引理1 如果效用函数u1(x),u2(x)的阿罗-普拉特绝对风险厌恶系数

Riley 和Samulson 著名的Optimal Auctions 中proposition5的证明不是很清晰， 我对此试图作更详细的证明但有个不等式(4)有问题（见附件），请高手指点！ 命题5 具效用函数u(x)的n 人对称独立私人价值的第一价格密封拍卖的最优保留价*v 随投标人的阿罗-普拉特绝对风险厌恶系数的增加而递减，即当

)(/)()()(/)()(22211

1x u x u x r x u x u x r A A '''-≡<'''-≡时， *2*1v v <。 证明 最优保留价是在给定投标者最优投标策略的基础上，拍卖人最大化其期望收益的保留价，即*i v 是⎰

'

-∈''=

'b

v n i i b a v v dF v v b v R )(),()(1]

,[max （2,1=i ）的最

优解，其中),(v v b i '是满足效用函数分别为)(x u i （2,1=i ）的方程（1）和初值

v v v b '=''),(的解。则⎰--=-b

v n v dF v v b v v b v R v R *1)()),(),(()()(1*11*12*11*12，两边对*

1v 求导数，则⎰

-∂∂-∂∂='-'b

v n v dF v v v b v v v b v R v R *

1)(]/),(/),([)()(1*1*11*1*12*11*12

。由于

)

2()),((/)),(()](/)()[1(/),(*1*1*1v v b v u v v b v u v F v f n v v v b i i i i i -'--=∂∂*1*1*1),(v v v b i =.2

,1=i )3(

（2）两边对*1v 求偏导数，得

*1*1*1*1/),()]/)(/(1)][(/)()[1()/),((v v v b u u u u v F v f n v v v v b i i i i i i ∂∂''''-+--=∂∂∂∂ 由引理2有

))](/)())((/)((1)][(/)()[1())](/)())((/)((1)][(/)()[1(1111222

2v u v u v u v u v F v f n v u v u v u v u v F v f n '''-'+--≤'''-'+--)4( 但

（

4

）

实

际

上

是

)))]((/))(()))(((/))(((1)][(/)()[1()))]((/))(()))(((/))(((1)][(/)()[1(11111111222222

22v b v u v b v u v b v u v b v u v F v f n v b v u v b v u v b v u v b v u v F v f n -'-''--'-+--≤-'-''--'-+--成立吗？

因此0/)/),(/)/),(ln(*1*12*1*11≥∂∂∂∂∂∂v v v v b v v v b ，

)/),(/)/),(ln(*1*12*1*11v v v b v v v b ∂∂∂∂及*1*12*1*11/),(/)/),(v v v b v v v b ∂∂∂∂在],[*1v v v ∈上单调增加。

对（3）两边的*1v 求导数，则有1|/),(|/),(*1*1*1*1*1=∂+∂∂∂==v v i v v i v v v b v v v b ，由于*1*1*1),(v v v b i =，由方程（2）得0|/),(*1*1=∂∂=v v i v v v b ，所以1|/),(*1*1*1=∂∂=v v i v v v b ，于是1/|),(/|)/),(/),(/)/),(*1*12*1*11*1*12*1*11*1*1=∂∂∂∂≥∂∂∂∂v v v b v v v b v v v b v v v b v v ，

所以*1*12*1*11/),()/),(v v v b v v v b ∂∂≥∂∂在],[*1v v v ∈成立。0)()(*11*12≤'-'v R v R ，而*1v 是效用函数为)(1x u 的最优保留价，0)(*11='v R ，所以0)(*12≤'v R ，因此效用函数为)(2x u 的最优保留价*1*2v v ≤。证毕。