一堂市级公开课的教学设计

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“阿波罗尼斯圆”及其简单应用

一、引入：

1.（必修2 习题

2.2（1） 探究·拓展/第12题）已知点(,)M x y 与两定点(0,0),(3,0)O A 的距离之比为12

，那么点M 的坐标应满足什么关系？ 2.（选修2-1 2.6.2求曲线的方程/例2）求平面内到两个定点A ，B 的距离之比等于2的动点M 的轨迹方程.（电子白板演示）

二、应用：

例1：（2008年江苏卷）满足条件AB = 2，AC = 2BC 的∆ABC 的面积的最大值是______ 变题：（2011年南通高三期末卷）在等腰ABC ∆中，BD AC AB ,=是腰AC 上的中线，且,3=BD 则ABC ∆面积的最大值是___________.

例2：（2008年四川卷）已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ，准线与x 轴的交点为K ，点

A 在C 上且|||AK AF ，则△AFK 的面积为___________.

例3：（2013年江苏卷）如图，在平面直角坐标系xOy 中，点)3,0(A ，

直线42:-=x y l ．设圆C 的半径为1，圆心在l 上．

（1）若圆心C 也在直线1-=x y 上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程；

（2）若圆C 上存在点M ，使MO MA 2=，求圆心C 的横坐标a 的取值范围．

三、变式探究

（必修2 习题2.2（1） 探究·拓展/第12题）已知点(,)M x y 与两定点(0,0),(3,0)O A 的距离之比为12

，那么点M 的坐标满足关系---22(1)4x y ++= 这个命题的条件是：①平面上两定点(0,0)O ； ②平面上两定点(3,0)A ；

③在同一平面上动点M 满足1=2

MO MA ；

结论是：④点M 的轨迹方程是22(1)4x y ++=.

命题中涉及两个定点，一个定比，动点的轨迹方程，若将这些重新组合，改变它们的逻辑次序（在已知动点的轨迹的条件下），可以得到哪些探索性的问题呢？（小组合作探究） 探究1：（探求定比）

已知点(0,0),(3,0)O A ，点M 是圆22(1)4x y ++=上任意一点，问：是否存在这样的常数λ ，使得MO MA

λ=？若存在，求出常数λ；若不存在，请说明理由. 探究2：（探求一个定点）

已知点(0,0)O ，点M 是圆22(1)4x y ++=上任意一点，问：在平面上是否存在点A ，使得12

MO MA =？若存在，求出点A 的坐标；若不存在，请说明理由. 探究3：（探求两个定点）

已知点M 是圆22(1)4x y ++=上任意一点，问：在x 轴上是否存在两个定点,P Q ，使得1=2

MP MQ ？若存在，求出两个定点,P Q 的坐标；若不存在，请说明理由. 探究4：（探求定比和一个定点）

已知点(0,0)O ，点M 是圆22(1)4x y ++=上任意一点，问：在平面上是否存在不同于点O 的定点A ，使得MO 为常数λ ？若存在，求出点A 的坐标及常数λ；若不存在，请说明理由.

五、知识回顾

六、探究延续 若将上述问题中的具体数字一般化，能否得出一些一般性的结论？