高二文科数学《立体几何》经典练习题(含解析)

C

(第2题图)

A 1

B 1

C 1

D 1

A

B

C D

高二文科数学《立体几何》大题训练试题

1．(本小题满分14分)

如图的几何体中，AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，△ACD 为等边三角形，

22AD DE AB ===，F 为CD 的中点．

（1）求证：//AF 平面BCE ； （2）求证：平面BCE ⊥平面CDE 。

2．(本小题满分14分)

如图，AB 为圆O 的直径，点E 、F 在圆O 上，AB ∥EF ，矩形所在的平面和圆O 所在的平面互相垂直，且2AB =，AD EF == (1)求证：AF ⊥平面CBF ；

(2)设FC 的中点为M ，求证：OM ∥平面DAF ；

(3)求三棱锥F －CBE 的体积.

3.（本小题满分14分）

如图所示，正方形ABCD 与直角梯形ADEF 所在平面互相垂直，

90ADE ∠=，DE AF //，22===AF DA DE .

(Ⅰ)求证：//AC 平面BEF ； （Ⅱ）求四面体BDEF 的体积.

4．如图,长方体1111D C B A ABCD -中，

11==AA AB ,2=AD ,E 是BC 的中点.

(Ⅰ)求证：直线//1BB 平面DE D 1； (Ⅱ)求证：平面AE A 1⊥平面DE D 1； (Ⅲ)求三棱锥DE A A 1-的体积. 5．（本题满分14分）

如图，己知BCD ?中，0

90BCD ∠=，1,BC CD AB BCD ==⊥平面，060,,AC,AD ADB E F ∠=分别是上的动点，

且AE AF

==,(0<<1)AC AD

λλ A

B C

D

F

E

B A

E

D

C

F

A C

D

图2

B

A

C

D

图

1

（1）求证：不论λ为何值，总有EF ABC;⊥平面 （2）若1

=,2

λ求三棱锥A-BEF 的体积．

6.(本小题满分13分)

如图，已知三棱锥A —BPC 中，AP ⊥PC ，AC ⊥BC ，M 为AB 的中点， D 为PB 的中点，且△PMB 为正三角形． (1)求证：DM ∥平面APC ； (2)求证： BC ⊥平面APC ；

(3)若BC ＝4，AB ＝20，求三棱锥D —BCM 的体积．

7、（本小题满分14分）

如图1,在直角梯形ABCD 中,90ADC ∠=?,//CD AB ,2,1AB AD CD ===.将

ADC ?沿AC 折起,使平面ADC ⊥平面ABC ,得到几何体D ABC -,如图2所示.

(1) 求证:BC ⊥平面ACD ；(2) 求几何体D ABC -的体积.

8、（本小题满分14分） 已知四棱锥P ABCD - (图5) 的三视图如图6所示，PBC ?为正三角形，PA 垂直底面ABCD ，俯视图是直角梯形．（1）求正视图的面积；（2）求四棱锥P ABCD -的体积；

（3）求证：AC ⊥平面PAB ；

参考答案

1．(本小题满分14分)

（1）证明：取CE 的中点G ，连结FG BG 、．

∵F 为CD 的中点，∴//GF DE 且1

2

GF DE =

． ∵AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ， ∴//AB DE ，∴//GF AB ． 又1

2

AB DE =

，∴GF AB =． …………3分 ∴四边形GFAB 为平行四边形，则//AF BG ．……………5分

∵AF ?平面BCE ，BG ?平面BCE ， ∴//AF 平面BCE ．…………7分

（2）证明：∵ACD ?为等边三角形，F 为CD 的中点，∴AF CD ⊥…………9分

∵DE ⊥平面ACD ，AF ACD ?平面，∴DE AF ⊥．……………10分 又CD DE D ?=，∴AF ⊥平面CDE ．……………………………12分 ∵//BG AF ，∴BG ⊥平面CDE ．…………………………………13分 ∵BG ?平面BCE ， ∴平面BCE ⊥平面CDE ．………………14分

2．解：（1） 平面ABCD ⊥平面ABEF ，CB AB ⊥,

平面ABCD 平面ABEF AB =，

CB ∴⊥平面ABEF ， ∵AF ?平面ABEF ，∴AF CB ⊥，……… 2分

又AB 为圆O 的直径，∴AF BF ⊥， ∴AF ⊥平面CBF . ……… 4分

（2）设DF 的中点为N ，则MN //12CD ，又AO //1

2

CD ， 则MN

//

AO ，四边形MNAO 为平行四边形，

∴//OM AN ，又AN ?平面DAF ，OM ?平面DAF ∴//OM 平面DAF . …… 8分 （3）∵BC ⊥面BEF ，∴1

3

F CBE C BEF BEF V V S BC --?==

??B 到EF 的距离等于O 到EF 的距离，

过点O 作OG EF ⊥于G ，连结OE 、OF ， ∴OEF ?为正三角形，∴OG 为正OEF ?的高， ∴OG =

=

……… 11分 B

A

E

D

C

F

G

∴1

3

F CBE C BEF BEF V V S BC --?==

?? …… 12分

1111113232EF OG BC =????=??=

。……… 14分 3、(Ⅰ)证明：设AC

BD O =，取BE 中点G ，连结OG FG ,，

所以，OG //=1

2DE …2分 因为DE AF //，AF DE 2=，所以AF //=OG ，

从而四边形AFGO 是平行四边形，AO FG //. ………4分 因为FG ?平面BEF ,AO ?平面BEF ,

所以//AO 平面BEF ，即//AC 平面BEF ………7分 （Ⅱ）解：因为平面ABCD ⊥平面ADEF ，AB AD ⊥, 所以AB ⊥平面ADEF . ………10分 因为DE AF //,90ADE ∠=,22===AF DA DE ，

所以DEF ?的面积为1

22ED AD ??=， ……12分

所以四面体BDEF 的体积

=?=

?AB S DEF 314

3. ……14分

4、(Ⅰ)证明：在长方体1111D C B A ABCD -中, 11//DD BB ，

又 ∵ ?1BB 平面DE D 1，?1DD 平面DE D 1∴ 直线//1BB 平面DE D 1 ……4分 (Ⅱ)证明：在长方形ABCD 中,∵11==AA AB ,2=AD , ∴2=

=DE AE ,∴2224AD DE AE ==+,故DE AE ⊥,………6分

∵在长方形ABCD 中有⊥1DD 平面ABCD ,?AE 平面ABCD , ∴ ⊥1DD AE , ……7分 又∵D DE DD = 1, ∴直线AE ⊥平面DE D 1,……8分

A B

C

D

F

E

而?AE 平面AE A 1,所以平面AE A 1⊥平面DE D 1. …………10分 (Ⅲ)=-D E A A V 1 =?=

?-ADE ADE A S AA V 13113

1

2121131=????.…………14分

5．(1）证明：因为AB ⊥平面BCD ，所以AB ⊥CD ，

又在△BCD 中，∠BCD = 900，所以，BC ⊥CD ，又AB ∩BC ＝B ， 所以，CD ⊥平面ABC ， …………3分 又在△ACD ，E 、F 分别是AC 、AD 上的动点， 且

(01)AE AF

AC AD λλ==<<

所以，不论λ为何值，EF//CD,总有EF ⊥平面ABC ： ………7分

（2）解：在△BCD 中，∠BCD = 900，BC ＝CD ＝1，所以，BD 又AB ⊥平面BCD ，所以，AB ⊥BD ，

又在Rt △ABD 中，,600=∠ADB ∴AB=BDtan 6600=。 ………………10分

由（1）知EF ⊥平面ABE ，

所以，三棱锥A －BCD 的体积是

24

………………14分

6、解： (1)由已知得，MD 是△ABP 的中位线，所以MD ∥AP .(2分) 因为MD ?平面APC ，AP ?平面APC ，所以MD ∥平面APC .(4分) (2)因为△PMB 为正三角形，D 为PB 的中点，所以MD ⊥PB ，(5分)

所以AP ⊥PB .(6分) 又因为AP ⊥PC ，且PB ∩PC ＝P ，所以AP ⊥平面PBC .(7分) 因为BC ?平面PBC ，所以AP ⊥BC .

又因为BC ⊥AC ，且AC ∩AP ＝A ，所以BC ⊥平面APC .(10分)

(3)因为MD ⊥平面PBC ，所以MD 是三棱锥M —DBC 的高，且MD ＝5， 又在直角三角形PCB 中，由PB ＝10，BC ＝4，可得PC ＝2.(11分) 于是S △BCD ＝21S △BCP ＝2，(12分)所以V D －BCM ＝V M －DBC ＝31

Sh ＝10.(13分)

7． 解:（Ⅰ）在图1中,可得AC BC ==

从而222AC BC AB +=,故AC BC ⊥

取AC 中点O 连结DO ,则DO AC ⊥,又面ADC ⊥面ABC ,

面ADC 面ABC AC =,DO ?面ACD ,从而OD ⊥平面ABC , ……4分 ∴OD BC ⊥又AC BC ⊥,AC OD O =,

∴BC ⊥平面ACD ……8分

另解:在图1中,可得AC BC ==从而222AC BC AB +=,故AC BC ⊥

∵面ACD ⊥面ABC ,面ACD 面ABC AC =,BC ?面ABC ,从而BC ⊥平面ACD

(Ⅱ) 由（Ⅰ）可知BC 为三棱锥B ACD -的高. BC =，1

2

ACD

S

=

……11分

所以111332B ACD V Sh -=

=?=

……13分

由等积性可知几何体D ABC - ……14分 8解：（1）过A 作//AE CD ，根据三视图可知，E 是BC 的中点， (1 分)

且1BE CE ==，1AE CD == (2 分) 又∵PBC ?为正三角形，∴2BC PB PC ===，且PE BC ⊥ ∴222

3PE PC CE =-= (3 分)

∵PA ⊥平面ABCD ，AE ?平面ABCD ，∴PA AE ⊥ (4 分)

∴2

2

2

2PA PE AE =-=，即PA = (5 分)

正视图的面积为1

22

S =

?= (6 分)

（2）由（1）可知，四棱锥P ABCD -的高PA = (7 分)

底面积为123

1222

AD BC S CD ++=

?=?= (8分)

∴四棱锥P ABCD -的体积为113332P ABCD V S PA -=

?=?= (10 分) （3）证明：∵PA ⊥平面ABCD ，AC ?平面ABCD ，∴PA AC ⊥ (11 分) ∵在直角三角形ABE 中，2

2

2

2AB AE BE =+= 在直角三角形ADC 中，2

2

2

2AC AD CD =+= (12 分) ∴2

2

2

4BC AA AC =+=,∴BAC ?是直角三角形 (13 分) ∴AC AB ⊥ 又∵AB PA A =，∴AC ⊥平面PAB (14 分)