完全平方公式的几何背景专题训练试题精选附答案
完全平方公式的几何背景专题训练试题精选
一．选择题（共6小题）
1．（2010?丹东）图①是一个边长为（m+n）的正方形，小颖将图①中的阴影部分拼成图②的形状，由图①和图②能
验证的式子是（）
A．（m+n）2﹣（m﹣n）2=4mn B．（m+n）2﹣（m2+n2）=2mn C．（m﹣n）2+2mn=m2+n2D．（m+n）（m﹣n）=m2﹣n2
2．利用图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式．例如，根据图甲，我们可以得到两数和的平方公式：（a+b）
2=a2+2ab+b2．你根据图乙能得到的数学公式是（）
A．（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2B．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2C．a（a+b）=a2+ab D．a（a﹣b）=a2﹣ab
3．如图，你能根据面积关系得到的数学公式是（）
A．a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）B．（a+b）2=a2+2ab+b2C．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2D．a（a+b）=a2+ab
4．如图（1），是一个长为2a宽为2b（a＞b）的矩形，用剪刀沿矩形的两条对角轴剪开，把它分成四个全等的小矩
形，然后按图（2）拼成一个新的正方形，则中间空白部分的面积是（）
A．ab B．（a+b）2C．（a﹣b）2D．a2﹣b2
5．如图的图形面积由以下哪个公式表示（）
B．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2C．（a+b）2=a2+2ab+b2D．a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）A．a2﹣b2=a（a﹣b）+b（a
﹣b）
6．如果关于x的二次三项式x2﹣mx+16是一个完全平方式，那么m的值是（）
A．8或﹣8 B．8 C．﹣8 D．无法确定
二．填空题（共7小题）
7．（2014?玄武区二模）如图，在一个矩形中，有两个面积分别为a2、b2（a＞0，b＞0）的正方形．这个矩形的面积为_________ （用含a、b的代数式表示）
8．如图，边长为（m+2）的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），若拼成的矩形一边长为2，则另一边长是_________ ．（用含m的代数式表示）
9．有两个正方形A，B，现将B放在A的内部得图甲，将A，B并列放置后构造新的正方形得图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为1和12，则正方形A，B的面积之和为_________ ．
10．如图1和图2，有多个长方形和正方形的卡片，图1是选取了2块不同的卡片，拼成的一个图形，借助图中阴影部分面积的不同表示可以用来验证等式a（a+b）=a2+ab成立．根据图2，利用面积的不同表示方法，写出一个代数恒等式_________ ．
11．如图，正方形广场的边长为a米，中央有一个正方形的水池，水池四周有一条宽度为的环形小路，那么水池的面积用含a、b的代数式可表示为_________ 平方米．
12．如图，请写出三个代数式（a+b）2、（a﹣b）2、ab之间的等量关系是_________ ．
13．如图，长为a，宽为b的四个小长方形拼成一个大正方形，且大正方形的面积为64，中间小正方形的面积为16，则a= _________ ，b= _________ ．
三．解答题（共10小题）
14．阅读学习：
数学中有很多等式可以用图形的面积来表示．如图1，它表示（m+2n）（m+n）=m2+3mn+2n2，
（1）观察图2，请你写出（a+b）2，（a﹣b）2，ab之间的关系_________ ．
（2）小明用8个一样大的长方形，（长为a，宽为b），拼成了如图甲乙两种图案，图案甲是一个正方形，图案甲中间留下了一个边长为2的正方形；图形乙是一个长方形．
①a2﹣4ab+4b2= _________ ②ab= _________ ．
15．【学习回顾】我们已经知道，根据几何图形的面积关系可以说明完全平方公式，说明如下：
如图1，正方形ABCD的面积=正方形EBNH的面积+（长方形AEHM的面积+长方形HNCF的面积）+正方形MHFD的面积．即：（a+b）2=a2+2ab+b2．
【思考问题】还有一些等式也可以用上述方式加以说明，请你尝试完成．
如图2，长方形ABNM的面积=长方形EBCF的面积+长方形AEFD的面积﹣长方形HNCF的面积﹣_________ 的面积，即：（2a﹣b）（a+b）= _________ ．
【尝试实践】计算（2a+b）（a+b）= _________ ．仿照上述方法，画图并说明．
16．阅读下列文字，我们知道对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，可以得到一个数学等式，例如由图1可以得到（a+2b）（a+b）=a2+3ab+2b2．请解答下列问题：
（1）写出图2中所表示的数学等式_________ ；
（2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知a+b+c=11，ab+bc+ac=38，求a2+b2+c2的值；
（3）图3中给出了若干个边长为a和边长为b的小正方形纸片．若干个长为a和宽为b的长方形纸片，利用所给的纸片拼出一个几何图形，使得计算它的面积能得到数学公式：2a2+5ab+2b2=（2a+b）（a+2b）．
17．如图1，将一个长为4a，宽为2b的长方形，沿图中虚线均匀分成4个小长方形，然后按图2形状拼成一个正方形．
（1）图2的空白部分的边长是多少？（用含ab的式子表示）
（2）若2a+b=7，且ab=3，求图2中的空白正方形的面积．
（3）观察图2，用等式表示出（2a﹣b）2，ab和（2a+b）2的数量关系．
18．动手操作：
如图①是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中的虚线剪开分成四个大小相等的长方形，然后按照图②所示拼成一个正方形．
提出问题：
（1）观察图②，请用两种不同的方法表示阴影部分的面积；
（2）请写出三个代数式（a+b）2，（a﹣b）2，ab之间的一个等量关系．
问题解决：
根据上述（2）中得到的等量关系，解决下列问题：
已知：x+y=6，xy=3．求：（x﹣y）2的值．
19．图①是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线剪开，可分成四块小长方
形．
（1）将图①中所得的四块长为a，宽为b的小长方形拼成一个正方形（如图②）．请利用图②中阴影部分面积的不同表示方法，直接写出代数式（a+b）2、（a﹣b）2、ab之间的等量关系是_________ ；
（2）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：已知m+n=8，mn=7，则m﹣n= _________ ；
（3）将如图①所得的四块长为a，宽为b的小长方形不重叠地放在长方形ABCD的内部（如图③），未被覆盖的部分（两个长方形）用阴影表示．若左下角与右上角的阴影部分的周长之差为4，且小长方形的周长为8，则每一个小长方形的面积为_________ ．
20．把几个图形拼成一个新的图形，再通过图形面积的计算，常常可以得到一些有用的式子，或可以求出一些不规则图形的面积．
（1）如图1，是将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为a+b+c的正方形，试用不同的方法计算这个图形的面积，你能发现什么结论，请写出来．
（2）如图2，是将两个边长分别为a和b的正方形拼在一起，B、C、G三点在同一直线上，连接BD和BF，若两正方形的边长满足a+b=10，ab=20，你能求出阴影部分的面积吗？
21．阅读材料并填空：
我们知道，完全平方式可以用平面几何图形的面积来表示，实际上还有一些代数恒等式样也可以用这种形式表示，如：（2a+b）（a+b）=2a2+3ab+b2，就可以用图（1），或图（2）等图形的面积表示．
请你写出图（3）所表示的代数恒等式_________ ．
请你写出图（4）所表示的代数恒等式_________ ．
22．图1是一个长为2x、宽为2y的长方形，沿图中虚线用剪刀剪成四个完全相同的小长方形，然后按图2所示拼成一个正方形．
（1）你认为图2中的阴影部分的正方形的边长等于_________ ．
（2）试用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积．
方法1：_________ ；方法2：_________ ．
（3）根据图2你能写出下列三个代数式之间的等量关系吗？
代数式：（x+y）2，（x﹣y）2，4xy．_________
（4）根据（3）题中的等量关系，解决如下问题：
若x+y=4，xy=3，则（x﹣y）2= _________ ．
23．已知图甲是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均匀分成四小块长方形，然后按图乙的形状拼成一个正方形．
（1）你认为图乙中阴影部分的正方形的边长等于多少？_________ ．
（2）请用两种不同的方法求图乙中阴影部分的面积．
方法一：_________ ；方法二：_________ ．
（3）观察图乙，你能写出下列三个代数式之间的等量关系吗？
（m+n）2；（m﹣n）2； mm
（4）根据（3）题中的等量关系，解决如下问题：若a+b=8，ab=5，求（a﹣b）2的值．
完全平方公式的几何背景专题训练试题精选
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题）
1．（2010?丹东）图①是一个边长为（m+n）的正方形，小颖将图①中的阴影部分拼成图②的形状，由图①和图②能
验证的式子是（）
A．（m+n）2﹣（m﹣n）2=4mn B．（m+n）2﹣（m2+n2）=2mn C．（m﹣n）2+2mn=m2+n2D．（m+n）（m﹣n）=m2﹣n2
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专题：计算题；压轴题．
分析：根据图示可知，阴影部分的面积是边长为m+n的正方形减去中间白色的正方形的面积m2+n2，即为对角线分别是2m，2n的菱形的面积．据此即可解答．
解答：解：（m+n）2﹣（m2+n2）=2mn．
故选B．
点评：本题是利用几何图形的面积来验证（m+n）2﹣（m2+n2）=2mn，解题关键是利用图形的面积之间的相等关系列等式．
2．利用图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式．例如，根据图甲，我们可以得到两数和的平方公式：（a+b）2=a2+2ab+b2．你根据图乙能得到的数学公式是（）
A．（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2B．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2C．a（a+b）=a2+ab D．a（a﹣b）=a2﹣ab
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分析：根据图形，左上角正方形的面积等于大正方形的面积减去两个矩形的面积，然后加上多减去的右下角的小正方形的面积．
解答：解：大正方形的面积=（a﹣b）2，
还可以表示为a2﹣2ab+b2，
∴（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2．
故选B．
点评：正确列出正方形面积的两种表示是得出公式的关键，也考查了对完全平方公式的理解能力．
3．如图，你能根据面积关系得到的数学公式是（）
A．a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）B．（a+b）2=a2+2ab+b2C．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2D．a（a+b）=a2+ab
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分析：根据图形得出阴影部分的面积是（a﹣b）2和b2，剩余的矩形面积是（a﹣b）b和（a﹣b）b，即大阴影部分的面积是（a﹣b）2，即可得出选项．
解答：解：从图中可知：阴影部分的面积是（a﹣b）2和b2，剩余的矩形面积是（a﹣b）b和（a﹣b）b，即大阴影部分的面积是（a﹣b）2，
∴（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2，
故选C．
点评：本题考查了完全平方公式的应用，主要考查学生的阅读能力和转化能力，题目比较好，有一定的难度．
4．如图（1），是一个长为2a宽为2b（a＞b）的矩形，用剪刀沿矩形的两条对角轴剪开，把它分成四个全等的小矩形，然后按图（2）拼成一个新的正方形，则中间空白部分的面积是（）
A．ab B．（a+b）2C．（a﹣b）2D．a2﹣b2
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分析：先求出正方形的边长，继而得出面积，然后根据空白部分的面积=正方形的面积﹣矩形的面积即可得出答案．解答：解：由题意可得，正方形的边长为（a+b），
故正方形的面积为（a+b）2，
又∵原矩形的面积为4ab，
∴中间空的部分的面积=（a+b）2﹣4ab=（a﹣b）2．
故选C．
点评：此题考查了完全平方公式的几何背景，求出正方形的边长是解答本题的关键，难度一般．
5．如图的图形面积由以下哪个公式表示（）
B．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2C．（a+b）2=a2+2ab+b2D．a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）A．a2﹣b2=a（a﹣b）+b（a
﹣b）
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分析：通过图中几个图形的面积的关系来进行推导．
解答：解：根据图形可得出：大正方形面积为：（a+b）2，大正方形面积=4个小图形的面积和=a2+b2+ab+ab，∴可以得到公式：（a+b）2=a2+2ab+b2．
故选：C．
点评：本题考查了完全平方公式的推导过程，运用图形的面积表示是解题的关键．
6．如果关于x的二次三项式x2﹣mx+16是一个完全平方式，那么m的值是（）
A．8或﹣8 B．8 C．﹣8 D．无法确定
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分析：根据两平方项确定出这两个数，再根据乘积二倍项列式求解即可．
解答：解：∵x2﹣mx+16是一个完全平方式，
∴﹣mx=±2×4?x，
解得m=±8．
故选A．
点评：本题是完全平方公式的考查，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的符号，避免漏解．
二．填空题（共7小题）
7．（2014?玄武区二模）如图，在一个矩形中，有两个面积分别为a2、b2（a＞0，b＞0）的正方形．这个矩形的面积为（a+b）2（用含a、b的代数式表示）
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分析：求出大正方形的边长为a+b，再利用正方形的面积公式求解．
解答：解；∵两个小矩形的长为a，宽为b，
∴正方形的边长为：a+b
∴它的面积为：（a+b）2
故答案为：（a+b）2
点评：本题主要考查完全平方公式的几何表示，运用不同方法表示阴影部分面积是解题的关键．
8．如图，边长为（m+2）的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），若拼成的矩形一边长为2，则另一边长是2m+2 ．（用含m的代数式表示）
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专题：几何图形问题．
分析：由于边长为（m+2）的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），那么根据正方形的面积公式，可以求出剩余部分的面积，而矩形一边长为2，利用矩形的面积公式即可求出另一边长．
解答：解：依题意得剩余部分为
（m+2）2﹣m2=m2+4m+4﹣m2=4m+4，
而拼成的矩形一边长为2，
∴另一边长是（4m+4）÷2=2m+2．
故答案为：2m+2．
点评：本题主要考查了多项式除以单项式，解题关键是熟悉除法法则．
9．有两个正方形A，B，现将B放在A的内部得图甲，将A，B并列放置后构造新的正方形得图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为1和12，则正方形A，B的面积之和为13 ．
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分析：设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，由图形得出关系式求解即可．
解答：解：设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，
由图甲得a2﹣b2﹣2（a﹣b）=1即a2+b2﹣2ab=1，
由图乙得（a+b）2﹣a2﹣b2=12，2ab=12，
所以a2+b2=13，
故答案为：13．
点评：本题主要考查了完全平方公式的几何背景，解题的关键是根据图形得出数量关系．
10．如图1和图2，有多个长方形和正方形的卡片，图1是选取了2块不同的卡片，拼成的一个图形，借助图中阴影部分面积的不同表示可以用来验证等式a（a+b）=a2+ab成立．根据图2，利用面积的不同表示方法，写出一个代数恒等式（a+b）（a+2b）=a2+2b2+3ab ．
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专题：计算题．
分析：表示阴影部分的面积有两种方法：①大长方形的面积=（a+b）（a+2b），②3个正方形的面积加上3个矩形的面积a2+ab+ab+ab+b2+b2，推出即可．
解答：解：由图2可知：阴影部分的面积是：①（a+b）（a+2b），②a2+ab+ab+ab+b2+b2=a2+2b2+3ab，∴（a+b）（a+2b）=a2+2b2+3ab，
故答案为：（a+b）（a+2b）=a2+2b2+3ab．
点评：本题考查了完全平方公式的几何背景的应用，关键是检查学生能否正确表示图形中阴影部分的面积，题目具有一定的代表性，考查了学生的理解能力、观察图形的能力等
11．如图，正方形广场的边长为a米，中央有一个正方形的水池，水池四周有一条宽度为的环形小路，那么水池的面积用含a、b的代数式可表示为a2﹣4ab+4b2或（a﹣2b）2平方米．
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专题：几何图形问题．
分析：根据图示计算出中央正方形的水池的边长，然后根据正方形的面积公式来计算水池的面积．
解答：解：水池的边长是：a﹣2b，
所以，正方形水池的面积是（a﹣2b）（a﹣2b）=a2﹣4ab+4b2或（a﹣2b）（a﹣2b）=（a﹣2b）2．
故答案是：a2﹣4ab+4b2或（a﹣2b）2．
点评：本题考查对完全平方公式几何意义的理解．解题时，主要围绕图形面积展开分析．
12．如图，请写出三个代数式（a+b）2、（a﹣b）2、ab之间的等量关系是a+b）2=（a﹣b）2+4ab ．
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分析：通过观察图形知：（a+b）2，（a﹣b）2，ab分别表示的是大正方形、空白部分的正方形及小长方形的面积．解答：解：由图可以看出，大正方形面积=阴影部分的正方形的面积+四个小长方形的面积，
即：（a+b）2=（a﹣b）2+4ab，
故答案为：（a+b）2=（a﹣b）2+4ab．
点评：此题考查了学生观察、分析图形解答问题的综合能力，关键是通过观察图形找出各图形之间的关系．
13．如图，长为a，宽为b的四个小长方形拼成一个大正方形，且大正方形的面积为64，中间小正方形的面积为16，则a= 6 ，b= 2 ．
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分析：先求出大正方形的边长为：a+b，小正方形的边长为：a﹣b，再列出方程组求解．
解答：解：大正方形的边长为：a+b，小正方形的边长为：a﹣b
即：
解得
故答案为：6，2．
点评：本题的关键是求出大正方形的边长和小正方形的边长．列出方程组．
三．解答题（共10小题）
14．阅读学习：
数学中有很多等式可以用图形的面积来表示．如图1，它表示（m+2n）（m+n）=m2+3mn+2n2，
（1）观察图2，请你写出（a+b）2，（a﹣b）2，ab之间的关系（a+b）2﹣（a﹣b）2=4ab ．
（2）小明用8个一样大的长方形，（长为a，宽为b），拼成了如图甲乙两种图案，图案甲是一个正方形，图案甲中间留下了一个边长为2的正方形；图形乙是一个长方形．
①a2﹣4ab+4b2= 4 ②ab= 60 ．
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专题：数形结合．
分析：根据图形的面积公式来进行分析即可得到．
解答：解：（1）（a+b）2﹣（a﹣b）2=4ab；
（2）①4 ②ab=60
点评：该题目考查了利用图形的面积来得到数学公式，关键是灵活进行数学结合来分析．
15．【学习回顾】我们已经知道，根据几何图形的面积关系可以说明完全平方公式，说明如下：
如图1，正方形ABCD的面积=正方形EBNH的面积+（长方形AEHM的面积+长方形HNCF的面积）+正方形MHFD的面积．即：（a+b）2=a2+2ab+b2．
【思考问题】还有一些等式也可以用上述方式加以说明，请你尝试完成．
如图2，长方形ABNM的面积=长方形EBCF的面积+长方形AEFD的面积﹣长方形HNCF的面积﹣正方形MHFD 的面积，即：（2a﹣b）（a+b）= 2a2﹣ab﹣b2．
【尝试实践】计算（2a+b）（a+b）= 2a2+3ab+b2．仿照上述方法，画图并说明．
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分析：（1）利用长方形ABNM的面积=长方形EBCF的面积+长方形AEFD的面积﹣长方形HNCF的面积﹣正方形MHFD 的面积计算．
（2）利用长方形ABCD的面积=正方形GBHF的面积+正方形FHQN的面积+长方形AGFE的面积+长方形EFNM 的面积+长方形NQCO的面积+正方形MNOD的面积计算．
解答：解：（1）长方形ABNM的面积=长方形EBCF的面积+长方形AEFD的面积﹣长方形HNCF的面积﹣正方形MHFD 的面积，即：（2a﹣b）（a+b）=2a2﹣ab﹣b2．
故答案为：正方形MHFD，2a2﹣ab﹣b2．
（2）（2a+b）（a+b）=2a2+3ab+b2．
如图，
故答案为：2a2﹣ab﹣b2．
点评：本题主要考查了完全平方公式的几何背景，解题的关键是通过几何图形之间的数量关系对公式做出几何解释．
16．阅读下列文字，我们知道对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，可以得到一个数学等式，例如由图1可以得到（a+2b）（a+b）=a2+3ab+2b2．请解答下列问题：
（1）写出图2中所表示的数学等式（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc ；
（2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知a+b+c=11，ab+bc+ac=38，求a2+b2+c2的值；
（3）图3中给出了若干个边长为a和边长为b的小正方形纸片．若干个长为a和宽为b的长方形纸片，利用所给的纸片拼出一个几何图形，使得计算它的面积能得到数学公式：2a2+5ab+2b2=（2a+b）（a+2b）．
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分析：（1）根据数据表示出矩形的长与宽，再根据矩形的面积公式写出等式的左边，再表示出每一小部分的矩形的面积，然后根据面积相等即可写出等式．
（2）根据利用（1）中所得到的结论，将a+b+c=11，ab+bc+ac=38作为整式代入即可求出．
（3）找规律，根据公式画出图形，拼成一个长方形，使它满足所给的条件．
解答：解：（1）根据题意，大矩形的面积为：（a+b+c）（a+b+c）=（a+b+c）2，
各小矩形部分的面积之和=a2+2ab+b2+2bc+2ac+c2，
∴等式为（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．
（2）a2+b2+c2 =（a+b+c）2﹣2ab﹣2ac﹣2bc
=112﹣2×38
=45．
（3）如图所示
点评：本题考查了完全平方公式的几何背景，根据矩形的面积公式分整体与部分两种思路表示出面积，然后再根据同一个图形的面积相等即可解答．
17．如图1，将一个长为4a，宽为2b的长方形，沿图中虚线均匀分成4个小长方形，然后按图2形状拼成一个正方形．
（1）图2的空白部分的边长是多少？（用含ab的式子表示）
（2）若2a+b=7，且ab=3，求图2中的空白正方形的面积．
（3）观察图2，用等式表示出（2a﹣b）2，ab和（2a+b）2的数量关系．
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分析：（1）观察由已知图形，得到四个小长方形的长为2a，宽为b，那么图2中的空白部分的正方形的边长是小长方形的长减去小长方形的宽．
（2）通过观察图形，大正方形的边长为小长方形的长和宽的和．图2中空白部分的正方形的面积为大正方形的面积减去四个小长方形的面积．
（3）通过观察图形知：（2a+b）2 （2a﹣b）2 8ab．分别表示的是大正方形、空白部分的正方形及小长方形的面积．
解答：解：（1）图2的空白部分的边长是2a﹣b
（2）由图21﹣2可知，小正方形的面积=大正方形的面积﹣4个小长方形的面积，
∵大正方形的边长=2a+b=7，∴大正方形的面积=（2a+b）2=49，
又∵4个小长方形的面积之和=大长方形的面积=4a×2b=8ab=8×3=24，
∴小正方形的面积=（2a﹣b）2=49﹣24=25
（3）由图2可以看出，大正方形面积=空白部分的正方形的面积+四个小长方形的面积
即：（2a+b）2﹣（2a﹣b）2=8ab．
点评：此题考查了学生观察、分析图形解答问题的综合能力，以及对列代数式、代数式求值的理解与掌握．关键是通过观察图形
找出各图形之间的关系．
18．动手操作：
如图①是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中的虚线剪开分成四个大小相等的长方形，然后按照图②所示拼成一个正方形．
提出问题：
（1）观察图②，请用两种不同的方法表示阴影部分的面积；
（2）请写出三个代数式（a+b）2，（a﹣b）2，ab之间的一个等量关系．
问题解决：
根据上述（2）中得到的等量关系，解决下列问题：
已知：x+y=6，xy=3．求：（x﹣y）2的值．
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专题：几何图形问题．
分析：（1）第一种方法为：大正方形面积﹣4个小长方形面积，第二种表示方法为：阴影部分正方形的面积；
（2）利用（a+b）2﹣4ab=（a﹣b）2可求解．
解答：提出问题：
解：（1）（a+b）2﹣4ab或（a﹣b）2
（2）（m+n）2﹣4mn=（m﹣n）2
问题解决：
（3）（x﹣y）2=（x+y）2﹣4xy
∵x+y=6，xy=3．
∴（x﹣y）2=36﹣9=25．
点评：本题考查了完全平方公式的几何背景．解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的等量关系．本题更需注意要根据所找到的规律做题．
19．图①是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线剪开，可分成四块小长方
形．
（1）将图①中所得的四块长为a，宽为b的小长方形拼成一个正方形（如图②）．请利用图②中阴影部分面积的不同表示方法，直接写出代数式（a+b）2、（a﹣b）2、ab之间的等量关系是（a﹣b）2=（a+b）2﹣4ab ；
（2）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：已知m+n=8，mn=7，则m﹣n= ±6 ；
（3）将如图①所得的四块长为a，宽为b的小长方形不重叠地放在长方形ABCD的内部（如图③），未被覆盖的部分（两个长方形）用阴影表示．若左下角与右上角的阴影部分的周长之差为4，且小长方形的周长为8，则每一个小长方形的面积为 3 ．
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分析：（1）利用大正方形的面积减4个小长方形的面积等于小正方形的面积求解；
（2）利用公式（m﹣n）2=（m+n）2﹣4mn求解即可；
（3）由左下角与右上角的阴影部分的周长之差为4，得出﹣8b+4a=4，由小长方形的周长为8，得出2（a+b）=8，联立得出a，b的值即可求出小长方形的面积．
解答：解：（1）（a﹣b）2=（a+b）2﹣4ab．
故答案为：（a﹣b）2=（a+b）2﹣4ab．
（2）∵m+n=8，mn=7，
∴（m﹣n）2=（m+n）2﹣4mn=64﹣28=36，
∴m﹣n=±6
故答案为：±6．
（3）设长方形BC为m，CD为n，
右上角部分的阴影周长为：2（n﹣a+m﹣a）
左下角部分的阴影周长为：2（m﹣2b+n﹣2b）
∵左下角与右上角的阴影部分的周长之差为4，
∴﹣8b+4a=4，
又∵2（a+b）=8，
∴解得a=3，b=1，
∴每一个小长方形的面积为ab=3×1=3．
故答案为：3．
点评：本题考查了完全平方公式的几何背景，解题的关键是通过几何图形之间的数量关系解决问题．
20．把几个图形拼成一个新的图形，再通过图形面积的计算，常常可以得到一些有用的式子，或可以求出一些不规则图形的面积．
（1）如图1，是将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为a+b+c的正方形，试用不同的方法计算这个图形的面积，你能发现什么结论，请写出来．
（2）如图2，是将两个边长分别为a和b的正方形拼在一起，B、C、G三点在同一直线上，连接BD和BF，若两正方形的边长满足a+b=10，ab=20，你能求出阴影部分的面积吗？
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分析：（1）此题根据面积的不同求解方法，可得到不同的表示方法．一种可以是3个正方形的面积和6个矩形的面积，种是大正方形的面积，可得等式
（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，
（2）利用S阴影=正方形ABCD的面积+正方形ECGF的面积﹣三角形BGF的面积﹣三角形ABD的面积求解．
解答：（1）（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac
（2）∵a+b=10，ab=20，
∴S阴影=a2+b2﹣（a+b）?b﹣a2=a2+b2﹣ab=（a+b）2﹣ab=×102﹣×20=50﹣30=20．
点评：本题考查了完全平方公式几何意义，解题的关键是注意图形的分割与拼合，会用不同的方法表示同一图形的面积．
21．阅读材料并填空：
我们知道，完全平方式可以用平面几何图形的面积来表示，实际上还有一些代数恒等式样也可以用这种形式表示，
如：（2a+b）（a+b）=2a2+3ab+b2，就可以用图（1），或图（2）等图形的面积表示．
请你写出图（3）所表示的代数恒等式（x+y）2=x2+2xy+y2．
请你写出图（4）所表示的代数恒等式（2a+b）（a+2b）=2a2+5ab+2b2．
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分析：求出长方形的长和宽，根据长方形的面积公式求出即可．
解答：解：图（3）所表示的代数恒等式是（x+y）（x+y）=（x+y）2=x2+2xy+y2，
图（4）所表示的代数恒等式是（2a+b）（a+2b）=2a2+5ab+2b2，
故答案为：（x+y）2=x2+2xy+y2，（2a+b）（a+2b）=2a2+5ab+2b2．
点评：本题考查了完全平方公式的应用，主要考查学生的阅读能力和转化能力，题目比较好，有一定的难度．
22．图1是一个长为2x、宽为2y的长方形，沿图中虚线用剪刀剪成四个完全相同的小长方形，然后按图2所示拼成一个正方形．
（1）你认为图2中的阴影部分的正方形的边长等于x﹣y ．
（2）试用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积．
方法1：（x﹣y）2 ；方法2：（x+y）2﹣4xy ．
（3）根据图2你能写出下列三个代数式之间的等量关系吗？
代数式：（x+y）2，（x﹣y）2，4xy．（x+y）2=（x﹣y）2+4xy
（4）根据（3）题中的等量关系，解决如下问题：
若x+y=4，xy=3，则（x﹣y）2= 4 ．
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分析：（1）图①分成了4个长为x，宽为y的长方形，图②中的阴影部分的小正方形的边长等于x﹣y，大正方形的边长等于x+y；
（2）直接利用正方形的面积公式得到②中阴影部分的面积为（x﹣y）2；也可以用大正方形的面积减去4个长方形的面积即②（x+y）2﹣4xy；
（3）利用面积之间的关系易得（x+y）2=（x﹣y）2+4xy．
解答：解：（1）图②中的阴影部分的小正方形的边长=x﹣y；
故答案为：（x﹣y）；
（2）方法①（x﹣y）2；方法②（x+y）2﹣4xy；
故答案为：（x﹣y）2 ，（x+y）2﹣4xy；
（3）（x+y）2=（x﹣y）2+4xy；
故答案为：（x+y）2=（x﹣y）2+4xy；
（4）（x﹣y）2=（x+y）2﹣4xy=42﹣12=4
故答案为：4．
点评：本题考查了列代数式：根据题中的已知数量利用代数式表示其他相关的量．
23．已知图甲是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均匀分成四小块长方形，然后按图乙的形状拼成一个正方形．
（1）你认为图乙中阴影部分的正方形的边长等于多少？m﹣n ．
（2）请用两种不同的方法求图乙中阴影部分的面积．
方法一：（m+n）2﹣4mn ；方法二：（m﹣n）2．
（3）观察图乙，你能写出下列三个代数式之间的等量关系吗？
（m+n）2；（m﹣n）2； mm
（4）根据（3）题中的等量关系，解决如下问题：若a+b=8，ab=5，求（a﹣b）2的值．
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分析：平均分成后，每个小长方形的长为m，宽为n．
（1）正方形的边长=小长方形的长﹣宽；
（2）第一种方法为：大正方形面积﹣4个小长方形面积，第二种表示方法为：阴影部分为小正方形的面积；
（3）利用（m+n）2﹣4mn=（m﹣n）2可求解；
（4）利用（a﹣b）2=（a+b）2﹣4ab可求解．
解答：解：（1）m﹣n；
（2）（m+n）2﹣4mn或（m﹣n）2；
（3）（m+n）2﹣4mn=（m﹣n）2；
（4）（a﹣b）2=（a+b）2﹣4ab，
∵a+b=8，ab=5，
∴（a﹣b）2=64﹣20=44．
点评：本题主要考查了完全平方式的知识，解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的等量关系．本题更需注意要根据所找到的规律做题．
人教七数上册几何图形初步专题训练.doc
2.（2015?甘孜州）如图所示的几何体，从正面看的平面图形是（A ） 3.（2015-通辽）如图，由几个相同的小正方体搭成的一个几何体 , < D ） 5.下面的图形'是由A 、B 、C 、D 中的哪个图旋转形成的 （A ） 第四章《几何图形初步》章末专题训练 类型1:立体图形的三种视图及展开图 1.（2015-黄石）下列四个立体图形中'从左面看为长方形的是（B ） S ? A 3 ①正方体 ②球 ③国锥 ④国柱 A.①③ B.①④ C.②③ D.③④ B C. B. 4?在下面的图形中是正方体的展开图的是（B ） B. C.
6.（2015-茂名）如囹是一个正方体的平面展开图，折盏成正方体后与“建”字所在面 相对的面的字是（C ） A-创 B.教 C.强 D.市 7.如图，在平整的地面上，有若干个完全相同的棱长为10cm 的小正方体堆成一个几何体. （1）这个几何体由10个小正方体组成. （2）如果在这个几何体的表面喷上黄色的赧，则在所有的小正方体中，有1个正方 体只有一个面是黄色，有2个正方体只有两个面是黄色，有3个正方体只有三个 <3）这个几何体喷糠的面积为3200 cm2. 8.（2015-随州）如图是一个长方体的三视图（单位：cm）,根据图中数据计算这个长方体 的体积是24 cm3. 9.以长为24皿，赏为10cm的长方形的一边所在直线为旋转轴，旋转一周形成一个圆柱.贝U这个圆柱的底面半径是24或10 cm. 10.（2015-牡丹江）由一些大小相同的小正方体搭成的几何体的主视图和俯视 图，如图所示，则搭成该几何体的小正方体最多是7个. 主视图俯视图类型2：线段的和、差、倍、分的计算 1?如图，点C为线段局的中点'点D为线段AC的中点、已知AB=8,则BD= （ C ）
几何练习题精选
几何练习题精选 题型一、相似三角形的判定与性质 1、 如图1、在ABC ?中， 90=∠BAC ，BC 边的垂直平分线EM 与AB 及CA 的延长线分别交于D 、E ，连接AM ， 求证：EM DM AM ?=2 2、 如图2，已知梯形ABCD 为圆内接四边形，AD//BC ，过C 作该圆的切线，交AD 的延长线于E ，求证：ABC ?相似于EDC ? 3、 如图3，D B ∠=∠，AE ⊥BC ， 90=∠ACD ，且AB=6，AC=4，AD=12，求BE 的长。
4、 如图4，O Θ和O 'Θ相交于A ，B 两点，过A 作两圆的切线分别交两圆于C 、D 两点， 连接DB 并延长交O Θ于点E ，证明：（1）AB AD BD AC ?=?；（2）AC=AE 题型二、截割定理与射影定理的应用 1、 如图5，已知E 是正方形ABCD 的边AB 延长线上一点，DE 交CB 于M ，MN//AE 于 N ，求证：MN=MB 2、 如图6，在ABC Rt ?中， 90=∠BAC ，AD 是斜边BC 上的高，若AB ：AC=2：1， 求AD ：BC 的值。
3、 如图7，AB 是半圆O 的直径，C 是半圆上异于A 、B 的点，CD ⊥AB ，垂足为D ，已 知AD=2，CB=34，求CD 的长。 4、 如图8，在ABC ?中，DE//BC ，EF//CD ，若BC=3，DE=2，DF=1，求AB 的长。 题型三、圆内接四边形的判定与性质 1、 如图9、AB ，CD 都是圆的弦，且AB//CD ，F 为圆上一点，延长FD ，AB 相交于点E ， 求证：BD=AC ；（2）DE AF AC AE ?=?
完全平方公式变形的应用练习题
乘法公式的拓展及常见题型整理 一．公式拓展： 拓展一：ab b a b a 2)(222-+=+ ab b a b a 2)(222+-=+ 2)1(1222-+=+ a a a a 2)1(1222 +-=+a a a a 拓展二：ab b a b a 4)()(22=--+ ()()2 2 2222a b a b a b ++-=+ ab b a b a 4)()(22+-=+ ab b a b a 4)()(22-+=- 拓展三：bc ac ab c b a c b a 222)(2222---++=++ 拓展四：杨辉三角形 3223333)(b ab b a a b a +++=+ 4322344464)(b ab b a b a a b a ++++=+ 拓展五： 立方和与立方差 ))((2233b ab a b a b a +-+=+ ))((2233b ab a b a b a ++-=- 二．常见题型： （一）公式倍比 例题：已知b a +=4，求 ab b a ++2 2 2。 ⑴如果1,3=-=-c a b a ，那么()()()2 2 2 a c c b b a -+-+-的值是 ⑵1=+y x ，则2221 21y xy x ++= ⑶已知xy ２ y x ，y x x x -+-=---2 22 2)()1(则 = (二）公式组合 例题：已知(a+b)2=7,(a-b)2=3, 求值: (1)a 2+b 2 (2)ab ⑴若()()a b a b -=+=2 2 713，，则a b 22 +=____________，a b =_________
立体几何专题训练(附答案)
立体几何 G5 空间中的垂直关系 18．、[2014·广东卷] 如图1-4，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，∠DPC＝30°，AF⊥PC于点F，FE∥CD，交PD于点E. (1)证明：CF⊥平面ADF； (2)求二面角D- AF- E的余弦值． 图1-4 19．、[2014·湖南卷] 如图1-6所示，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱长都相等，AC∩BD ＝O，A1C1∩B1D1＝O1，四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形． (1)证明：O1O⊥底面ABCD； (2)若∠CBA＝60°，求二面角C1-OB1-D的余弦值． 19．解：(1)如图(a)，因为四边形ACC1A1为矩形，所以CC1⊥AC.同理DD1⊥BD. 因为CC1∥DD1，所以CC1⊥BD.而AC∩BD＝O，因此CC1⊥底面ABCD. 由题设知，O1O∥C1C.故O1O⊥底面ABCD. (2)方法一：如图(a)，过O1作O1H⊥OB1于H，连接HC1. 由(1)知，O1O⊥底面ABCD O1O⊥A1C1. 又因为四棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱长都相等，所以四边形A1B1C1D1是菱形， 因此A1C1⊥B1D1，从而A1C1⊥平面BDD1B1，所以A1C1⊥OB1，于是OB1⊥平面O1HC1. 进而OB1⊥C1H.故∠C1HO1是二面角C1-OB1-D的平面角．
不妨设AB ＝2.因为∠CBA ＝60°，所以OB ＝3，OC ＝1，OB 1＝7. 在Rt △OO 1B 1中，易知O 1H ＝OO 1·O 1B 1OB 1＝237.而O 1C 1＝1，于是C 1H ＝O 1C 21＋O 1H 2 ＝ 1＋12 7 ＝ 197 . 故cos ∠C 1HO 1＝O 1H C 1H ＝ 23 7197 ＝25719. 即二面角C 1-OB 1-D 的余弦值为257 19 . 方法二：因为四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的所有棱长都相等，所以四边形ABCD 是菱形，因此AC ⊥BD .又O 1O ⊥底面ABCD ，从而OB ，OC ，OO 1两两垂直． 如图(b)，以O 为坐标原点，OB ，OC ，OO 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系O -xyz ，不妨设AB ＝2.因为∠CBA ＝60°，所以OB ＝3，OC ＝1，于是相关各点的坐标为O (0，0，0)， B 1(3，0，2)， C 1(0，1，2)． 易知，n 1＝(0，1，0)是平面BDD 1B 1的一个法向量． 设n 2＝(x ，y ，z )是平面OB 1C 1的一个法向量，则?????n 2·OB →1＝0，n 2·OC →1＝0，即???3x ＋2z ＝0， y ＋2z ＝0. 取z ＝－3，则x ＝2，y ＝23，所以n 2＝(2，23，－3)． 设二面角C 1-OB 1-D 的大小为θ，易知θ是锐角，于是 cos θ＝|cos 〈，〉|＝??????n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝2319＝25719. 故二面角C 1-OB 1-D 的余弦值为25719 . 19． 、、[2014·江西卷] 如图1-6，四棱锥P - ABCD 中，ABCD 为矩形，平面PAD ⊥平面ABCD . 图1-6 (1)求证：AB ⊥PD .
完全平方公式(一)
1.6完全平方公式(一) ●教学目标 (一)教学知识点 1.完全平方公式的推导及其应用. 2.完全平方公式的几何背景. (二)能力训练要求 1.经历探索完全平方公式的过程，进一步发展符号感和推理能力. 2.重视学生对算理的理解，有意识地培养他们有条理的思考和表达能力. (三)情感与价值观要求 1.了解数学的历史，激发学习数学兴趣. 2.鼓励学生自己探索算法的多样化，有意识地培养学生的创新能力. ●教学重点 1.完全平方公式的推导过程、结构特点、语言表述、几何解释. 2.完全平方公式的应用. ●教学难点 1.完全平方公式的推导及其几何解释. 2.完全平方公式结构特点及其应用. ●教学方法 自主探索法 学生在教师的引导下自主探索完全平方公式的几何解释、代数运算角度的推理，揭示其结构特点，然后达到合理、熟练地应用. ●教具准备 投影片四张 第一张：试验田的改造，记作(§1.6.1 A) 第二张：想一想，记作(§1.6.1 B) 第三张：例题，记作(§1.6.1 C) 第四张：补充练习，记作(§1.6.1 D) ●教学过程 Ⅰ.创设问题情景，引入新课 ［师］去年，一位老农在一次“科技下乡”活动中得到启示，将一块边长为a米的正方形农田改成试验田，种上了优质的杂交水稻，一年来，收益很大.今年，又一次“科技下乡”活动，使老农铁了心，要走科技兴农的路子，于是他想把原来的试验田，边长增加b米，形成四块试验田，种植不同的新品种. 同学们，谁来帮老农实现这个愿望呢？ (同学们开始动手在练习本上画图，寻求解决的途径) ［生］我能帮这位爷爷. ［师］你能把你的结果展示给大家吗？ ［生］可以.如图1－25所示，这就是我改造后的试验田，可以种植四种不同的新品种.
七年级数学几何图形初步专题练习(word版
一、初一数学几何模型部分解答题压轴题精选（难） 1．将一副三角板放在同一平面内，使直角顶点重合于点O （1）如图①，若∠AOB=155°，求∠AOD、∠BOC、∠DOC的度数. （2）如图①，你发现∠AOD与∠BOC的大小有何关系？∠AOB与∠DOC有何关系？直接写出你发现的结论. （3）如图②，当△AOC与△BOD没有重合部分时，（2）中你发现的结论是否还仍然成立，请说明理由. 【答案】（1）解：∵ 而 同理： ∴ ∴ （2）解：∠AOD与∠BOC的大小关系为：∠AOB与∠DOC存在的数量关系为： （3）解：仍然成立. 理由如下：∵ 又∵ ∴
【解析】【分析】（1）先计算出 再根据 （2）根据(1)中得出的度数直接写出结论即可.（3）根据 即可得到利用周角定义得∠AOB+∠COD+∠AOC+∠BOD=360°，而∠AOC=∠BOD=90°，即可得到∠AOB+∠DOC=180°． 2．在△ABC中，∠ACB=2∠B，如图①，当∠C=90°，AD为∠BAC的角平分线时，在AB上截取AE=AC，连接DE，易证AB=AC+CD。 （1）如图②，当∠C≠90°，AD为∠BAC的角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系?请写出你的猜想并证明； （2）如图③，当AD为△ABC的外角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系?请写出你的猜想，并对你的猜想给予证明。 【答案】（1）解：猜想：AB=AC+CD． 证明：如图②，在AB上截取AE=AC，连接DE， ∵AD为∠BAC的角平分线时， ∴∠BAD=∠CAD， ∵AD=AD， ∴△ADE≌△ADC（SAS）， ∴∠AED=∠C，ED=CD， ∵∠ACB=2∠B， ∴∠AED=2∠B， ∵∠AED=∠B+∠EDB， ∴∠B=∠EDB， ∴EB=ED， ∴EB=CD， ∴AB=AE+DE=AC+CD.
初二几何专题训练整理
初中几何综合测试题 一.填空题 1.一个三角形的两条边长分别为9和2，第三边长为奇数，则第三边长为_______. 2.△ABC三边长分别为3、4、5，与其相似的△A′B′C′的最大边长是 10，则△A′B′C′的面积是_________. 4.点O是平行四边形ABCD对角线的交点，若平行四边行ABCD的面 积为8cm，则△AOB的面积为________. 5.直角三角形两直角边的长分别为5cm和12cm，则斜边上的中线长为 . 6.梯形上底长为2，中位线长为5，则梯形的下底长为________. 7.如图，分别延长四边形ABCD两组对边交于E、F，若DF=2DA， 8.在Rt△ABC中，AD是斜边BC上的高，如果BC=a，∠B=30°， 那么AD等于_________. 二．选择题 1.一个角的余角和它的补角互为补角，则这个角是 [ ] A.30° B.45° C.60° D.75° 2.依次连结等腰梯形的各边中点所得的四边形是 [ ] A.矩形 B.正方形 C.菱形 D.梯形 3.如图，DF∥EG∥BC,AD=DE=EB,△ABC被分成三部分的 面积之比为 [ ]
A.1∶2∶3 B.1∶1∶1 C.1∶4∶9 D.1∶3∶5 4.已知：AB∥CD，EF∥CD,且∠ABC=20°，∠CFE=30°, 则∠BCF的度数是 [ ] A.160° B.150° C.70° D.50° 5.如图OA=OB，点C在OA上，点D在OB上，OC=OD，AD和 BC相交于E，图中全等三角形共有 [ ] A.2对 B.3对 C.4对 D.5对 6.既是轴对称，又是中心对称的图形是 [ ] A.等腰三角形 B.等腰梯形 C.平行四边形 D.线段 三.解答题
知识点057 完全平方公式几何背景(选择)
1、（2010?乌鲁木齐）有若干张面积分别为纸片，阳阳从中抽取了1张面积为a2的正方形纸片，4张面积为ab的长方形纸片，若他想拼成一个大正方形，则还需要抽取面积为b2的正方形纸片（） A、2张 B、4张 C、6张 D、8张 考点：完全平方公式的几何背景。 分析：由题意知拼成一个大正方形长为a+2b，宽也为a+2b，面积应该等于所有小卡片的面积．解答：解：∵正方形和长方形的面积为a2、b2、ab， ∴它的边长为a，b，b． ∴它的边长为（a+2b）的正方形的面积为： （a+2b）（a+2b）=a2+4ab+4b2， ∴还需面积为b2的正方形纸片4张． 故选B． 点评：此题考查的内容是整式的运算与几何的综合题，考法较新颖． 2、（2010?丹东）图①是一个边长为（m+n）的正方形，小颖将图①中的阴影部分拼成图② 的形状，由图①和图②能验证的式子是（） A、（m+n）2﹣（m﹣n）2=4mn B、（m+n）2﹣（m2+n2）=2mn C、（m﹣n）2+2mn=m2+n2 D、（m+n）（m﹣n）=m2﹣n2 考点：完全平方公式的几何背景。 专题：计算题。 分析：根据图示可知，阴影部分的面积是边长为m+n的正方形减去中间白色的正方形的面积m2+n2，即为对角线分别是2m，2n的菱形的面积．据此即可解答． 解答：解：（m+n）2﹣（m2+n2）=2mn． 故选B． 点评：本题是利用几何图形的面积来验证（m+n）2﹣（m2+n2）=2mn，解题关键是利用图形的面积之间的相等关系列等式． 3、利用图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式．例如，根据图甲，我们可以得到两数和的平方公式：（a+b）2=a2+2ab+b2．你根据图乙能得到的数学公式是（） A、（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2 B、（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2
八年级数学上册 完全平方公式的综合应用(习题及答案)
完全平方公式的综合应用（习题） 例题示范 例1：已知12x x - =，求221x x +，441x x +的值． 【思路分析】 ① 观察题目特征（已知两数之差和两数之积11x x ? =，所求为两数的平方和），判断此类题目为“知二求二”问题； ② “x ”即为公式中的a ，“ 1x ”即为公式中的b ，根据他们之间的关系可得：2221112x x x x x x ??+=-+? ???； ③ 将12x x -=，11x x ?=代入求解即可； ④ 同理，24224221112x x x x x x ??+=+-? ???，将所求的221x x +的值及2211x x ?=代入即可求解． 【过程书写】 例2：若2226100x x y y -+++=，则x =_______，y =________． 【思路分析】 此题考查完全平方公式的结构，“首平方，尾平方，二倍乘积放中央”． 观察等式左边，22x x -以及26y y +均符合完全平方式结构，只需补全即可，根据“由两边定中间，由中间凑两边”可配成完全平方式，得到22(1)(3)0x y -++=． 根据平方的非负性可知：2(1)0x -=且2(3)0y +=，从而得到1x =，3y =-． 巩固练习 1. 若2(2)5a b -=，1ab =，则224a b +=____，2(2)a b +=____． 2. 已知3x y +=，2xy =，求22x y +，44x y +的值．
3. 已知2310a a -+=，求221a a +，44 1a a +的值. 4. （1）若229x mxy y ++是完全平方式，则m =________． （2）若22916x kxy y -+是完全平方式，则k =_______． 5. 多项式244x +加上一个单项式后，能使它成为一个整式的平方，则可以加上 的单项式共有_______个，分别是__________ ______________________________． 6. 若22464100a b a b +--+=，则a b -=______． 7. 当a 为何值时，2814a a -+取得最小值，最小值为多少？ 8. 求224448x y x y +-++的最值． 思考小结 1. 两个整数a ，b （a ≠b ）的“平均数的平方”与他们“平方数的平均数”相等 吗？若不相等，相差多少？ 2. 阅读理解题：
小学奥数几何专题训练附答案
学习奥数的重要性 1. 学习奥数是一种很好的思维训练。奥数包含了发散思维、收敛思维、换元思维、反向思维、逆向思维、逻辑思维、空间思维、立体思维等二十几种思维方式。通过学习奥数，可以帮助孩子开拓思路，提高思维能力，进而有效提高分析问题和解决问题的能力，与此同时，智商水平也会得以相应的提高。 2. 学习奥数能提高逻辑思维能力。奥数是不同于且高于普通数学的数学内容，求解奥数题，大多没有现成的公式可套，但有规律可循，讲究的是个“巧”字；不经过分析判断、逻辑推理乃至“抽丝剥茧”，是完成不了奥数题的。所以，学习奥数对提高孩子的逻辑推理和抽象思维能力大有帮助 3. 为中学学好数理化打下基础。等到孩子上了中学，课程难度加大，特别是数理化是三门很重要的课程。如果孩子在小学阶段通过学习奥数让他的思维能力得以提高，那么对他学好数理化帮助很大。小学奥数学得好的孩子对中学阶段那点数理化大都能轻松对付。 4. 学习奥数对孩子的意志品质是一种锻炼。大部分孩子刚学奥数时都是兴趣盎然、信心百倍，但随着课程的深入，难度也相应加大，这个时候是最能考验人的：少部分孩子凭着天分，凭着在困难面前的百折不挠和愈挫愈坚的毅力，坚持了下来、学了进去、收到了成效；一部分孩子在家长的“威逼利诱”之下，硬着头皮熬了下来；不少孩子更是或因天资不足、或惧怕困难、或受不了这份苦、再或是其它原因而在中途打了退堂鼓。我以为，只要能坚持学下来，不论最后取得什么样的结果，都会有所收获的，特别是对孩子的意志力是一次很好的锻炼，这对他今后的学习和生活都大有益处。 六年级几何专题复习 如图，已知AB ＝40cm，图中的曲线是由半径不同的三种半圆弧平滑连接 而成，那么阴影部分的面积是_____cm2。(π取3.14)(几何) 有7根直径都是5分米的圆柱形木头，现用绳子分别在两处把它们捆在一起，则至少需要绳子_____分米。(结头处绳长不计，π取3.14) 图中的阴影部分的面积是________平方厘米。(π取3)
完全平方公式练习50题
完全平方公式专项练习 知识点： 姓名： 完全平方公式：(a+b)2=a 2+2ab+b 2 (a-b)2=a 2-2ab+b 2 两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍。 1、完全平方公式也可以逆用，即a 2+2ab+b 2=(a+b)2 a 2-2ab+b 2=(a-b)2 2、能否运用完全平方式的判定： ① 两数和（或差）的平方 即：(a+b)2或 (a-b)2或 (-a-b)2或 (-a+b)2 ② 两数平方，加上（或减去）它们的积的2倍，且两数平方的符号相同。 即：a 2+2ab+b 2或a 2-2ab+b 2 -a 2-2ab-b 2或 -a 2+2ab-b 2 专项练习： 1．（a ＋2b ）2 2.（3a －5）2 3.．（－2m －3n ）2 4. （a 2－1）2－（a 2＋1）2 5.（－2a ＋5b ）2 6.（－21ab 2－3 2c ）2 7.（x －2y ）（x 2－4y 2）（x ＋2y ） 8.（2a ＋3）2＋（3a －2）2 9.（a －2b ＋3c －1）（a ＋2b －3c －1）； 10.（s －2t ）（－s －2t ）－（s －2t ）2； 11.（t －3）2（t ＋3）2（t 2＋9）2． 12. 972； 13. 20022； 14. 992－98×100； 15. 49×51－2499； 16.（x －２y ）（x ＋２y ）－（x ＋２y ）2 17.（a ＋b ＋c ）（a ＋b －c ） 18. (a+b+c+d)2 19.（２a ＋１）2－（１－２a ）2 20.（３x －y ）2－（２x ＋y ）2＋５x （y －x ）
几何图形初步专项训练
几何图形初步专项训练 一、选择题 1．如图，在Rt ABC V 中，90ACB ∠=?，3tan 4B = ，CD 为AB 边上的中线，CE 平分ACB ∠，则AE AD 的值（ ） A ．35 B ．34 C ．45 D ．67 【答案】D 【解析】 【分析】 根据角平分线定理可得AE ：BE ＝AC ：BC ＝3:4，进而求得AE ＝37 AB ，再由点D 为AB 中点得AD ＝ 12AB ，进而可求得AE AD 的值． 【详解】 解：∵CE 平分ACB ∠， ∴点E 到ACB ∠的两边距离相等， 设点E 到ACB ∠的两边距离位h ， 则S △ACE ＝12AC·h ，S △BCE ＝12 BC·h ， ∴S △ACE ：S △BCE ＝ 12AC·h ：12 BC·h ＝AC ：BC ， 又∵S △ACE ：S △BCE ＝AE ：BE ， ∴AE ：BE ＝AC ：BC ， ∵在Rt ABC V 中，90ACB ∠=?，3tan 4B = ， ∴AC ：BC ＝3:4， ∴AE ：BE ＝3:4 ∴AE ＝37 AB ， ∵CD 为AB 边上的中线， ∴AD ＝12 AB ，
∴3 6717 2 AB AE AD AB ==， 故选：D ． 【点睛】 本题主要考查了角平分线定理的应用及三角函数的应用，通过面积比证得AE ：BE ＝AC ：BC 是解决本题的关键． 2．一副直角三角板如图放置，其中∠C =∠DFE =90°，∠A =45°，∠E =60°，点F 在CB 的延长线上．若DE ∥CF ，则∠BDF 等于（ ） A ．30° B ．25° C ．18° D ．15° 【答案】D 【解析】 【分析】 根据三角形内角和定理可得45ABC ∠=?和30EDF ∠=?，再根据平行线的性质可得45EDB ABC ==?∠∠，再根据BDF EDB EDF =-∠∠∠，即可求出BDF ∠的度数． 【详解】 ∵∠C =90°，∠A =45° ∴18045ABC A C =?--=?∠∠∠ ∵//DE CF ∴45EDB ABC ==?∠∠ ∵∠DFE =90°，∠E =60° ∴18030EDF E DFE =?--=?∠∠∠ ∴15BDF EDB EDF =-=?∠∠∠ 故答案为：D ． 【点睛】 本题考查了三角板的角度问题，掌握三角形内角和定理、平行线的性质是解题的关键． 3．如图为一直棱柱，其底面是三边长为5、12、13的直角三角形．若下列选项中的图形均由三个矩形与两个直角三角形组合而成，且其中一个为如图的直棱柱的展开图，则根据图形中标示的边长与直角记号判断，此展开图为何？（ ）
中考数学几何专题训练
专题八圆
8．正多边形的有关计算: （1）中心角n ，半径R N ，边心距r n ，边长a n ，内角n ，边数n；公式举例： (1) n = n 360 ；
（2）有关计算在Rt ΔAOC 中进行. (2) n 1802n ? = α 二 定理： 1．不在一直线上的三个点确定一个圆. 2．任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆. 3．正n 边形的半径和边心距把正n 边形分为2n 个全等的直角三角 三 公式： 1.有关的计算： （1）圆的周长C=2πR ；（2）弧长L= 180 R n π；（3）圆的面积S=πR 2 . （4）扇形面积S 扇形 =LR 2 1 360R n 2=π； （5）弓形面积S 弓形 =扇形面积S AOB ±ΔAOB 的面积.（如图） 圆柱侧（2）圆锥的侧面积：S 圆锥侧 =LR 21 =πrR. （L=2πr ，R 是圆锥母线长；r 是底面半径） 四 常识： 1． 圆是轴对称和中心对称图形.2． 圆心角的度数等于它所对弧的度数. 3． 三角形的外心 两边中垂线的交点 三角形的外接圆的圆心； 三角形的内心 两内角平分线的交点 三角形的内切圆的圆心.
A B C 第5 A B C 第6 O E 4． 直线与圆的位置关系：（其中d 表示圆心到直线的距离；其中r 表示圆的半径） 直线与圆相交 d ＜r ； 直线与圆相切 d=r ； 直线与圆相离 d ＞r. 5． 圆与圆的位置关系：（其中d 表示圆心到圆心的距离，其中R 、r 表示两个圆的半径且R ≥r ） 两圆外离 d ＞R+r ； 两圆外切 d=R+r ； 两圆相交 R-r ＜d ＜R+r ； 两圆内切 d=R-r ； 两圆内含 d ＜R-r. 6．证直线与圆相切，常利用：“已知交点连半径证垂直”和“不知交点作垂直证半径” 的方法加辅助线. 圆中考专题练习 一：选择题。 1. （2010红河自治州）如图2，已知BD 是⊙O 的直径，⊙O 的弦AC ⊥BD 于点E ，若∠AOD=60°，则∠DBC 的 度数为（ ） ° ° ° ° 2、（11哈尔滨）．如上图，AB 是⊙O 的弦，半径OA ＝2，∠AOB ＝120°，则弦AB 的长是（ ）． （A ）22 （B ）32 （C ）5 （D ）53 3、（2011陕西省）9.如图，点A 、B 、P 在⊙O 上，点P 为动点，要是△ABP 为等腰三角形，则所有符合条件的点P 有（ ） A 1个 B 2个 C 3个 D 4个 4、（2011），安徽芜湖）如图所示，在圆O 内有折线OABC,其中OA=8,AB=12,∠A=∠B=60°,则BC 的长为（ ） A ．19 B ．16 C ．18 D ．20 5、（11·浙江湖州）如图，已知在Rt △ABC 中，∠ BAC ＝90°，AB ＝3， BC ＝5，若把Rt △ABC 绕直线AC 旋转一周，则所 得圆锥的侧面积等于 （ ）
完全平方公式提升练习题
完全平方公式提升练习题 一、完全平方公式 1、（－ 21ab 2－3 2c ）2； 2、（x －3y －2）（x ＋3y －2）； 3、（x －2y ）（x 2－4y 2）（x ＋2y ）； 4、若k x x ++22是完全平方式，则k =____________. 5、.若x 2－7xy +M 是一个完全平方式，那么M 是 6、如果4a 2－N ·ab ＋81b 2是一个完全平方式，则N = 7、如果224925y kxy x +-是一个完全平方式，那么k = 二、公式的逆用 8．（2x －______）2＝____－4xy ＋y 2． 9．（3m 2＋_______）2＝_______＋12m 2n ＋________． 10．x 2－xy ＋________＝（x －______）2． 11．49a 2－________＋81b 2＝（________＋9b ）2． 12．代数式xy －x 2－4 1y 2等于（ ）2 三、配方思想 13、若a 2+b 2－2a +2b +2=0,则a 2004+b 2005=_____. 14、已知0136422=+-++y x y x ，求y x =_______. 15、已知222450x y x y +--+=，求21(1)2x xy --=_______.
16、已知x 、y 满足x 2十y 2十 45＝2x 十y ，求代数式y x xy +=_______. 17．已知014642222=+-+-++z y x z y x ，则z y x ++= ． 四、完全平方公式的变形技巧 18、已知 2 ()16,4,a b ab +==求22 3a b +与2()a b -的值。 19、已知2a －b ＝5，ab ＝2 3，求4a 2＋b 2－1的值． 20、已知16x x -=，求221x x +，441x x + 21、0132=++x x ，求（1）221x x +（2）441x x +
初二上几何证明题100题专题训练
C A B C D E P 图 ⑴八年级上册几何题专题训练100题 1、 已知：在⊿ABC 中，∠A=900 ，AB=AC ，在BC 上任取一点P ，作PQ ∥AB 交AC 于Q ，作PR ∥CA 交BA 于R ，D 是BC 的中点，求证：⊿RDQ 是等腰直角三角形。 C B 2、 已知：在⊿ABC 中，∠A=900 ，AB=AC ，D 是AC 的中点，AE ⊥BD ，AE 延长线交BC 于F ，求证：∠ADB=∠FDC 。 3、 已知：在⊿ABC 中BD 、CE 是高，在BD 、CE 或其延长线上分别截取BM=AC 、CN=AB ，求证：MA ⊥NA 。 4、已知：如图(1)，在△ABC 中，BP 、CP 分别平分∠ABC 和∠ACB ，DE 过点P 交AB 于D ，交AC 于E ，且DE ∥BC ．求证：DE －DB=EC ．
5、在Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC=90°，O为BC的中点。 (1)写出点O到△ABC的三个顶点A、B、C的距离的大小关系(不要求证明)； (2)如果点M、N分别在线段AB、AC上移动，在移动中保持AN＝BM，请判断△OMN的形状，并证明你的结论。 6、如图，△ABC为等边三角形，延长BC到D，延长BA到E，AE=BD， 连结EC、ED，求证：CE=DE 7、如图，等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠A＝90°，BD平分∠ABC，DE⊥BC且BC＝10，求△DCE的周长。 8. 如图，已知△EAB≌△DCE，AB，EC分别是两个三角形的最长边，∠A＝∠C＝35°，∠CDE＝100°，∠DEB＝10°，求∠AEC的度数． A B C O M N
完全平方公式的几何背景专题训练试题精选附复习资料
完全平方公式的几何背景专题训练试题精选 一．选择题（共6小题） 1．（2010?丹东）图①是一个边长为（）的正方形，小颖将图①中的阴影部分拼 成图②的形状，由图①和图②能验证的式子是（） A．（）2﹣（m﹣n）2=4 B．（）2﹣（m22）=2 C．（m﹣n）2+222D （）（m﹣n）2﹣n2 ． 2．利用图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式．例如，根据图甲，我们 可以得到两数和的平方公式：（）22+22．你根据图乙能得到的数学公式是（） B．（a﹣b）22﹣22C．a（）2D．a（a﹣b）2﹣A．（）（a﹣b）2﹣ b2 3．如图，你能根据面积关系得到的数学公式是（） A．a2﹣b2=（）（a﹣b）B．（）22+22C．（a﹣b）22﹣22D．a（）2
4．如图（1），是一个长为2a宽为2b（a＞b）的矩形，用剪刀沿矩形的两条对角轴剪开，把它分成四个全等的小矩形，然后按图（2）拼成一个新的正方形，则中间空白部分的面积是（） A．B．（）2C．（a﹣b）2D．a2﹣b2 5．如图的图形面积由以下哪个公式表示（） B．（a﹣b）22﹣22C．（）22+22D．a2﹣b2=（）（a﹣b）A．a2﹣b2（a﹣b）（a ﹣b） 6．如果关于x的二次三项式x2﹣16是一个完全平方式，那么m的值是（）A．8或﹣8 B．8C．﹣8 D．无法确定 二．填空题（共7小题） 7．（2014?玄武区二模）如图，在一个矩形中，有两个面积分别为a2、b2（a＞0，b＞0）的正方形．这个矩形的面积为（用含a、b的代数式表示）
8．如图，边长为（2）的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），若拼成的矩形一边长为2，则另一边长是．（用含m的代数式表示） 9．有两个正方形A，B，现将B放在A的内部得图甲，将A，B并列放置后构造新的正方形得图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为1和12，则正方形A，B的面积之和为． 10．如图1和图2，有多个长方形和正方形的卡片，图1是选取了2块不同的卡片，拼成的一个图形，借助图中阴影部分面积的不同表示可以用来验证等式a（）2成立．根据图2，利用面积的不同表示方法，写出一个代数恒等式． 11．如图，正方形广场的边长为a米，中央有一个正方形的水池，水池四周有一条宽度为的环形小路，那么水池的面积用含a、b的代数式可表示为
完全平方公式经典习题.doc
2 213.计算:（1） （―2。+5。）2； ⑵（十2_§）2； (3)(工一3y —2)(尤+3y —2)； (4) (x~2y) (x 2—4>,2)(尤+2y)； 完全平方公式一 1. （。+2人）2 =决+ ______ +4人2； （3Q —5） 2=9Q 2+25— _______ 2. (2尤— ___ ) 2= ________ —Axy-^y 1； (3m 2+ ______ .)2 = ______ +12冰〃+ ___ 3. JC —xv+ = (x~ - )2； 49a 2- + 81^2= ( +%) 2 4. ( ~2m —3n) 2 = ； （￡+圮）2 = ? 4 3 5. 4决+4。+3= (2Q +1) 2+ ? (。——人) 2= (Q +Z?) 2— 6.疽 +》2= (Q + 人)2_ =(a~b) 2 — _____ ■ 7. (。—b+c) 2 =. 8. (a 2— 1 ) 2— (Q 2+1)2=[(Q 2— 1)+ (Q 2+])][( Q 2— 1)—() ]= 9. 代数式xy-x 2--y 2等于 .................. ( ) 4 (A) (x~-y) 2 (B) (—x —-y) 2 (C) (-y —x) 2 (D) — (x~-y) 2 2 2 2 2 10. 已知 j (x 2— 16) +。= (X 2—8) 2,则 Q 的值是.................... ( ) (A) 8 (B) 16 (C) 32 (D) 64 11. 如果4Q 2—N 泌+8场2是一个完全平方式，则N 等于 ..................... ( ) (A) 18 (B) ±18 (C) ±36 (D) ±64 12. 若(a+b) 2=5, (a-b) 2=3,则 a 2+b 2与沥的值分别是 ...................... ( ) (A) 8 与上 (B) 4-^- (C) 1 与4 (。)4与1
人教版七年级上册数学：第章《几何图形初步》专项练习(含标准答案)
人教版七年级上册数学：第章《几何图形初步》专项练习(含答案)
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七年级期末总复习图形的初步专项 1．如图，该几何体的展开图是( ) A. B. C. D. 2．左图中的图形绕虚线旋转一周，可得到的几何体是（） A. （A） B. （B） C. （C） D. （S） 3．下面的四个图形中，每个图形均由六个相同的小正方形组成，折叠后能围成正方体的是（） A. B. C. D. 4．如图所示的几何体是由以下四个图形中的哪一个图形绕着虚线旋转一周得到的（） A. B. C. D. 5．用一副三角尺画角，不能画出的角的度数是（） A. 15o B. 75o C. 145o D. 165o 6．n棱柱的棱数与面数之和等于( ) . A. 3n B. 4n+2 C. 3n+2 D. 2n+2
7．将正方体展开后，不能得到的展开图是（ ）. A. （A ） B. （B ） C. （C ） D. （D ） 8．如图，是由几个相同的大小的正方体搭成的几何体从不同方向看到的形状图，该几何体最多是用（ ）个小正方体搭成的. A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 9．一个正方体的平面展开图如图所示，则正方形3的对面是正方形_________． 10．一个棱柱有21条棱，则它有_______个面． 11．如图，该图中不同的线段共有_______条. 12．如图，AB∥CD，∠1=64°，FG 平分∠EFD，则∠2=___________度． 13．如图， B 、C 、D 依次是AE 上的三点，已知8.9cm AE =， 3cm BD =，则图中以A 、B 、C 、D 、E 这5个点为端点的所有线段长度的和为_______ cm ． 14．如图，OA 的方向是北偏东15°，OB 的方向是北偏西40°，若∠AOC ＝∠AOB ，则OC 的方向是______________．
初二上几何证明题 题专题训练 好题汇编
八年级上册几何题专题训练50题 1. 如图，已知△EAB ≌△DCE ，AB ，EC 分别是两个三角形的最长边，∠A ＝∠C ＝35°，∠CDE ＝100°，∠DEB ＝10°，求∠AEC 的度数． 2. 如图,点E 、A 、B 、F 在同一条直线上,AD 与BC 交于点O, 已知∠CAE=∠DBF,AC=BD.求证： ∠C=∠D 3.如图，OP 平分∠AOB ，且OA=OB ． （1）写出图中三对你认为全等的三角形（注：不添加任何辅助线）； （2）从（1）中任选一个结论进行证明． 4. 已知：如图，AB ＝AC ，DB ＝DC ，AD 的延长线交BC 于点E ，求证：BE ＝EC 。 5. 如图，在△ABC 中，AB=AD=DC ，∠BAD=28°，求∠B 和∠C 的度数。 7. 写出下列命题的逆命题， 并判断逆命题的真假．如果是真命题，请给予证明；?如果是假命题，请举反例说明． 命题：有两边上的高相等的三角形是等腰三角形． 8. 如图，在△ABC 中，∠ACB=90o ， D 是AC 上的一点，且AD=BC ，DE AC 于D ， ∠EAB=90o ．求证：AB=AE ． 9. 如图，等边△ABC 中，点P 在△ABC 内，点Q 在△ABC 外，B ，P ，Q 三点在一条直线上，且∠ABP =∠ACQ ，BP =CQ ，问△APQ 是什么形状的三角形试证明你的结论． 10. 如图，△ABC 中，∠C=90°，AB 的中垂线DE 交AB 于E ，交BC 于D ，若AB=13，AC=5，则△ACD 的周长为多少 11. 如图所示，AC ⊥BC ，AD ⊥BD ，AD ＝BC ，CE ⊥AB ，DF ⊥AB ，垂足分别是E ，F ，求证：CE ＝DF. 12. 如图，已知△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，BE ⊥CE ，垂足为E ，AD ⊥CE ，垂足为D. (1)判断直线BE 与AD 的位置关系是____；BE 与AD 之间的距离是线段____的长； (2)若AD ＝6 cm ，BE ＝2 cm ，求BE 与AD 之间的距离及AB 的长． 13. 如图，已知 △ABC 、△ADE 均为等边三角形，点D 是BC 延长线上一点，连结CE ， 求证：BD=CE 14. 如图，△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =120°，AD ⊥AC 交BC ?于点D ，求证：?BC =3AD . 15. 如图，四边形ABCD 中，∠DAB=∠BCD=90°，M 为BD 中点，N 为AC 中点，求证：MN ⊥AC ． 16、已知：如图所示，在△ABC 中，∠ABC=45°，CD ⊥AB 于点D ，BE 平分∠ABC ，且BE ⊥AC 于点E ，与CD 相交于点F ，H 是BC 边的中点，连接DH 与BE 相交于点G ． （1）求证：BF=A C ；？ （2）求证：DG=DF ． 6. 如图，B 、D 、C 、E 在同一直线上，AB=AC ，AD=AE ，求证：BD=CE 。 B A E D C
七年级下册数学完全平方公式的认识教案
6完全平方公式 第1课时完全平方公式的认识 【知识与技能】 理解公式的本质，从不同的层次上理解完全平方公式，并会运用公式进行简单的计算，了解完全平方公式的几何背景. 【过程与方法】 经历探索完全平方公式的过程，并从推导过程中，培养学生观察、发现、归纳、概括、猜想等探究创新能力，发展逻辑推理能力和有条理的表达能力，培养学生的数形结合意识. 【情感态度】 在学习中使学生体会学习数学的乐趣，培养学习数学的信心，感受数学的内在美. 【教学重点】 1.弄清完全平方公式的来源及其结构特点，用自己的语言说明公式及其特点； 2.会用完全平方公式进行运算. 【教学难点】 会用完全平方公式进行运算. 一、情景导入，初步认知 同学们，前面我们学习了多项式乘多项式法则和合并同类项法则，你会计算下列各题吗? (x+3)2=_________________， (x-3)2=_________________， 这些式子的左边和右边有什么规律?再做几个试一试: (2m+3n)2=_________________， (2m-3n)2=_________________.
【教学说明】 让学生运用多项式乘以多项式的法则进行计算，为本节课学习完全平方公式做准备. 二、思考探究，获取新知 1.观察下列算式及其运算结果，你有什么发现？ （m+3）2 =(m+3)(m+3) =m2+3m+3m+9 =m2+6m+9 （2+3x）2=(2+3x)(2+3x) =4+2×3x+2×3x+9x2 =4+12x+9x2 2.观察上面的计算结果，回答下列问题： （1）原式的特点？两数和的平方. （2）结果的项数特点？等于它们平方的和，加上它们乘积的两倍. （3）三项系数的特点？（特别是符号的特点）. （4）三项与原多项式中两个单项式的关系.3.再举两例验证你的发现.4.你能用自己的语言叙述这一公式吗？ 【归纳结论】 两数和的平方，等于它们平方的和，加上它们乘积的两倍.即： (a+b)2=a2+2ab+b2 5.用不同的形式表示图形的总面积，并进行比较，你发现了什么？ 6.议一议：(a-b)2=？你是怎样做的？ 7.你能自己设计一个图形解释这一公式吗？并用自己的语言叙述这一公式. 【归纳结论】 两数差的平方，等于它们平方的和，减去它们乘积的两倍.即：(a-b)2=a2-2ab+b2上面的两个公式称为完全平方公式. 8.分析完全平方公式的结构特点，并用语言来描述完全平方公式. 结构特点：左边是二项式（两数和（差））的平方；右边是两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.