微分几何论文——曲率

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摘要

曲率是用来刻画曲线的弯曲程度，直观上当一点沿曲线以单位速度进行时，方向向量转动的快慢反应了曲线的弯曲程度。半径小的圆的弯曲得厉害。曲率的弯曲程度在工程技术、自然科学和日常生活中有着重要的作用。曲线曲率的应用广泛，本文就此简单介绍一下曲线曲率。

关键词：空间曲线 ；平面曲线 ；曲线曲率 ；全曲率 ；相对曲率

1.空间曲线的曲率

设给定的空间曲线)(:s r r

=Γ是3C 类曲线，其中s 为曲线的自然参数，在其上赋予

Frenet 标架[]

)(),(),();(s s s s r γβα

，则参数s 的变化导致标架基本向量的变化，而标架的

变化刻画出曲线Γ在一点邻近的形状

[2]

。

•

••

=r

α是)(s α

对s 的旋转速度，它刻画出Γ在s 点邻近的弯曲程度。

对于曲线)(:s r r

=Γ，称)()(s r s k ••= 为曲线Γ在s 点的曲率，当0)(≠s k 时，其倒数

)

(1

)(s k s =ρ称为曲线Γ在s 点的曲率半径。 注：曲率)(s k 为α 对s 的旋转速度，并且)()()(s s k s βα

=•。事实上，

ββαα

k r

r

r r ====••••

••

••••

.

定理：空间曲线)(:s r r

=Γ为直线的充分必要条件是其曲率0)(≡s k .

证明：若Γ为直线b a s s r +=)(，其中a 和b 都是常量，并且1=a ，则0)()(==••s r s k

；

反之，若0)()(≡=••s r s k ，则o s r ≡••)(，两次积分后有b a s s r

+=)(，所以该曲线是直线。

设曲线Γ的一般参数表示为)(t r r

=，则有

222

"')()()(dt

s d r dt ds r t r dt ds r dt ds ds r d t r ••••+===

　， 于是

3222

"')()(dt

ds r r dt s d r dt ds r dt ds r r r •••••••⨯=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⨯=⨯

3"')

(,sin dt

ds r r r r r r ><=⨯•••••• 因为',,1r dt

ds r r r =⊥=•

••

•

，所以3

'"'r k r r =⨯。由此得到曲率的一般参数表达式

3'"

'r

r r k ⨯= （2.1.1）

设给定空间曲线Γ，在其上一点)(s p 的主法向量的正侧取线段pc ，使得pc 的长度为k

1

=

ρ，以点C 为圆心，以ρ为半径在点)(s p 的密切平面上确定一个圆，则这个圆称为曲线Γ在点)(s p 的曲率圆（密切圆），曲率圆的圆心称为曲率中心，曲率圆的半径称为曲率半径。

例1.试求圆柱螺线{})0,0,(,sin ,cos ≠>+∞<<-∞=b a t bt t a t a r

，b a 、均为常数的曲率。

解：因为{}bt t a t a r ,sin ,cos =

，所以

{}{}{}0,cos ,sin ,0,sin ,cos ,,cos ,sin '''"'t a t a r t a t a r b t a t a r -=--=-=

因此

{}

422"'2"'22',,cos ,sin ,a b a r r a t ab t ab r r b a r +=⨯-=⨯+=

将以上各式代入曲率的公式，可得

223'"'b a a

r

r r k +=⨯=

所以圆柱螺线的曲率是常数。

2.空间曲线的全曲率

本节记二阶连续可微的弧长s 参数化闭曲线为

[];2,1,0)()()(,0::)

()(3

==+→n s r l s r s r s E l r C n n ，　，

记C 的全长为l ，全曲率⎰=C

ds s k K )(；记C 的切线像为

[])

(,0::3

**s T s E l T r C

→= 总记*C 的弧长微元ds s k ds )(*=。显然，*C 当0)(>s k 时以s 为正则参数，而且此时连续可微正则闭曲线*C 的全长为

[5]+[9]

0)(*>==⎰K ds s k l C

（2.2.1）

直接观察可知，当C 为圆周时π2*==K l 。对一般的闭曲线C 进行观察，直观判断其“弯曲程度总和”应不低于圆周，从而可以猜断成立π2*≥l 。*C 的长度还可以通过观察其与单位球面的任一大圆弧的交点数目而做出猜测；事实上，对任一给定方向，以之法向必至少存在C 的两张切平面（允许重合但注意切点的不同），故*C 与单位球面上的任一大圆弧的相交次数至少为2.

定理：3E 中的二阶连续可微闭曲线C 的全曲率π2≥K ，且等号当且仅当C 为平面上的二阶连续可微凸闭曲线时成立。

引理1.若闭曲线C 的连续的切线像*C 落在一闭半球B 上，则*C 必落在B 的边界大圆上，且此时C 必为连续可微的平面闭曲线。

证明：不妨令B 为以p 为北极的北闭半球面，则*C 落在B 上即为0*≥⋅p r

。故有

[]0)(00'*=⋅=⋅=⋅≤⎰⎰l

C

C

p r ds p r ds p r

而T r

=*是连续函数，从而只有

[]l s p T p r ,00*∈≡⋅=⋅　，

此即*C 落在B 的边界大圆上。进一步注意到

[]l s du p u r p r p s r s ,00))(()0()(0

'∈≡⋅=⋅-⋅⎰　，

即知C 落在以p

为法向的某张平面之上。

推论1.连续的切线像*C 不可能落在单位球面的任一半球面内。

推论2.若连续的切线像*C 落在单位球面的任一大圆之上，则*C 含有该大圆的无穷多个对径点。

推论 3.平面二阶连续可微闭曲线C 的全曲率π2≥K ，且等号当且仅当C 为平面二