理论力学 第十四章 动荷载
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2
从上式可以看出，环内应力仅与ρ 和v有 关，而与A无关。所以，要保证圆环的强度， 应限制圆环的速度。增加截面面积A，并不能 改善圆环的强度。
图示装有飞轮的轴,飞轮的转速n=100r/min,转动惯 量I=0.5kN.m.s2.轴的直径d=100mm.刹车时使轴在 10秒内均匀减速至停止.求:轴内最大动应力 n 10 0 飞轮与轴的转动角速度: 30 3 1 0 角加速度: 10 3 角加速度与角速度方向相反, y 按动静法在飞轮上加惯性力: M d I 6 Td M d 6 6 mt 16 ( 10 )
增大静位移 st 的具体措施如：
在汽车车粱与轮轴之间安装叠板弹簧；火车车窗玻璃 与窗框之间、机器零件之间装有橡皮垫圈；以大块玻璃为 墙的新型建筑物，把玻璃嵌在弹性约束之中等等。
以上这些弹性元件不仅起了缓冲作用，而且能吸收 一部分冲击动能，从而明显降低冲击动应力。 另外，把刚性支座改为弹性支座能提高系统的静位移 值，不失为一种提高构件的抗冲击能力的良好措施。值得 注意的是，在提高静位移、减小Kd的同时，应避免提高静 应力。 对于等截面受冲拉（压）或扭转杆件，其冲击应力与 构件的体积有关。增大构件的体积，可提高构件的抗冲击 能力。对于变截面受冲杆件，上述增加体积降低冲击应力 的方法并不适用。
D (3) Y 0 2 FNd d qd sin qd D 0 2 1 A 2 D 2 FNd qd D 2 4
2、动应力的计算
FNd D D 2 d v ; (v R ) 线速度 A 4 2
2 2
强度条件： d v [ ]
l 1 l 2 1 a l M d R( b) q( ) A g (1 )( b)l 2 2 2 2 g 4
动应力:
动荷因数:
a d st (1 ) g a Kd 1 g
d K d st
-----动应力等于静应力乘以动荷因数 强度条件:
B
L/2
A
L/2
C
2h Kd 1 1 j
B
F L/2
L/2
FL j 2 48 EI C
3
F
例 已知：d1=0.3m, l = 6m, P=5kN, E1 = 10GPa, 求两种情况 的动应力。（1）H = 1m自由下落；（2）H =1m, 橡皮垫d2 = 0.15m, h= 20 mm,E2 = 8 MPa. 解：（1） P P d2 d1 h l
M max Fa st W W
于是，杆在危险点处的冲击应力 d 为
d K d st
v 2 Fa gΔst W
例12-7 已知：P=2.88kN, H=6cm; 梁： E=100GPa, I=100cm4, l=1m。柱：E1=72Gpa, I1=6.25cm4, A1=1cm2, a=1m, λP=62.8, σcr=373-2.15λ, nst=3。试 校核柱的稳定性。 解：（1）求柱的动载荷
二、构件作等角速转动时的动应力计算
一薄壁圆环平均直径为 D，壁厚为 t， 以等角速度 ω绕垂直于环平面且过圆心的 平面转动，单位体积的质量为 ρ。求圆环 横截面的动应力。 解：1、求动轴力
D (1) an R 2
2 2
D
ω
qd
D qd man A an A 2
2
dφ φ FNd FNd
动荷系数中的 st 是假设冲击物重量P沿水平 方向作用时，在冲击点沿冲击方向的静位移。
例：图示矩形截面梁，抗弯刚度为 EI，一重为 F 的重物从距 梁顶面 h 处自由落下，冲击到梁的跨中截面上。 求：梁受冲击时的最大应力和最大挠度。 b 解（1）、动荷系数 F
A
C
H
L/2
B
h
Y
B
Z
L/2
A
2H Kd 1 1 j
P P d2 d1 h l
Kd=52.3
H
d K d st 3.7MPa
d1
例：一下端固定、长度为 l 的铅直圆截面杆AB，在C点处 被一物体G沿水平方向冲击（图a）。已知C点到杆下端的距 离为a，物体G的重量为P，物体G在与杆接触时的速度为v。 试求杆在危险点的冲击应力。
解：
Pv 2 Ek 2g
h
v
P
h
根据能量守恒定律可知，冲击 物所减少的动能T和势能V，应全部 转换为弹簧的变形能 Vεd ,即 T V Vεd 其中
P h
1 T 0 V P ( h d ) Vεd Fd d 2 1 所以 P ( h d ) Fd d 2
Fd d d Fd P P st st
承受各种变形的弹性杆件都可以看作是一个弹簧。
例如：
l
l
P
l
Pl EA
P
EA l
P
O
l
B
ml GI p
Pl 48 EI
3
m
GI p l
w
l 2 l 2
f
P
48EI l3
重物P从高度为h 处自由落下, P
冲击到弹簧顶面上,然后随弹簧一 起向下运动.当重物P的速度逐渐 降低到零时,弹簧的变形达到最大 值Δd,与之相应的冲击载荷即为Fd.
b
R
R
a q A g A a A g (1 ) g q
杆件中央横截面上的动弯矩为：
Md A g a l (1 )( b)l 相应的动应力: d W 2W g 4 当加速度a等于零,即杆件在静荷载下的应力为： A g l st ( b)l 2W 4 a 动应力: d st (1 ) K d 1 a g g
2h
st
2
P h
由此可见,突加载荷的动荷系数是2,这时所引起
（2）若已知冲击开始瞬间冲击物与被冲击物
接触时的速度为v,则
v2 h 2g
v2 Kd 1 1 1 1 st g st
2h
（3）若已知冲击物自高度 h 处以初速度 v0 下落,则
P h
v v0 2 gh
Δd
1 d P( h d ) P d 2 st
d 2 st d 2h st 0
2 st 42st 8h st 2h d st (1 1 ) 2 st 2h d st ( 1 1 ) K d st
C
F L/2 1 FL K 4 d WZ
L/2
2H 96 HEI 1 1 1 1 3 FL FL3 48 EI
（3）、最大挠度
（2）、最大应力
d max K d
j max
d max K d j max
FL3 Kd 48 EI
F
A
C
h
A、B支座换成刚度为 C 的弹簧
Ep 0
Δd
B
G C v
B
C G Fd l
杆内的应变能为
1 Vεd Fd Δd 2
Fd a 3 Δd 3EI
由此得
3EI Fd 3 Δd a
a
A (a)
A
(b)
于是，可得杆内的应变能为
1 1 3EI 2 Vεd Fd Δd ( 3 ) Δd 2 2 a
B
Δst
由机械能守恒定律可得
动静法：
达朗伯原理 达朗伯原理认为 处于不平衡状态的物体,存在惯性力,惯性力 的方向与加速度方向相反,惯性力的数值等于加速度与质量的乘
积.只要在物体上加上惯性力,就可以把动力学来自百度文库题在形式上作为
静力学问题来处理,这就是动静法.
惯性力大小等于质点的质量m与加速度a的乘积,方向与a 的
方向相反,即 F= -ma
H
Pl =0.0425 mm st E1 A1
2H Kd 1 1 218 st
d1
d K d st 15.42 MPa
(2) 加橡皮垫 d2 = 0.15m, h= 20 mm,E2 = 8 MPa.
Pl Ph =0.75mm, st E1 A1 E2 A2
2
st
其中 K d 1 1
2h
Fd d Kd P st
st
为冲击动荷系数
Fd K d P
d K d st
解决冲击问题,关键在于如何确定动荷系数Kd
（1）当载荷突然全部加到被冲击物上,即 h=0 时
讨
论
Kd 1 1
的荷应力和变形的2倍.
2 2
v0 2 gh v Kd 1 1 1 1 g st g st
2
2
水平冲击:
冲击过程中系统的势能不变，V=0
1 P 2 1 2 d 则根据14.7有， v P 2g 2 st
d
v st g st
2
d Kd st
v g st
2
——水平冲击动荷系数
§14—1 动载荷概念和工程实例
一、静荷载的概念：
载荷不随时间变化（或变化极其平稳缓慢）且使 构件各部件加速度保持为零（或可忽略不计），此类 载荷为静载荷。
二、动载荷的概念：
载荷随时间急剧变化且使构件的速度有显著变化 （系统产生惯性力），此类载荷为动载荷。
例:起重机以等速度吊起重物，重物对吊索的作用为静载。 起重机以加速度吊起重物，重物对吊索的作用为动载。 旋转的飞轮、气锤的锤杆工作时、打桩均为动荷载作用。
x
A B
0
max
T WP
6 1003
md
2.67 MPa
§14—3 冲击应力分析应力
一、冲 击
一个运动的物体（冲击物）以一定的速度，撞击另 一个静止的物体（被冲击构件），静止的物体在瞬间使 运动物体停止运动，这种现象叫做冲击。
二、冲击问题的分析方法：能量法
假设—— 1、被冲击构件在冲击荷载的作用下服从虎克定律； 2、不考虑被冲击构件内应力波的传播 3、冲击过程只有动能、势能、变形能的转换，无其它能量损失。 4、冲击物为刚体，被冲击构件的质量忽略不计；
i1
Fcr n 3.3 nst Fd
柱是稳定的。
§14—4 提高构件抵抗冲击能力的措施
工程上常利用冲击进行锻造、冲压、打桩以及粉 碎等，这时就需要尽量降低冲击应力，以提高构件抗冲 击的能力。
冲击应力的大小取决于 Kd 的值，静位移st越大，动荷 系数 Kd 越小，（因为静位移st增大，表示构件柔软，因而 能更多地吸收冲击时的能量，从而降低冲击载荷和冲击应 力，提高构件抗冲击的能力）。
H L L a
P(2l ) 3 Pa st 4.9mm 48 EI 4 E1 A1
Kd 1 1 2H 6.05 st
2.88 Fd K d Fst 6.05 8.71kN 2
（2）柱的稳定性校核
I1 a 25 mm, 40 P , A1 i1 Fcr cr A1 28 .7 kN
FC
Pv 2 1 3EI 2 ( 3 ) Δd 2g 2 a
由此解得d 为 A (c)
v 2 Pa 3 v2 v2 Δd ( ) Δst Δst g 3EI g gΔst
式中，
Pa3 Δst 3EI
Δd Kd Δst
v2 gΔst
当杆在C点受水平力F作用时，杆的固定端横截面最外 缘（即危险点）处的静应力为
三、动荷载的分类
1.惯性荷载
2.冲击荷载
3.振动荷载 4.交变荷载
实验表明：在静载荷下服从虎克定律的材料，只要应力不超 过比例极限 ,在动载荷下虎克定律仍成立且 E静 = E动。
四、本章讨论的动载荷问题：
（1）构件作等加速直线运动和等速转动时的动应力计算； （2）构件在受冲击的动应力计算；
§14-2 等加速直线运动时构件的应力计算
d K d st
静载下的许用应力
Fd Kd Fst ; d Kd st ; Ld Kd Lst
由于在动荷因数中已经包含了动荷载的影响。所 σst以即为静荷载下的许用应力。同时上式也表明 动荷载强度问题也可按静荷载强度问题来处理， 只须将许用应力降至原值的分之一。
一、等加速直线运动时构件的应力计算
图示为以匀加速度a 向上提升的杆件,杆的横截面 面积为A,单位体积的质量为ρ. 杆件每单位长度的质量：A
a
b l b
惯性力为:
A（方向向下） a
R
杆件在重力、惯性力和吊装力 R 作用下组成平衡力系。
q
a q A g A a A g (1 g
从上式可以看出，环内应力仅与ρ 和v有 关，而与A无关。所以，要保证圆环的强度， 应限制圆环的速度。增加截面面积A，并不能 改善圆环的强度。
图示装有飞轮的轴,飞轮的转速n=100r/min,转动惯 量I=0.5kN.m.s2.轴的直径d=100mm.刹车时使轴在 10秒内均匀减速至停止.求:轴内最大动应力 n 10 0 飞轮与轴的转动角速度: 30 3 1 0 角加速度: 10 3 角加速度与角速度方向相反, y 按动静法在飞轮上加惯性力: M d I 6 Td M d 6 6 mt 16 ( 10 )
增大静位移 st 的具体措施如：
在汽车车粱与轮轴之间安装叠板弹簧；火车车窗玻璃 与窗框之间、机器零件之间装有橡皮垫圈；以大块玻璃为 墙的新型建筑物，把玻璃嵌在弹性约束之中等等。
以上这些弹性元件不仅起了缓冲作用，而且能吸收 一部分冲击动能，从而明显降低冲击动应力。 另外，把刚性支座改为弹性支座能提高系统的静位移 值，不失为一种提高构件的抗冲击能力的良好措施。值得 注意的是，在提高静位移、减小Kd的同时，应避免提高静 应力。 对于等截面受冲拉（压）或扭转杆件，其冲击应力与 构件的体积有关。增大构件的体积，可提高构件的抗冲击 能力。对于变截面受冲杆件，上述增加体积降低冲击应力 的方法并不适用。
D (3) Y 0 2 FNd d qd sin qd D 0 2 1 A 2 D 2 FNd qd D 2 4
2、动应力的计算
FNd D D 2 d v ; (v R ) 线速度 A 4 2
2 2
强度条件： d v [ ]
l 1 l 2 1 a l M d R( b) q( ) A g (1 )( b)l 2 2 2 2 g 4
动应力:
动荷因数:
a d st (1 ) g a Kd 1 g
d K d st
-----动应力等于静应力乘以动荷因数 强度条件:
B
L/2
A
L/2
C
2h Kd 1 1 j
B
F L/2
L/2
FL j 2 48 EI C
3
F
例 已知：d1=0.3m, l = 6m, P=5kN, E1 = 10GPa, 求两种情况 的动应力。（1）H = 1m自由下落；（2）H =1m, 橡皮垫d2 = 0.15m, h= 20 mm,E2 = 8 MPa. 解：（1） P P d2 d1 h l
M max Fa st W W
于是，杆在危险点处的冲击应力 d 为
d K d st
v 2 Fa gΔst W
例12-7 已知：P=2.88kN, H=6cm; 梁： E=100GPa, I=100cm4, l=1m。柱：E1=72Gpa, I1=6.25cm4, A1=1cm2, a=1m, λP=62.8, σcr=373-2.15λ, nst=3。试 校核柱的稳定性。 解：（1）求柱的动载荷
二、构件作等角速转动时的动应力计算
一薄壁圆环平均直径为 D，壁厚为 t， 以等角速度 ω绕垂直于环平面且过圆心的 平面转动，单位体积的质量为 ρ。求圆环 横截面的动应力。 解：1、求动轴力
D (1) an R 2
2 2
D
ω
qd
D qd man A an A 2
2
dφ φ FNd FNd
动荷系数中的 st 是假设冲击物重量P沿水平 方向作用时，在冲击点沿冲击方向的静位移。
例：图示矩形截面梁，抗弯刚度为 EI，一重为 F 的重物从距 梁顶面 h 处自由落下，冲击到梁的跨中截面上。 求：梁受冲击时的最大应力和最大挠度。 b 解（1）、动荷系数 F
A
C
H
L/2
B
h
Y
B
Z
L/2
A
2H Kd 1 1 j
P P d2 d1 h l
Kd=52.3
H
d K d st 3.7MPa
d1
例：一下端固定、长度为 l 的铅直圆截面杆AB，在C点处 被一物体G沿水平方向冲击（图a）。已知C点到杆下端的距 离为a，物体G的重量为P，物体G在与杆接触时的速度为v。 试求杆在危险点的冲击应力。
解：
Pv 2 Ek 2g
h
v
P
h
根据能量守恒定律可知，冲击 物所减少的动能T和势能V，应全部 转换为弹簧的变形能 Vεd ,即 T V Vεd 其中
P h
1 T 0 V P ( h d ) Vεd Fd d 2 1 所以 P ( h d ) Fd d 2
Fd d d Fd P P st st
承受各种变形的弹性杆件都可以看作是一个弹簧。
例如：
l
l
P
l
Pl EA
P
EA l
P
O
l
B
ml GI p
Pl 48 EI
3
m
GI p l
w
l 2 l 2
f
P
48EI l3
重物P从高度为h 处自由落下, P
冲击到弹簧顶面上,然后随弹簧一 起向下运动.当重物P的速度逐渐 降低到零时,弹簧的变形达到最大 值Δd,与之相应的冲击载荷即为Fd.
b
R
R
a q A g A a A g (1 ) g q
杆件中央横截面上的动弯矩为：
Md A g a l (1 )( b)l 相应的动应力: d W 2W g 4 当加速度a等于零,即杆件在静荷载下的应力为： A g l st ( b)l 2W 4 a 动应力: d st (1 ) K d 1 a g g
2h
st
2
P h
由此可见,突加载荷的动荷系数是2,这时所引起
（2）若已知冲击开始瞬间冲击物与被冲击物
接触时的速度为v,则
v2 h 2g
v2 Kd 1 1 1 1 st g st
2h
（3）若已知冲击物自高度 h 处以初速度 v0 下落,则
P h
v v0 2 gh
Δd
1 d P( h d ) P d 2 st
d 2 st d 2h st 0
2 st 42st 8h st 2h d st (1 1 ) 2 st 2h d st ( 1 1 ) K d st
C
F L/2 1 FL K 4 d WZ
L/2
2H 96 HEI 1 1 1 1 3 FL FL3 48 EI
（3）、最大挠度
（2）、最大应力
d max K d
j max
d max K d j max
FL3 Kd 48 EI
F
A
C
h
A、B支座换成刚度为 C 的弹簧
Ep 0
Δd
B
G C v
B
C G Fd l
杆内的应变能为
1 Vεd Fd Δd 2
Fd a 3 Δd 3EI
由此得
3EI Fd 3 Δd a
a
A (a)
A
(b)
于是，可得杆内的应变能为
1 1 3EI 2 Vεd Fd Δd ( 3 ) Δd 2 2 a
B
Δst
由机械能守恒定律可得
动静法：
达朗伯原理 达朗伯原理认为 处于不平衡状态的物体,存在惯性力,惯性力 的方向与加速度方向相反,惯性力的数值等于加速度与质量的乘
积.只要在物体上加上惯性力,就可以把动力学来自百度文库题在形式上作为
静力学问题来处理,这就是动静法.
惯性力大小等于质点的质量m与加速度a的乘积,方向与a 的
方向相反,即 F= -ma
H
Pl =0.0425 mm st E1 A1
2H Kd 1 1 218 st
d1
d K d st 15.42 MPa
(2) 加橡皮垫 d2 = 0.15m, h= 20 mm,E2 = 8 MPa.
Pl Ph =0.75mm, st E1 A1 E2 A2
2
st
其中 K d 1 1
2h
Fd d Kd P st
st
为冲击动荷系数
Fd K d P
d K d st
解决冲击问题,关键在于如何确定动荷系数Kd
（1）当载荷突然全部加到被冲击物上,即 h=0 时
讨
论
Kd 1 1
的荷应力和变形的2倍.
2 2
v0 2 gh v Kd 1 1 1 1 g st g st
2
2
水平冲击:
冲击过程中系统的势能不变，V=0
1 P 2 1 2 d 则根据14.7有， v P 2g 2 st
d
v st g st
2
d Kd st
v g st
2
——水平冲击动荷系数
§14—1 动载荷概念和工程实例
一、静荷载的概念：
载荷不随时间变化（或变化极其平稳缓慢）且使 构件各部件加速度保持为零（或可忽略不计），此类 载荷为静载荷。
二、动载荷的概念：
载荷随时间急剧变化且使构件的速度有显著变化 （系统产生惯性力），此类载荷为动载荷。
例:起重机以等速度吊起重物，重物对吊索的作用为静载。 起重机以加速度吊起重物，重物对吊索的作用为动载。 旋转的飞轮、气锤的锤杆工作时、打桩均为动荷载作用。
x
A B
0
max
T WP
6 1003
md
2.67 MPa
§14—3 冲击应力分析应力
一、冲 击
一个运动的物体（冲击物）以一定的速度，撞击另 一个静止的物体（被冲击构件），静止的物体在瞬间使 运动物体停止运动，这种现象叫做冲击。
二、冲击问题的分析方法：能量法
假设—— 1、被冲击构件在冲击荷载的作用下服从虎克定律； 2、不考虑被冲击构件内应力波的传播 3、冲击过程只有动能、势能、变形能的转换，无其它能量损失。 4、冲击物为刚体，被冲击构件的质量忽略不计；
i1
Fcr n 3.3 nst Fd
柱是稳定的。
§14—4 提高构件抵抗冲击能力的措施
工程上常利用冲击进行锻造、冲压、打桩以及粉 碎等，这时就需要尽量降低冲击应力，以提高构件抗冲 击的能力。
冲击应力的大小取决于 Kd 的值，静位移st越大，动荷 系数 Kd 越小，（因为静位移st增大，表示构件柔软，因而 能更多地吸收冲击时的能量，从而降低冲击载荷和冲击应 力，提高构件抗冲击的能力）。
H L L a
P(2l ) 3 Pa st 4.9mm 48 EI 4 E1 A1
Kd 1 1 2H 6.05 st
2.88 Fd K d Fst 6.05 8.71kN 2
（2）柱的稳定性校核
I1 a 25 mm, 40 P , A1 i1 Fcr cr A1 28 .7 kN
FC
Pv 2 1 3EI 2 ( 3 ) Δd 2g 2 a
由此解得d 为 A (c)
v 2 Pa 3 v2 v2 Δd ( ) Δst Δst g 3EI g gΔst
式中，
Pa3 Δst 3EI
Δd Kd Δst
v2 gΔst
当杆在C点受水平力F作用时，杆的固定端横截面最外 缘（即危险点）处的静应力为
三、动荷载的分类
1.惯性荷载
2.冲击荷载
3.振动荷载 4.交变荷载
实验表明：在静载荷下服从虎克定律的材料，只要应力不超 过比例极限 ,在动载荷下虎克定律仍成立且 E静 = E动。
四、本章讨论的动载荷问题：
（1）构件作等加速直线运动和等速转动时的动应力计算； （2）构件在受冲击的动应力计算；
§14-2 等加速直线运动时构件的应力计算
d K d st
静载下的许用应力
Fd Kd Fst ; d Kd st ; Ld Kd Lst
由于在动荷因数中已经包含了动荷载的影响。所 σst以即为静荷载下的许用应力。同时上式也表明 动荷载强度问题也可按静荷载强度问题来处理， 只须将许用应力降至原值的分之一。
一、等加速直线运动时构件的应力计算
图示为以匀加速度a 向上提升的杆件,杆的横截面 面积为A,单位体积的质量为ρ. 杆件每单位长度的质量：A
a
b l b
惯性力为:
A（方向向下） a
R
杆件在重力、惯性力和吊装力 R 作用下组成平衡力系。
q
a q A g A a A g (1 g