初中数学竞赛专题复习第三篇初等数论第22章[x]与{x}试题新人教版

第22章[]x与{}x

求1-的值．

解析因为

1200712006

+，

又

=<，

所以200612007

<．

故12006

=．

若n是正整数，求的值．

解析因为3321

n n n n

<+++

()3

32

3311

n n n n

<+++=+，

所以1

n n

<=+，

所以n

=．

数1232008

A=⨯⨯⨯⨯的末尾有多少个连续的零?

解析A的质因数分解式中，5的最高次方幂为

40080163499

=+++=，

所以1232008

A=⨯⨯⨯⨯的末尾有499个零．

评注在()

!12

n n

=⨯⨯⨯中，质数p的最高次幂是

()

2

!

m

n n n

p n

p p p

⎡⎤⎡⎤⎡⎤

=+++

⎢⎥⎢⎥⎢⎥

⎣⎦⎣⎦⎣⎦

，

其中m p n

≤，且1m p n

+>．

设

222

111

1

232007

S=++++，求[]S．

解析要求[]S，只需证明S介于两个连续的整数之间．所以需要对S进行适当的变形，通过放大、缩小

的手段求出S的范围，从而确定[]S的取值．

由题设知，1

S>．考虑到

()

2

1111

11

k k k k k

<=-

--

，k=2，3，4，…，2007，可以得到

1222007

=-<， 所以[]1S =．

评注 上述解题过程中，首先对S 进行了“放缩”，又通过“拆项”的方法使和式中前后两项能够相互抵消一部分，使和式化简，从而得到了S 的范围．

在对和式取整时，利用和式本身的性质进行“缩放”的方法非常重要，需要在平时的学习中多积累一 些和式的性质以及变形技巧．

计算和式

的值．

解析 因为（23，101）=1，所以，当1,2,,100n =时，23101n 都不是整数，即23101n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭

都不为零．又因为

()2310123101101

n n -+ =23， 而()231012302101101n n -⎧⎫⎧⎫<+<⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭，且()2310123101101n n -⎧⎫⎧⎫+⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭

是整数，所以 ()23101231101101n n -⎧⎫⎧⎫+=⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭

， 则()231012323122101101n n -⎡⎤⎡⎤+=-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦

． 从而，可以把231101⨯⎡⎤⎢⎥⎣⎦，232101⨯⎡⎤⎢⎥⎣⎦，…，23100101⨯⎡⎤⎢⎥⎣⎦

首尾配对，共配成50对，每一对的和为22，所以 23123223100101101101⨯⨯⨯⎡⎤⎡⎤⎡⎤+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦

2251100=⨯=． 已知01a <<，且满足122918303030a a a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤++++++=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，求[]10a 的值． 解析 因为122902303030a a a <+<+<<+<，所以130a ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦，230a ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦，…，2930a ⎡⎤+⎢⎥⎣

⎦等于0或者1．由题设知，其中有18个等于1，所以

12110303030a a a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤+=+==+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣

⎦， 1213291303030a a a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤+=+==+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣

⎦， 所以110130

a <+<， 121230

a +<≤． 故183019a <≤，于是196103a <

≤，所以[]106a =． 求满足{}[]25125x x +=的所有实数x 的和．

解析 原方程可化为{}[]12525x x -=，所以[]1250125

x -<≤，可得[]100125x <≤，于是[]x =101，102，…，125，从而，满足条件的实数x 为

24101525⋅=+，24102525⋅+，…，24125525

⋅+， 它们的和为 ()24255101102125283725⨯++++=．

已知20032004T <<，如果要求[]{}x x ⨯是正整数，求满足条件所有实数x 的和．

解析 显然，[]2003x =，2003是质数，{}01x <<，

设{}2003x p =，由题设，p 是整数，12003p <≤．

20032003

p x =+，p =1，2，3，…，2002． 和1232002200320022003S ++++=⨯+

4011007=．

解方程[]722

x x -=

． 解析 原方程可改写为 []722

x x =+， 将其代人[][]l x x x <+≤，可得

[][][]72l 2

x x x +<+≤

． 解此不等式组，有 []7522

x -<-≤， 即[]3.5 2.5x -<-≤，

所以[]3x =-．

将[]3x =-代入原方程，得

52

x =-． 所以，原方程的解是52

x =-． 评注 若一次方程中同时出现x 和[]x 的一次项，可以通过以下的步骤进行求解：（1）从方程中解出[]x 或x ，分别代入不等式组

[]1x x x -<≤或[][]1x x x <-≤，