第五章 正则语言的性质

正则语言运算的封闭性
例3：设表达式 r = 00 *11* 等价 FA Mr 如图所示，求与 ～r 等 价的 FA M～r 。
q1 1
0 0
q2 1
0,1 qt
01 q3
qp1 1
0 0
p2 1
0,1 p4
01 p3
正则语言运算的封闭性
定理5-3：
正则语言 RL 在“交” 运算下是封闭的。 证明：
正则语言的泵引理
说明：
1、泵引理给出关于 RL 性质的条件是必要条件：若 L 是 RL， 其一定满足泵引理给出的 4 个条件。因此，应用泵引理证明一 个语言不是 RL时，常用“反证法” 。
2、泵引理给出的 RL 性质的条件不是充分条件；满足泵引理 所给 4 个条件的语言不一定就是 RL。因此，泵引理只能用于 证明给定语言不是 RL；而不能证明给定语言是 RL。
由于 L 中存在句子 z 的结构不满足泵引理 RL 关于 “ 对于任意整数 i ≥ 0，u v i w ∈ RL L”的描述条件，与假设矛盾，故证得 L 不是 RL。
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正则语言的泵引理 – 应用实例
例1：证明语言 L = { 0n | n 为素数 } 不是 RL。
证明：假设 L = { 0n | n 为素数 } 是 RL，其满足泵引理。设依赖于 L（M） 的正整数为 N，L 中字符串 z = 0N+p，其中，N + p 是素数。 根据泵引理，必存在 u, v, w, 使得 z = uvw 且 | v |≥1；这里，v 是 0 组成的非 空串，不妨设 v = 0k, （k≥1），w = 0j，u = 0N + p – k – j，从而有，
即，
δ( q0, x ) = f ∈ F ⇔ δ( q0, x ) = f ∈ Q - F x ∈ L（M） ⇔ x ∈ L（M’）
亦即， L（M’） = ∑* - L（M）。
正则语言运算的封闭性
设 L（ r）= L（Mr），构造与 ～r 等价的 FA M～r 算法：
9 Mr 的始态作为 M～r 的始态； 9 Mr 与 M～r 的状态转移函数不变； 9 将 Mr 所有非终态 ( 包括陷阱态 qt ) 作为 M～r 的终态； 9 将 Mr 所有终态作为 M～r 的非终态。
p1 0 p2 1 p3
0
M2
q3
q4
1
状态 说明 状态列
始态 [ q1, q3 ]
输入字符列
0
[ q2, q4 ]
1
[ qt, qt ]
终态
[ q2, q4 ] [ q2, q3 ]
[ qt, qt ] [ qt, q4 ]
[ q2, q3 ] [ q2, qt ]
r = 01*∩( 01)* = 01
u vi w = 0N – k - j (0k)i 0j 1N ， 取 i = 2 时，有 u v2 w = 0N – k - j (0k)2 0j 1N = 0N + k 1N 由于已知 k ≥ 1， 有 N ＜ N + k, 于是有： 字符串 z = 0N + k 1N ∈ L，与泵引理第四条矛盾，故 L 不是 RL
u vi w = 0N + p – k – j (0k)i 0j = 0N + p + ( i -1 ) k， 取 i = N + p + 1， N + p + ( i – 1 ) k = N + p + ( N + p + 1 - 1) k
= ( N + p ) + ( N + p ) k = ( N + p )( 1 + k ) 由于已知 k≥1， 因此，( N + p )( 1 + k ) 不总是素数。
给定正则语言 L，正则文法 G 或 自动机 DFA 均根据语言 的结构特征，对 L 字母表的克林闭包 ∑* 中字符串进行 等价划分（分类 )，以求字符串的各个等价类 。
自动机极小化思路
例：L = { x000 | x ∈{0,1}* } ∪ { x001 | x ∈{ 0,1 }*} set (q0) = { x | x ∈ ∑*, x =ε 或者 x 以 1 结尾但不以 001 结尾 }; set (q1) = { x | x ∈ ∑*, x = 0 或者 x 以 10 结尾 } set (q2) = { x | x ∈ ∑*, x = 00 或者 x 以 100 结尾 } set (q3) = { x | x ∈ ∑*, x 以 000 结尾 } set (q4) = { x | x ∈ ∑*, x 以 001 结尾 }
正则语言的泵引理
RL 特征的形式化描述：
对任意整数 i ≥ 0, δ( q0, a1a2…ak( ak+1ak+2…aj )iaj+1aj+2…am ) = qm∈F
亦有：
a1a2…ak(ak+1ak+2…aj )iaj+1aj+2…am ∈ L（M）
设
u = a1a2…ak, v = ak+1ak+2…aj, w = aj+1aj+2…am;
1、z = uvw ; 2、| uv | ≤ N; 3、| v | ≥ 1; 4、对于任意整数 i ≥ 0，u v i w ∈ L。
正则语言的泵引理
泵引理应用：用反证法证明给定语言 L 不是 RL。
假设 L 是 RL，L 应满足泵引理。构造某句子 z = uvw ∈L，在给定正 整数 N 和某个 i 的条件下，可证得句子z = u v i w 不符合语言 L 中句 子的结构特征，即有句子 z = u v i w 不属于 RL L。
第五章 正则语言性质
正则语言的泵引理 正则语言运算的封闭性 自动机的极小化
24
自动机的极小化
问题的引出及 DFA 极小化思路 最简自动机求解的相关概念 Myhill – Nerode （米希尔-尼罗德）定理 自动机极小化求解算法与求解实例
自动机极小化思路
切入点：
给定正则语言 L，描述 L 的正则文法 RG 和有穷自动机 FA 的描述 本质相同：
对于任意整数 i ≥0，有： z = uviw ∈ L ;
由于 k < j ≤ N，u, v 应满足条件：
| u v | ≤ N, | v |≥1；
z 仍然是正则语言 RL 的句子。
正则语言的泵引理
定义5-1：泵引理
设 L 为 RL，存在仅依赖于语言 L 的某个正整数 N，对于 ∀z ∈ L， 如果 | z | ≥ N，则存在 u, v, w，满足以下条件：
由 De Morgan 定理：r1∩r2 = ～( ～ r1∪ ～ r2 ) 和 定理 5-1、5-2 可证
正则语言运算的封闭性
L( r1∩r2 ) 的 DFA M 构造分析：
给定 r1, r2 等价的 DFA M1 = < Q1, ∑, δ1, q01, F1 > ，DFA M2 = < Q2, ∑, δ2, q02, F2 >，构造 DFA M，使得 L( M ) = L( M1 )∩ L( M2 )。
第五章 正则语言的性质
习题：
题2、题6、题11；题12中任选一小题
第五章 正则语言的性质
正则语言的泵引理 正则语言运算的封闭性 自动机的极小化 正则语言的判定算法*
正则语言的泵引理
分析：
1、识别 RL 句子的 DFA 仅有有限个状态。 2、用 DFA M 接受无穷语言 L，L 中一定存在一个足够长的句 子，使得 DFA 在识别该句子时，需要重复地经过某些状态。
2、 M 的始态为 M1 和 M2 始态有序偶； M 的终态为 M1和 M2 的终态 有序偶；
3、如果对于输入字符 a，M1 和 M2 中某一状态没有转移状态，则 M 对应的有序偶转向陷阱态 qt； 4、若 M1，M2 中含有陷阱态 qt ，对应有序偶为 M 的陷阱态 qt。
例4：设 r1= 01* ，r2=(01)* ；求 r = r1∩r2 等价的 DFA M。
正则语言运算的封闭性
定理5-1：
正则语言 RL 对“并”、“乘积”和“闭包”运算封闭。
定理5-2：
正则语言 RL 对“补”运算封闭。
定理5-3：
正则语言 RL 对“交”运算封闭。
正则语言运算的封闭性
定理5-1：正则语言对“并”、“乘积”和“闭包”运算封闭。
定义4-1：设字母表为 ∑ ，正则表达式递归定义如下：
δ( q0, a1a2…ak ) = qk; δ( qk, ak+1 ak+2…aj ) = qj = qk; δ( qj, aj+1aj+2…am ) = qm 对于任意整数 i ≥ 0，可能有
δ( qk, (ak+1ak+2…aj )i ) =δ( q k, (ak+1ak+2…aj )i-1 ) ….. =δ( qk, (ak+1ak+2…aj )) = qk = qj 泵操作
DFA处理句子经历 的状态序列
DFA处理句子经历 的重复状态序列
正则语言的泵引理
RL 特征的形式化描述：
1、假设 L 是 RL，DFA M = < Q, ∑, δ, q0, F >， 满足 L( M ) = L， M 具有有限个状态，即，| Q | = N，且 Q 中状态均为可达状态。
2、取 L 中任意句子 z = a1a2…am ( m ≥ N )，并有 qm ∈ F。 3、由于 m ≥ N ，读字符的状态序列 q0, q1, …, qN 中至少有两个状态相 同。假设状态 qk = qj, 对于 k < j ≤ N，有，
正则语言运算的封闭性
对于 r = r1 + r2，构造相应ε-NFA 对于 r = r1r2，构造相应ε-NFA 对于 r = r1*，构造相应ε-NFA
正则语言运算的封闭性
定理5-2：
正则语言 RL 在“补” 运算下是封闭的。
证明：
设 L 是 ∑ 上的 RL，则存在 DFA M = < Q, ∑, δ, q0, F > ，满足 L（M）= L。取 DFA M’ = < Q，∑，δ，q0，Q - F > ， 显然，对于任意字符串 x ∈ ∑*，有
解：
1、与 r1 和 r2 等价的 FA M1 和 M2 ：
0
M1
q1
q2 1
2、根据 NFA 求 DFA M 算法： [ q1, q3 ] 为始态； [ q2, q3 ] 为终态。
2、 M 的状态表。 3、 令 DFA M 状态：
p1= [ q1, q3 ] -始态, p2 = [ q2, q4 ] p3 = [ q2, q3 ] -终态， 与 r = 01*∩( 01)* 等价的 DFA M：
5 个集合两两互不相交；5 个集合的并构成 M 识别输入字母表 { 0，1 } 的 克林闭包；5 个集合是关于 { 0, 1 }* 的一个等价划分。
自动机极小化思路
可知：
正则语言运算的封闭性
设 L( M1 ) = L( r1 )、L( M2 ) = L( r2 ) ，构造接受 L( r1∩r2 ) 的 DFA M = < Q, ∑, δ, q, F > 算法：
1、取 ∑ = ∑1 ∩ ∑2 ；Q = Q1×Q2；对 a ∈∑，q i ∈ Q1，q j ∈ Q2， 定义： δ ( [ q i, q j ] , a ) = [ δ1 ( q i, a ), δ2 ( q j, a ) ]；
所以，当 i = N + p + 1时，有字符串 z = uvN + p + 1w = 0( N + p )( 1 + k ) ∈ L，其 与泵引理第四条矛盾，所以，L 不是 RL。
正则语言的泵引理 – 应用实例
例2：证明语言 L = { 0n1n | n≥1 } 不是 RL。
证明：假设 L = { 0n1n | n≥1 } 是 RL，其应满足泵引理。设依赖于 L( M ) 的 正整数为 N ，L 中有字符串为 z = 0N1N。 根据泵引理，必存在 u, v, w, 构成句子 z = uvw，其中 | uv | ≤ N，| v |≥1； 这里，v 只能是由 0 组成的非空串。 不失一般性地可设， v = 0k，（k ≥ 1），w = 0j 1N， u = 0N – k - j，从而有，
第五章 正则语言的性质
正则语言的泵引理 正则语言运算的封闭性 自动机的极小化
正则语言运算的封闭性
定义5-2：
如果对某类语言进行某种运算后，所得的结果仍为该类语言的 句子，则称该类语言对此运算是封闭的，或称该类语言对运算 具有封闭性。
正则语言运算的封闭性
定义5-3：
称某语言类对某运算满足有效封闭性，是指给定该类语言中任 意两个语言 L1、L2 的形式化表示，对二语言进行运算后所得 语言仍然具有形式化表示算法。