第六章 期货定价原理
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3
二、期货价格与预期现货价格的关系
1. 期货价格等于预期现货价格
预期假说认为，期货合约当前的交易价 格等于大家一致预期的在交割时的现货市场 价格，用符号来表示就是：
Pf Ps
其中，Pf是当前的期货合约的交易价格； — PS是预期期货合约标的资产在交割日的 现货价格。
4
2. 期货价格低于预期现货价格 著名经济学家凯恩斯认为，预期假说并 没有正确地解释期货的价格。他认为，总体 而言，套期保值者在期货市场上是以空头出 现的，他们必须诱使投机者以多头的角色出 现在期货市场上。因为承担多头的角色有风 险，所以保值者需要通过使多头所预期的回 报率来吸引投机者充当多头的角色，所以期 货价格的估计必然会低于将来的现货价格。 换句话说，当交割期来临时，现货价格实际 上要比期货市场所预测的价格略高一些，其 差额是对投机者承担保值者不愿承担的风险 的一种回报。用符号表示为：
15
第三节 利率期货的定价
一、长期利率期货的定价
长期国库券期货和中期国库券期货 是目前交易最活跃的长期利率期货，我 们以美国芝加哥交易所的长期国债期货 为例来说明其定价问题，定价程序如下：
16
1.根据报价计算债券的现金价格 现金价格，又称为不纯价格,它与报价的关系为： 现金价格＝报价＋上一个付息日以来的累计利息 上一个付息日以来的累计利息是以实际过去的天数与 两次息票支付期间实际天数的比率为基础的，计算 公式为：
25
假定t是现在的时间（年），T是期货合约的到 期时间（年），T*是期货合约标的资产的贴现债券 的到期时间，其中T*-T约为90天；r表示从t到T的期 限内的无风险利率（连续复利），r*是从t到T*的期 限内的无风险利率，是在t时刻的T和T*期间的远期 利率；合约标的资产的贴现债券的面值为$100，S是 其在t时刻的价格，则S为：
19
3.确定最便宜可交割债券 由于转换因子制度固有的缺陷和市场定价的 差异决定了用何种国债交割对于双方而言是有差 别的，而空方可选择用于交割的国债多达30种左 右，因此空方应选择最合算的国债用于交割。 由于空头方收到的价款为：（期货的报价 ×转换因子）＋累计利息 而购买债券的成本为：债券的报价＋累计 利息 所以最便宜可交割债券就是购买交割债券 的成本与空头方收到的现金之差最小的那个债券， 即 交割差距=债券报价－（期货报价×转换因子）
9
（1）无风险利率在合约的 期限内保持不变的情况 （2）无风险利率的变化在 合约的期限内无法预测的 情况
10
第二节 股票指数期货与外汇期货定价
一、股票指数期货的定价 与其他金融期货相比，股票指数期货的一个 明显的特征是其标的资产并非实际存在的金融 资产，而是一种假定的资产组合。大部分股票 指数可以看成支付红利的证券。这里的证券就 是计算指数的股票组合，证券所付红利就是该 组合的持有人收到的红利。根据合理的近似， 可以认为红利是连续支付的。设q为红利收益率， 可得股票指数期货价格为：
f
13
K表示远期合约中约定的交割价格；S表示
以美元表示的一单位外汇的即期价格；rf表示外 汇的无风险利率，若外汇的持有人将外汇投资于 以该国货币标价的债券，他就能够获得货币发行 国的无风险利率的收益；f表示t时刻远期多头的 价值；采用连续复利方式计息。 这两个组合在时刻T时都将等于一单位的外 汇，因此，在t时刻两者也应该相等，有：
18
在计算转换因子时，债券的剩余期限 只取3个月的整数倍，多余的月份舍掉。 如果取整数后，债券的剩余期限为半年的 倍数，就假定下一次付息是在6个月之后， 否则就假定在3个月后付息，并从贴现值 中扣掉累计利息，以免重复计算。转换因 子由交易所计算并公布。 算出转换因子后，我们就可算出空头 方交割100美元面值的债券应收到的现金： 空方收到的现金＝标准债券的期货报价× 交割债券的转换因子＋交割债券的累计利 息
11
F Se
( r q )(T t )
其中，T表示期货合约到期的 时间（年）；t表示现在的时间 （年），则T-t表示期货合约中， 以年为单位表示的剩下的时间； S表示期货合约标的的股票指数 在时间t时的价格；r为无风险利 率。
12
二、外汇期货的定价
确定外汇期货价格的理论依据是国际金融 领域著名的利率平价关系。根据利率平价理论， 具有相同期限和风险的两国证券在定价上的差 异应该等于两国利率的差异。根据第一节的讨 论可知，在合理近似的情况下，期货价格可等 于远期价格，我们用以下两个组合来给外汇期 货定价： 组合A：一个远期多头加上现金金额 Ke r (T t ) r (T t ) 组合B： 金额的外汇 e
第六章 期货定价原理
1
本章内容
本 章 学 习 指 导
本章介绍了期货价格与相关现货价格， 相关远期价格的关系，以及主要金融期货 的定价方法。
大纲要求
了解期货价格与预期现货价格之间关系 的相关理论，理解期货价格与远期价格的 关系，掌握股票指数期货，外汇期货、中、 长期国库券期货和短期国库券期货的定价 方法，并能够进行相关计算。
T* T F 100 (100 报价） 360
27
参考答案
一、问答题
1.期货价格与现货价格的关系 答案：期货价格与现货价格的基本关系，也是 期货套期保值策略依据的两个基本原理：①同 一品种的商品，其期货价格与现货价格受到相 同的因素的影响和制约，虽然波动幅度会有不 同，但其价格的变动趋势和方向有一致性；② 随着期货合约到期日的临近，期货价格和现货 价格逐渐聚合，在到期日，基差接近于零，两 价格大致相等。
Pf P s
这样，一个持空头寸的投机者以Pf 的价格 卖出的期货合约，将被预期在交割日以更低的 — 价格PS买回来，期货价格和预期的现货价格之 间的这种关系就称为期货溢价，指期货的价格 在合约有效期内将被认为是呈下降趋势的。
7
具体关系如下图：
Pf
正常期货溢价
Ps
预期价格假说 正常期货折价
8
三、期货价格与远期价格的关系
20
4.确定长期国库券期货价格 假设用于交割的最便宜可交割债券和 交割日期是已知的，则长期国库券就相当 于一提供已知现金收入的证券的期货。下 式适用于长期国库券期货的定价：
F (S I )e
r (T t )
但是由于其报价和交割制度的特殊性，使 公式的运用较为复杂。其中，I表示期货合 约有效期内的息票利息的现值；T表示期货 合约的到期时刻（年）；t表示现在的时刻 （年）；r表示无风险利率；S表示t时刻期 货合约的标的债券的价格。这里，F和S都 为债券的现金价格。
远期利率与即期利率的关系如下： 假设r为T年期的即期利率，r*是T*年期的即 期利率，且T*>T，是T和T*期间的远期利率，有
ˆ r
r T rT T T
*
* *
24
2.短期国库券期货的定价 在短期国库券期货合约中，标的资产是90天 期的美国国库券。通常，期限为13周，即91天的 短期国库券交易较多，但期货合同也允许90天或 92天的短期国库券进行交易，不过期货合同的价 格总是用90天期短期国库券来计算的。在实际交 割时，所交割的国库券既可以是新发行的短期国 库券，也可以是尚有90天剩余期限（交割日至国 库券到期日的天数）的原来发行的6个月或1年期 的国库券。短期国库券也被称为贴现债券，以折 价方式发行，在期限内不付息，在到期日投资者 收到债券的面值。
S 100e
r (T t )
*
*
26
F是t时刻的期货价格，则F为：
F Se
r (T t )
100e
r * (T * t ) r (T t )
e
100e
[ r * (T * t ) r (T r )]
可简化上式：
F 100e
Leabharlann Baiduˆ (T * T ) r
要重申的一点是，由上式得到的期货价 格是期货合约的现金价格，是合约的多头方 在合约到期时购买$100面值的国库券所必须 支付的价格，它与短期国库券期货合约的报 价是有区别的，二者之间的关系为：
f Ke
即
r (T t )
Se
r f (T t )
f Se
r f (T t )
Ke
r (T t )
14
远期价格F就是使得式中f=0时的K值，因而有
F Se
( r rf )(T t )
当外汇的利率大于本国利率（ r f r ）时，F 始终小于S，并且合约到期日T越大，F值越小； 当外汇的利率小于本国利率（ r f r）时，F始终 大于S，并且合约到期日T越大，F值越大。
21
通过以下四个步骤来确定国债期货价 格： （1）根据最便宜可交割债券的报价， 算出该交割债券的现金价格； （2）根据交割债券的现金价格算出交 割债券期货理论上的现金价格； （3）运用公式根据交割债券期货的现 金价格算出交割债券期货的理论报价； （4）考虑到最便宜可交割债券和标准 的15年期年利率为8%的债券的区别，将 以上求出的期货报价除以转换因子，从 而得出标准债券的理论报价，也是标准 债券期货理论的现金价格。
期货合约和远期合约最主要的 差别就是期货合约要求每日清算赢 利和亏损，而远期合约只在到期日 或对冲远期头寸时才能实现赢利和 亏损。在到期日，期货价格和远期 价格都等于现货价格，但是，对于 具有相同的到期日的期货合约和远 期合约来说，在到期日之前的任何 时刻，期货价格和远期价格是否相 等就是需要讨论的问题了。
22
二、短期利率期货的定价
1.即期利率和远期利率 n年期即期利率(spot interest rate)是指从当前 时间开始计算并持续n年的一项投资的利率（以 连续复利计息）。比如，4年期即期利率就是从 现在开始投资并持续4年的利率。在这n年中，没 有利息支出，只有在到期时一次性将所有的利息 和本金支付给投资者，因此，n年期即期利率也 称为n年期零息票收益率(n-year zero-coupon yield)。 远期利率(forward interest rate)是指由当前 即期利率隐含的将来时刻的一定期限的利率（以 23 连续复利计息）。
2
第一节 期货价格与相关价格的关系
一、期货价格与现货价格的关系概述
期货价格与现货价格的基本关系，也是期货套期 保值策略依据的两个基本原理： （1）同一品种的商品，其期货价格与现货价格 受到相同的因素的影响和制约，虽然波动幅度会有 不同，但其价格的变动趋势和方向有一致性； （2）随着期货合约到期日的临近，期货价格和 现货价格逐渐聚合，在到期日，基差接近于零，两 价格大致相等。
5
Pf Ps
这样，一个以 Pf 价格购买期货合约的投机 者可希望他在交割日能以一个更高的价格 P s 售出合约。期货价格和预期的现货价格之间的 这种关系就称为正常期货折价，意指期货合约 的价格在合约有效期内被认为是呈上升趋势的。
Pf
6
3.期货价格高于预期现货价格 一个相反的假说认为，在通常情况下，套 期保值者愿意在期货市场上作多头，这样他们 必须诱使投机者做空头。因为持空头寸要承担 风险，保值者就需要通过使持空头寸的预期回 报率比无风险状态下更高来吸引投机者，即期 货价格比预期的现货价格要高：
累计利息 每次应计利息 上次付息日到现在实际 过去的天数 上次付息日到下次付息 日的实际天数
17
2. 交割债券与标准债券的转换因子 芝加哥交易所规定，空头方可以选择期限长于 15年且在15年内不可赎回的任何国库券用于交割。 由于各种债券息票率不同，期限也不同，因此芝 加哥交易所规定交割的标准债券为期限15年、息 票率为8%的国库券，其他券种均得按一定的比例 折算成标准债券。这个比例称为转换因子 （Conversion Factor ）。转换因子等于面值为 100美元的各债券的现金流按8%的年利率（每半年 计复利一次）贴现到交割月第一天的价值，再扣 掉该债券累计利息后的余额。
28
2.远期利率与即期利率的关系 答案：假设r为T年期的即期利率，r*是T*年期的 即期利率，且T*>T，是T和T*期间的远期利率， 如果现在是0时刻，投资者投入1元的资金，按 照利率r持续T年后，再按照利率持续T*-T年， 则收益变为： * *
二、期货价格与预期现货价格的关系
1. 期货价格等于预期现货价格
预期假说认为，期货合约当前的交易价 格等于大家一致预期的在交割时的现货市场 价格，用符号来表示就是：
Pf Ps
其中，Pf是当前的期货合约的交易价格； — PS是预期期货合约标的资产在交割日的 现货价格。
4
2. 期货价格低于预期现货价格 著名经济学家凯恩斯认为，预期假说并 没有正确地解释期货的价格。他认为，总体 而言，套期保值者在期货市场上是以空头出 现的，他们必须诱使投机者以多头的角色出 现在期货市场上。因为承担多头的角色有风 险，所以保值者需要通过使多头所预期的回 报率来吸引投机者充当多头的角色，所以期 货价格的估计必然会低于将来的现货价格。 换句话说，当交割期来临时，现货价格实际 上要比期货市场所预测的价格略高一些，其 差额是对投机者承担保值者不愿承担的风险 的一种回报。用符号表示为：
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第三节 利率期货的定价
一、长期利率期货的定价
长期国库券期货和中期国库券期货 是目前交易最活跃的长期利率期货，我 们以美国芝加哥交易所的长期国债期货 为例来说明其定价问题，定价程序如下：
16
1.根据报价计算债券的现金价格 现金价格，又称为不纯价格,它与报价的关系为： 现金价格＝报价＋上一个付息日以来的累计利息 上一个付息日以来的累计利息是以实际过去的天数与 两次息票支付期间实际天数的比率为基础的，计算 公式为：
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假定t是现在的时间（年），T是期货合约的到 期时间（年），T*是期货合约标的资产的贴现债券 的到期时间，其中T*-T约为90天；r表示从t到T的期 限内的无风险利率（连续复利），r*是从t到T*的期 限内的无风险利率，是在t时刻的T和T*期间的远期 利率；合约标的资产的贴现债券的面值为$100，S是 其在t时刻的价格，则S为：
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3.确定最便宜可交割债券 由于转换因子制度固有的缺陷和市场定价的 差异决定了用何种国债交割对于双方而言是有差 别的，而空方可选择用于交割的国债多达30种左 右，因此空方应选择最合算的国债用于交割。 由于空头方收到的价款为：（期货的报价 ×转换因子）＋累计利息 而购买债券的成本为：债券的报价＋累计 利息 所以最便宜可交割债券就是购买交割债券 的成本与空头方收到的现金之差最小的那个债券， 即 交割差距=债券报价－（期货报价×转换因子）
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（1）无风险利率在合约的 期限内保持不变的情况 （2）无风险利率的变化在 合约的期限内无法预测的 情况
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第二节 股票指数期货与外汇期货定价
一、股票指数期货的定价 与其他金融期货相比，股票指数期货的一个 明显的特征是其标的资产并非实际存在的金融 资产，而是一种假定的资产组合。大部分股票 指数可以看成支付红利的证券。这里的证券就 是计算指数的股票组合，证券所付红利就是该 组合的持有人收到的红利。根据合理的近似， 可以认为红利是连续支付的。设q为红利收益率， 可得股票指数期货价格为：
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K表示远期合约中约定的交割价格；S表示
以美元表示的一单位外汇的即期价格；rf表示外 汇的无风险利率，若外汇的持有人将外汇投资于 以该国货币标价的债券，他就能够获得货币发行 国的无风险利率的收益；f表示t时刻远期多头的 价值；采用连续复利方式计息。 这两个组合在时刻T时都将等于一单位的外 汇，因此，在t时刻两者也应该相等，有：
18
在计算转换因子时，债券的剩余期限 只取3个月的整数倍，多余的月份舍掉。 如果取整数后，债券的剩余期限为半年的 倍数，就假定下一次付息是在6个月之后， 否则就假定在3个月后付息，并从贴现值 中扣掉累计利息，以免重复计算。转换因 子由交易所计算并公布。 算出转换因子后，我们就可算出空头 方交割100美元面值的债券应收到的现金： 空方收到的现金＝标准债券的期货报价× 交割债券的转换因子＋交割债券的累计利 息
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F Se
( r q )(T t )
其中，T表示期货合约到期的 时间（年）；t表示现在的时间 （年），则T-t表示期货合约中， 以年为单位表示的剩下的时间； S表示期货合约标的的股票指数 在时间t时的价格；r为无风险利 率。
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二、外汇期货的定价
确定外汇期货价格的理论依据是国际金融 领域著名的利率平价关系。根据利率平价理论， 具有相同期限和风险的两国证券在定价上的差 异应该等于两国利率的差异。根据第一节的讨 论可知，在合理近似的情况下，期货价格可等 于远期价格，我们用以下两个组合来给外汇期 货定价： 组合A：一个远期多头加上现金金额 Ke r (T t ) r (T t ) 组合B： 金额的外汇 e
第六章 期货定价原理
1
本章内容
本 章 学 习 指 导
本章介绍了期货价格与相关现货价格， 相关远期价格的关系，以及主要金融期货 的定价方法。
大纲要求
了解期货价格与预期现货价格之间关系 的相关理论，理解期货价格与远期价格的 关系，掌握股票指数期货，外汇期货、中、 长期国库券期货和短期国库券期货的定价 方法，并能够进行相关计算。
T* T F 100 (100 报价） 360
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参考答案
一、问答题
1.期货价格与现货价格的关系 答案：期货价格与现货价格的基本关系，也是 期货套期保值策略依据的两个基本原理：①同 一品种的商品，其期货价格与现货价格受到相 同的因素的影响和制约，虽然波动幅度会有不 同，但其价格的变动趋势和方向有一致性；② 随着期货合约到期日的临近，期货价格和现货 价格逐渐聚合，在到期日，基差接近于零，两 价格大致相等。
Pf P s
这样，一个持空头寸的投机者以Pf 的价格 卖出的期货合约，将被预期在交割日以更低的 — 价格PS买回来，期货价格和预期的现货价格之 间的这种关系就称为期货溢价，指期货的价格 在合约有效期内将被认为是呈下降趋势的。
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具体关系如下图：
Pf
正常期货溢价
Ps
预期价格假说 正常期货折价
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三、期货价格与远期价格的关系
20
4.确定长期国库券期货价格 假设用于交割的最便宜可交割债券和 交割日期是已知的，则长期国库券就相当 于一提供已知现金收入的证券的期货。下 式适用于长期国库券期货的定价：
F (S I )e
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但是由于其报价和交割制度的特殊性，使 公式的运用较为复杂。其中，I表示期货合 约有效期内的息票利息的现值；T表示期货 合约的到期时刻（年）；t表示现在的时刻 （年）；r表示无风险利率；S表示t时刻期 货合约的标的债券的价格。这里，F和S都 为债券的现金价格。
远期利率与即期利率的关系如下： 假设r为T年期的即期利率，r*是T*年期的即 期利率，且T*>T，是T和T*期间的远期利率，有
ˆ r
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2.短期国库券期货的定价 在短期国库券期货合约中，标的资产是90天 期的美国国库券。通常，期限为13周，即91天的 短期国库券交易较多，但期货合同也允许90天或 92天的短期国库券进行交易，不过期货合同的价 格总是用90天期短期国库券来计算的。在实际交 割时，所交割的国库券既可以是新发行的短期国 库券，也可以是尚有90天剩余期限（交割日至国 库券到期日的天数）的原来发行的6个月或1年期 的国库券。短期国库券也被称为贴现债券，以折 价方式发行，在期限内不付息，在到期日投资者 收到债券的面值。
S 100e
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F是t时刻的期货价格，则F为：
F Se
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[ r * (T * t ) r (T r )]
可简化上式：
F 100e
Leabharlann Baiduˆ (T * T ) r
要重申的一点是，由上式得到的期货价 格是期货合约的现金价格，是合约的多头方 在合约到期时购买$100面值的国库券所必须 支付的价格，它与短期国库券期货合约的报 价是有区别的，二者之间的关系为：
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即
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远期价格F就是使得式中f=0时的K值，因而有
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当外汇的利率大于本国利率（ r f r ）时，F 始终小于S，并且合约到期日T越大，F值越小； 当外汇的利率小于本国利率（ r f r）时，F始终 大于S，并且合约到期日T越大，F值越大。
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通过以下四个步骤来确定国债期货价 格： （1）根据最便宜可交割债券的报价， 算出该交割债券的现金价格； （2）根据交割债券的现金价格算出交 割债券期货理论上的现金价格； （3）运用公式根据交割债券期货的现 金价格算出交割债券期货的理论报价； （4）考虑到最便宜可交割债券和标准 的15年期年利率为8%的债券的区别，将 以上求出的期货报价除以转换因子，从 而得出标准债券的理论报价，也是标准 债券期货理论的现金价格。
期货合约和远期合约最主要的 差别就是期货合约要求每日清算赢 利和亏损，而远期合约只在到期日 或对冲远期头寸时才能实现赢利和 亏损。在到期日，期货价格和远期 价格都等于现货价格，但是，对于 具有相同的到期日的期货合约和远 期合约来说，在到期日之前的任何 时刻，期货价格和远期价格是否相 等就是需要讨论的问题了。
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二、短期利率期货的定价
1.即期利率和远期利率 n年期即期利率(spot interest rate)是指从当前 时间开始计算并持续n年的一项投资的利率（以 连续复利计息）。比如，4年期即期利率就是从 现在开始投资并持续4年的利率。在这n年中，没 有利息支出，只有在到期时一次性将所有的利息 和本金支付给投资者，因此，n年期即期利率也 称为n年期零息票收益率(n-year zero-coupon yield)。 远期利率(forward interest rate)是指由当前 即期利率隐含的将来时刻的一定期限的利率（以 23 连续复利计息）。
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第一节 期货价格与相关价格的关系
一、期货价格与现货价格的关系概述
期货价格与现货价格的基本关系，也是期货套期 保值策略依据的两个基本原理： （1）同一品种的商品，其期货价格与现货价格 受到相同的因素的影响和制约，虽然波动幅度会有 不同，但其价格的变动趋势和方向有一致性； （2）随着期货合约到期日的临近，期货价格和 现货价格逐渐聚合，在到期日，基差接近于零，两 价格大致相等。
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Pf Ps
这样，一个以 Pf 价格购买期货合约的投机 者可希望他在交割日能以一个更高的价格 P s 售出合约。期货价格和预期的现货价格之间的 这种关系就称为正常期货折价，意指期货合约 的价格在合约有效期内被认为是呈上升趋势的。
Pf
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3.期货价格高于预期现货价格 一个相反的假说认为，在通常情况下，套 期保值者愿意在期货市场上作多头，这样他们 必须诱使投机者做空头。因为持空头寸要承担 风险，保值者就需要通过使持空头寸的预期回 报率比无风险状态下更高来吸引投机者，即期 货价格比预期的现货价格要高：
累计利息 每次应计利息 上次付息日到现在实际 过去的天数 上次付息日到下次付息 日的实际天数
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2. 交割债券与标准债券的转换因子 芝加哥交易所规定，空头方可以选择期限长于 15年且在15年内不可赎回的任何国库券用于交割。 由于各种债券息票率不同，期限也不同，因此芝 加哥交易所规定交割的标准债券为期限15年、息 票率为8%的国库券，其他券种均得按一定的比例 折算成标准债券。这个比例称为转换因子 （Conversion Factor ）。转换因子等于面值为 100美元的各债券的现金流按8%的年利率（每半年 计复利一次）贴现到交割月第一天的价值，再扣 掉该债券累计利息后的余额。
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2.远期利率与即期利率的关系 答案：假设r为T年期的即期利率，r*是T*年期的 即期利率，且T*>T，是T和T*期间的远期利率， 如果现在是0时刻，投资者投入1元的资金，按 照利率r持续T年后，再按照利率持续T*-T年， 则收益变为： * *