第五章 趋势面分析汇总

第五章 趋势面分析
§1 趋势面分析的定义 §2 多项式趋势面分析 §3 调和趋势面分析(参考内容) §4 趋势面分析应用实例
§1 趋势面分析的定义
某些区域化地质变量，如地层面的深度、地层厚度、储 层油气粘度和比重、地层水矿化度、油气地表化探指标等， 均可认为其分布在三维空间的某个曲面G 上。若已知G， 则可根据它来研究这些地质变量在区域上的分布规律和局 部特征。
Q1是关于b1, b2, b3,… 的二次函数，且Q1>0，因
此有：
Q1 0 bk
(k 1, 2, , L)
(4-4)
上式中L为多项式系数及常数项的个数。
整理后可得： A B C
A X T X , B (b1 b2 bL )T , C X T Z , Z (z1 z2 zn )T
把地理坐标 (xi , yi) (i=1,2,…, n )代入上式,可得地 质变量的趋势值：
zˆi b1 b2 xi b3 yi b4 xi2 b5 xi yi b6 yi2 (4-3)
确定多项式系数的原则是使
n
Q1 (zi zˆi )2 i 1
达到最小(回归分析中的偏差平方和)。
4
趋势面分析就是在空间中已知点Mi (xi , yi , zi) 的 控制下，拟合一个连续的数学曲面，并以此研究 地质变量在区域上和局部范围内变化规律的一种 统计方法。
拟合的数学曲面叫做趋势面。多项式和付立叶 级数是趋势面分析常用的数学模型。
最常用的是多项式趋势面分析。
§ 2 多项式趋势面分析
一、多项式曲面的一般形式 一般形式为：
z
M i (xi , yi , zi )
M i (xi , yi , zi )
趋势面
实测点 实测点在趋势面上的投影
y
x
图5-1 趋势面示意图
任何一个地质变量z的观测值都是由趋势值（背景值）、 异常值和随机干扰值组成。
zi zˆi ui vi
趋势值:数据中反映总体规律的部分，即由某些地质特征 的大区域因素决定的地质变量趋势值，常用趋势面函数 表示。 局部异常值：反映局部范围的变化特征，即由局部因素引 起的地质变量的局部异常值。 随机干扰值：由各种随机因素所造成的干扰值(偏差)。
X
1 1
x1 x2
y1 y2
x12 x22
x1 y1 x2 y2
y12 x13 x12 y1 y22 x23 x22 y2
x1 y12 x2 y22
y13 y23
1 xn
yn
xn2
xn yn
yn2
xn3
xn2 yn
xn yn2
yn3
解上述L阶线性方程组，可得b1, b2, … bL， 从 而确定趋势面方程。
z 1 2 x 3 y 4x2 5xy 6 y2 (4-1)
式中 z —地质变量； x , y —观测点的地理坐标。
若多项式中自变量的最高次数为k，则称这种多 项式为k次多项式。多项式曲面的形态将随着k的 增大而趋向复杂，如图4-2所示。
z k=1
z k=2
z k=3
x
x
x
y
y
y
图4-2 1-3次多项式趋势面示意图
b3 yi
b4 xi2
b 5 xi yi
b6 yi2 )( yi2 )
12
n
n
n
n
n
n
n
b1 1 b2 xi b3 yi b4 xi2 b5 xi yi b6 yi2 zi
i 1
i 1
i 1
i 1
i 1
i 1
i 1
n
n
n
n
n
n
n
b1 xi b2 xi2 b3 xi yi b4 xi3 b5 xi2 yi b6 xi yi2 zi xi
i 1
i 1
i 1
i 1
i 1
i 1
i 1
n
n
n
n
n
n
n
b1 yi b2 xi yi b3 yi2 b4 xi2 yi b5 xi yi2 b6 yi3 zi yi
i 1
i 1
i 1
i 1
i 1
百度文库
i 1
i 1
n
n
n
n
n
n
n
b1 xi2 b2 xi3 b3 xi2 yi b4 xi4 b5 xi3 yi b6 xi2 yi2 zi xi2
实际的工作中无法得到准确的G ，但却可以根据已知的 观测数据：Mi (xi , yi , zi) (i=1,2,…,n)，构造(拟合)一个近 似于G 的数学曲面L。一般把这个拟合的曲面L称为趋势 面。
地质变量的实测数据Mi (xi , yi , zi) 分布在趋势面 上或趋势面上下，如图4-1所示。
i 1
i 1
i 1
i 1
i 1
i 1
i 1
n
n
n
n
n
n
n
b1 xi yi b2 xi2 yi b3 xi yi2 b4 xi3 yi b5 xi2 yi2 b6 xi yi3 zi xi yi
二、多项式系数的确定及系数的个数 确定多项式曲面，就是根据观测值Mi (xi , yi , zi) (i=1,2,…, n )确定多项式中的系数。
1. 多项式系数的确定 假设β1、β2、β3…的估计值为b1、b2、b3,…则近 似可得多项式趋势面方程：
zˆ b1 b2 x b3 y b4 x2 b5xy b6 y2 (4-2)
Q1
b4
n
2
i 1
( zi
b1
b2 xi
b3 yi
b4 xi2
b 5 xi yi
b6 yi2 )(xi2 )
Q1
b5
n
2
i 1
( zi
b1
b2 xi
b3 yi
b4 xi2
b 5 xi yi
b6 yi2 )(xi yi )
Q1
b6
n
2
i 1
( zi
b1
b2 xi
二维二次
n
Q1(b1, b2 , b3, b4 , b5, b6 ) （zi-zˆi）2 i 1
依据最小 二乘原理， 有
Q1 0 b1 Q1 0 b3 Q1 0 b5
Q1 0 b2 Q1 0 b4 Q1 0 b6
11
Q1
b1
n
2
i 1
( zi
b1
b2 xi
b3 yi
b4 xi2
b 5 xi yi
b6 yi2 )(1)
Q1
b2
n
2
i 1
( zi
b1
b2 xi
b3 yi
b4 xi2
b 5 xi yi
b6 yi2 )(xi )
Q1
b3
n
2
i 1
( zi
b1
b2 xi
b3 yi
b4 xi2
b 5 xi yi
b6 yi2 )( yi )