξi ,ηi ))( ∆σ i ) xy
λ→0
i =1
n
即
∫∫ R( x, y, z)dxdy = D R[ x, y, z( x, y)]dxdy ∫∫ Σ
Σ
ห้องสมุดไป่ตู้xy
当曲面Σ 母线平行于z轴的柱面时 轴的柱面时, 注: 当曲面 母线平行于 轴的柱面时,
该点处曲面Σ 该点处曲面Σ 的单位法向量 r r r r0
通过 ∆ s i 流向指定侧的流量的近似值为
vi ⋅ ni ∆Si
(i = 1,2,L, n).
2. 求和 通过 Σ 流向指定侧的流量 Φ ≈ ∑vi ⋅ ni ∆Si 通过Σ
i =1
n
= ∑[P(ξi ,ηi ,ζ i ) cosαi + Q(ξi ,ηi ,ζ i ) cos βi
∫∫ Rdxdy = Σ
0
若Σ取下侧, cos γ < 0,
Σ Dxy
∴ ( ∆Si ) xy = − ( ∆σ ) xy ,
∫∫ R( x, y, z)dxdy = −∫∫ R[x, y, z( x, y)]dxdy
如果Σ由 x = x ( y , z )给出, 则有 ∫∫ P( x, y, z)dydz = ±∫∫ P[ x( y, z), y, z]dydz
三、概念及性质
为光滑的有向曲面,函数在Σ 定义 设Σ 为光滑的有向曲面 ,函数在Σ 上有 界,把Σ分成 n块小曲面 ∆Si ( ∆Si 同时又表示第 i 块小曲面的面积), ∆Si 在 xoy面上的投影为 块小曲面的面积), (∆Si ) xy,(ξi ,ηi ,ζ i )是 ∆Si 上任意取定的一点,如 上任意取定的一点, ∆ 果当各小块曲面的直径的最大值 λ → 0时,
Σ5
( 0,0, a )
x=0面在 面在yOz面上的投影为负. 面上的投影为负 面在 面上的投影为 Σ4 投影域均为: 投影域均为 Σ1 O Σ O 0≤y≤a, 0≤z≤a, 故 6
Σ3 Σ2
(0, a ,0) y
x 2dydz = +∫∫ a 2dydz − ∫∫ 02dydz yd ∫∫
Σ
D yz
∫∫ R( x, y, z)dxdy = lim∑R(ξi ,ηi ,ζ i )(∆Si )xy λ →0 i =1 Σ
Σ
Σ
n
被积函数 积分曲面 类似可定义
∫∫ P( x, y, z)dydz = lim∑P(ξi ,ηi ,ζ i )(∆Si ) yz λ→0 i =1 Σ
Σ
n
∫∫ Q( x, y, z)dzdx = lim∑Q(ξi ,ηi ,ζ i )(∆Si )zx λ →0 i =1 Σ
Σ
物理意义: 物理意义
Φ = ∫∫ P( x, y, z)dydz + Q( x, y, z)dzdx + R( x, y, z)dxdy
Σ
性质: 性质
1.
Σ1 + Σ 2
∫∫ Pdydz + Qdzdx + Rdxdy
Σ2
= ∫∫ Pdydz + Qdzdx + Rdxdy + ∫∫ Pdydz + Qdzdx + Rdxdy
r 则该点流速为 v i . r 法向量为 ni .
Σ
•
o x
y
r r v i = v (ξ i ,η i , ζ i )
r r r = P (ξ i ,η i , ζ i )i + Q(ξ i ,η i , ζ i ) j + R(ξ i ,η i , ζ i )k ,
ni = cos α i i + cos β i j + cos γ i k ,
一投 二代
三定号
其中Σ是 例 计算 ∫∫ x 2dydz + y 2dzdx + z 2dxdy , 其中 是 三个坐标面与平面 x = a , y = a , z = a (a > 0) 所围成的正方体的表面的 外侧. 外侧. z 解 先计算 ∫∫ x dydz
2
Σ
( 0,0, a )
Σ
Σ5 Σ4 Σ1
x
(a ,0,0)
D yz
=a
2
dydz = a 4 ∫∫
D yz
的对等性知 后两个积分值也等于a 由 x,y,z 的对等性知, 后两个积分值也等于 4. 所求曲面积分为 3a4.
五、两类曲面积分之间的联系
设有向曲面Σ 给出, 设有向曲面Σ是由方程 z = z ( x , y ) 给出,Σ在 xoy 面上的投影区域为 Dxy , 函数 z = z ( x , y ) 在 D xy 上具有一阶连续偏导数, 上连续. 上具有一阶连续偏导数, R( x , y , z ) 在Σ上连续.
给出, 是速度场中的一片有向曲面, 给出,Σ是速度场中的一片有向曲面,函数
P ( x , y , z ), Q ( x , y , z ), R( x , y , z )
都在Σ上连续, 都在Σ上连续, 求在单位
Σ
z
时间内流向Σ 时间内流向Σ指定侧的流 体的质量 Φ .
x o
y
把曲面Σ 1. 分割 把曲面Σ分成n 小块∆si (∆si 同时也代表 r 小块曲面的面积), 第 i 小块曲面的面积), r vi 在 ∆si 上任取一点 z ∆Si ni (ξi ,ηi ,ς i ) (ξ i ,η i ,ζ i ) ,
−Σ Σ
四、计算法
设积分曲面Σ 设积分曲面Σ是由 z 方程 z = z ( x , y ) 所给 出的曲面上侧 上侧, 出的曲面上侧,Σ在 Σ xoy 面上的投影区域 为 Dxy ,函数 o z = z ( x , y )在 Dxy 上具 Dxy 有一阶连续偏导数, 有一阶连续偏导数, x 被积函数 R( x , y , z ) 上连续. 在Σ上连续.
i =1
n
+ R(ξi ,ηi ,ζ i ) cos γ i ]∆Si
= ∑[P(ξi ,ηi ,ζ i )(∆Si ) yz + Q(ξi ,ηi ,ζ i )(∆Si ) xz
i =1 n
+ R(ξi ,ηi ,ζ i )(∆Si ) xy
3.取极限 3.取极限
取极限得到流量Φ λ → 0 取极限得到流量Φ的精确值.
z
r n
ds
z = f ( x, y )
对坐标的曲面积分为
∫∫ R( x , y , z )dxdy
Σ
Σ
o
Dxy
= ± ∫∫ R[ x , y , z ( x , y )]dxdy
D xy
y
x
曲面Σ 曲面Σ的法向量的方向余弦为
m zx cosα = , 2 2 1 + zx + z y m zy cos β = , 2 2 1 + zx + zy ±1 cos γ = . 2 2 1 + zx + z y
z = f ( x, y)
y
(∆s)xy ∆
∫∫ R( x, y, z)dxdy = lim∑R(ξi ,ηi ,ζ i )(∆Si )xy λ→0 i =1 Σ
Σ
n
Q Σ取上侧, cos γ > 0, 又 Qζ i = z (ξ i ,η i )
n
∴ ( ∆Si ) xy = ( ∆σ ) xy ,
流量
θ
A
r0 n
v Φ = Av cosθ v v0 v v = Av ⋅ n = v ⋅ A
设稳定流动的不可压缩流体( (2) 设稳定流动的不可压缩流体(假定密度为 1) 的速度场由
r r r r v ( x , y , z ) = P ( x , y , z )i + Q ( x , y , z ) j + R( x , y , z )k
(∆S) yz , (∆S)zx ∆
α , β 恰好等于 ∆S与坐标面 yOz、 的二面角. zOx 的二面角
希自己写出
二、概念的引入
实例: 流向曲面一侧的流量. 实例: 流向曲面一侧的流量.
r (1) 流速场为常向量 v ,有向平面区域 A, 求单位 1). 时间流过 A 的流体的质量Φ (假定密度为 1). r v
Σ Dyz
如果Σ由 y = y( z , x )给出, 则有
∫∫ Q( x, y, z)dzdx = ±∫∫ Q[ x, y(z, x), z]dzdx
Σ Dzx
注意:对坐标的曲面积分,必须注意曲面所取的侧. 注意:对坐标的曲面积分,必须注意曲面所取的侧.
例 计算 ∫∫ xyzdxdy
Σ
z
+
Σ2
其中Σ 其中Σ是球面
Σ
n
存在条件: 存在条件
当 P ( x , y , z ), Q ( x , y , z ), R( x , y , z ) 在有向光滑曲 上连续时,对坐标的曲面积分存在. 面Σ上连续时,对坐标的曲面积分存在.
组合形式: 组合形式
∫∫ P( x, y, z)dydz + Q( x, y, z)dzdx + R( x, y, z)dxdy
Σ3 Σ2
(0, a ,0) y
由于平面
z = 0 , z = a , y = 0, y = a
都是母线平行于 轴的柱面 都是母线平行于x轴的柱面 母线平行于 轴的柱面,
x
O Σ O 6
(a ,0,0)
则在其上对坐标y,z的积分为 则在其上对坐标 的积分为0. 的积分为
z
x=a面在 面在yOz面上的投影为正,而 面上的投影为正 面在 面上的投影为 而
一、基本概念
假设曲面是光滑的) 观察以下曲面的侧 (假设曲面是光滑的 假设曲面是光滑的
曲面分上侧和下 曲面分上侧和下侧
曲面分内侧和外 曲面分内侧和外侧
双侧曲面; 曲面的分类: 曲面的分类 1.双侧曲面;
2.单侧曲面. 单侧曲面.
典 型 双 侧 曲 面
r n
规定 法向量的方向来区分曲面的两侧. 法向量的方向来区分曲面的两侧 的方向来区分曲面的两