平面向量基本概念与运算法则(含基础练习题)

平面向量1 1.数量和向量的区别：

数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；向量有方向、大小，不能比较大小。

2.向量的表示方法：

①用有向线段表示；②用字母b a ,等表示；③用有向线段的起点与终点字母表示：AB ；向量AB

的大小——长度称为向量的模，记作|AB |。

3.有向线段：

具有方向的线段叫做有向线段，三要素：起点、方向、长度。 向量与有向线段的区别：

⑴向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，这两个向量就是相同的向量；

⑵有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向，也是不同的有向线段。

4.零向量、单位向量概念：

①长度为0的向量叫零向量，记作0。

②长度为1个单位长度的向量，叫做单位向量。

说明：零向量、单位向量的定义都只是限制了大小。

5.相等向量的定义：长度相等且方向相同的向量叫相等向量。 说明：⑴向量a 与b 相等，记作a =b ；

⑵零向量与零向量相等；

⑶任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段表示，并且与有向线段的起点无关。

6.平行向量的定义：

①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；

②我们规定0与任一向量平行。

说明：⑴综合①②才是平行向量的完整定义；

⑵向量c b a 、、

平行，记作c b a ////。 二、向量的运算法则

1.向量的加法

某人从A 到B ，再从B 到C ，则两次的位移和：AC BC AB =+；

⑴向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法。 ⑵三角形法则：AC BC AB b a =+=+

⑶四边形法则：OC AC OA OB OA b a =+=+=+

三角形法则 四边形法则

练习：化简（1）

CD BC AB ++）（ （2）+++)( （3）+++

2.向量的减法

⑴相反向量：与a 长度相等，方向相反的向量，叫做a 的相反向量，记作a -。

①a a =--)(；

②任一向量与其相反向量的和是零向量，即：0)()(=+-=-+a a a a ；

③如果b a ，

是互为相反的向量，则：0,,=+-=-=b a a b b a 。 ⑵向量的减法：

向量a 加上b 的相反向量，叫做a 和b 的差。即)(b a b a -+=-

向量减法法则：两向量起点相同，则差向量就是连结两向量终点，指向被减向量终点的向

量。

练习：（1）- （2）- （3）+- （4）--

例1.平行四边形ABCD 中，b AB a AD ==,，用a 、b 表示向量DB AC ,。

例2.已知一点O 到平行四边形ABCD 的三个顶点A 、B 、C 的向量分别为a 、b 、c ，试用向量a 、b 、c 表示OD 。

3.向量的数乘运算

实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，它的长度和方向规定如下：

⑴||||||a a λλ=；

⑵当λ>0时，λa 的方向与a 的方向相同；当λ<0时，λa 的方向与a 的方向相反；特别的，

当λ=0或a =0时，λa =0。

注意：实数λ与向量a ，可以做积，但不可以做加减法，即λ+a ，λ-a 是无意义的。 实数与向量的积的运算律：

a 4)3).(1(?-； a

b a b a ---+)(2)(3).2(； )23()32).(3(

c b a c b a +---+

例2.计算

(1).);2(2)(3b a b a +-- (2).)243(3)362(2c b a c b a -+---+

例3.向量212122,e e b e e a +-=-=是否共线？

例 4.平行四边形ABCD 的两条对角线相交于点M ，且b AD a AB ==,,你能用b a ,表示

MD MC MB MA ,,,吗？

二、向量运算法则的应用

向量的加法、减法、数乘运算统称为响亮的线性运算，对任意实数21μμλ、、，恒有

b a b a 2121)(λμλμμμλ+=+。

1.有关向量共线问题

例1.已知向量b a 、

满足)23(5

1

253b a b a b a +=--+，求证：向量b a 和共线。

例2.已知BC DE AB AD 3,3==,试判断AE AC 与是否共线？

定理的应用：

(1).有关向量共线问题；

(2).证明三点共线：C B A BC BC AB 、、→≠=)0(λ三点共线； (3).证明两直线平行问题。

例 3.已知任意两个非零向量b a 、

，试作b a OC b a OB b a OA 3,2,+=+=+=，你能判断C B A 、、三点间的位置关系吗？为什么？

例4 .在四边形ABCD 中，b a CD b a BC b a AB 35,4,2--=--=+=，求证：四边形ABCD 为梯形。

高中数学必修4同步练习

(2.1-2.2平面向量的概念及线性运算)

姓名______班级______学号______

一.选择题(每题5分)

1.设b →

是a →

的相反向量,则下列说法错误的是( ) A .a →与b →

的长度必相等 B .b a =

C .a →

与b →

一定不相等 D .a →

是b →

的相反向量

2.已知一点O 到平行四边形ABCD 的三个顶点A 、B 、C 的向量分别为a →

、b →

、c →

,则向量OD 等于( )

A .a b c ++r r r

B .a b c -+r r r

C .a b c +r r r -

D .a b c r r r --

3.(如图)在平行四边形ABCD 中,下列正确的是( ). A .AB CD =u u u r u u u r B .AB AD BD -=u u u r u u u r u u u r C .AD AB AC +=u u u r u u u r u u u r D .AD BC 0+=u u u r u u u r r

4.+++等于( ) A . B . C .AC D .CA

5.化简++-的结果等于( ) A 、 B 、 C 、 D 、

6.(如图)在正六边形ABCDEF 中,点O 为其中心,则下列判断错误的是( )

A A

B O

C =u u u r u u u r B AB u u u r ∥DE u u u r

C A

D B

E =u u u r u u u r

D AD FC =u u u r u u u r

7.下列等式中,正确的个数是( )

①a b b a +=+r r r r ②a b b a =r r r r --③0a a -=-r r r

④(a )a --=r r ⑤a (a )0+-=r r

A .5

B .4

C .3

D .2

8.在△ABC 中,AB a =u u u r r ,AC b =u u u r r ,如果a ||b |=r r

|, 那么△ABC 一定是( ).

A .等腰三角形

B .等边三角形

C .直角三角形

D .钝角三角形

9.在ABC ?中,BC a =u u u r r ,CA b =u u r r

,则等于( ) A .a b +r r B .(a b )-+r r

C .a b -r r

D .b a -r r

10.已知a r 、b r 是不共线的向量,AB a b λ=+u u u r r r

,AC a b μ=+u u u r r r

(λ、R μ∈),当且仅当( )时, A 、B 、C 三点共线.

()1A λμ+=()1B λμ-=()1C λμ=-()1D λμ=

二.填空题(每题5分)

11.把平面上一切单位向量归结到共同的始点,那么这些向量的终点所构成的图形是______ 12.ABCD Y 的两条对角线相交于点M ,且

AB a,AD b ==u u u r r u u u r r

,则MA =u u u r ______, MB =u u u r ______,MC =u u u u r ______,MD =u u u u r

______.

13.已知向量a ρ和b ρ

不共线,实数x ,y 满足

b y x a b a y x ρρ

ρρ)2(54)2(-+=+-,则=+y x ______

14.化简:①AB BC CD ++=u u u r u u u r u u u r

______; ②AB AD DC --=u u u r u u u r u u u r

______; ③()()AB CD AC BD ---=u u u r u u u r u u u r u u u r

______

15.化简下列各式:

(1)=++++______; (2)()()AB MB BO BC OM ++++=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u r

______.

16.在ABCD Y 中,AB a,AD b ==u u u r r u u u r r

,则

AC =u u u r ______,DB =u u u r

______.

17.在四边形ABCD 中有AC AB AD =+u u u r u u u r u u u r

,则它的形状一定是______

18.已知四边形ABCD 中,1AB DC 2

=u u u r u u u r

,且AD BC

=u u u r u u u r 则四边形ABCD 的形状是______.

19.化简:=-++-)()(BD CP BA DP AC ______.

20.在△ABC 中,设BC a →=u u u r ,CA b →

=u u r ,则AB u u u r =______

三.解答题(每题10分)

21.某人从A 点出发向西走了10m ,到达B 点,然后改变方向按西偏北?60走了15m 到达C 点,最后又向东走了10米到达D 点.

(1)作出向量,,(用1cm 长线段代表10m 长);

(2)求DA u u u r

B

D

C

D

A B

N M

22.如图,在梯形ABCD 中,对角线AC 和BD 交于点O ,E 、F 分别是AC 和BD 的中点,分别写出 (1)图中与EF 、CO 共线的向量; (2)与EA 相等的向量.

23.在直角坐标系中,画出下列向量:

(1)a 2=r

,a r 的方向与x 轴正方向的夹角为ο60,与y

轴正方向的夹角为ο30;

(2)a 4=r

,a r 的方向与x 轴正方向的夹角为ο30,与y

轴正方向的夹角为ο120;

(3)a 42=r

,a r 的方向与x 轴正方向的夹角为ο135,

与y 轴正方向的夹角为ο

135. 24.在ABC ?所在平面上有一点P ,

使得=++,试判断P 点的位置.

25.如图所示,在平行四边形ABCD 中,点M 是AB 边中点,点N 在BD 上且BD BN 3

1

=,求证:M 、N 、C 三点共线.

参考答案

一.选择题(每题5分)

1.C

2.B

3.C

4.B

5.B

6.D

7.C

8.A

9.B 10.D

二.填空题(每题5分) 11.圆

12.111(a b ),(a b ),(a b )222

-+-+r r r r r r ,1(b a )2-r r

13.1

14.①AD u u u r

;②CB u u u r ;③0r

15.(1)0ρ

(2)AC

16.a b +r r ,a b r r - 17.平行四边形 18.等腰梯形

19.0

20.→

→

--b a

三.解答题(每题10分) 21.【解答】(1)如图,

(2)∵CD AB -=,

故四边形ABCD 为平行四边形, ∴)m (15==DA BC

22.【解答】与EF 共线的向量有AB 、CD ; 与CO 共线的向量有CE ,CA ,OE ,OA ,EA ; 与EA 相等的向量是CE

23.【解答】

24.【解答】 PA PB PC AB ++=u u r u u u r u u u r u u u r Q ()

PA PA AB PC AB ∴+++=u u r u u r u u u r u u u r u u u r

,故PC PA -=2

A ∴、P 、C 三点共线,

且P 是线段AC 的三分点中靠近A 的那一个

25.【解答】提示:可以证明MC 3MN =u u u r u u u u r

C

D

A

B

N

M