《函数的单调性》优质课比赛新授课讲课教案

课题：§1.3.1函数的单调性

教学目的：

（1）通过已学过的函数，学会运用函数图象理解和研究函数的性质；

（2）理解函数的单调性的定义及单调函数的图象特征；

（3）能够熟练应用定义判断函数在某一区间上的的单调性；

（4）通过本节知识的学习，培养学生严密的逻辑思维能力，用运动变化、数形结合、分类讨论的思想方法去分析和处理问题，以提高学生的思维品质；同时让学生体验数学的艺术美，养成用辨证唯物主义的观点看待问题.

教学重点：函数单调性的定义及单调函数的图象特征．

教学难点：利用函数的单调性的定义判断或证明函数的单调性．

教法与学法：启发式教学，充分发挥学生的主体作用．

教学用具：黑板、计算机多媒体、投影仪

教学过程：

一．情景引入：

1．在第23届奥运会上中国首次参加就获得15枚金牌，第24届奥运会中国获得5枚金牌，第25届和第26届奥运会中国都获得了16枚金牌，第27届奥运会中国获得了28枚金牌，第28届奥运会中国获得了32枚金牌，第29届北京奥运会中国获得51枚金牌的好成绩. 画出散点图，由图象很清晰的可以看到，从1996年第26届奥运会开始，中国所获得的金牌数不断增加，这充分说明了我们祖国的繁荣富强也大大的促进了体育事业的飞速发展.

2．德国著名心理学家艾宾浩斯的研究数据：

将表中数据绘制在坐标系中连出草图，这就是著名的艾宾浩斯记忆遗忘曲线. 观察这条曲线，你能得出什么规律呢？（学生回答）

这是一条衰减曲线，随着时间的推移，记忆的保持量逐渐减小. 第一天遗忘的速度最快，一天之后遗忘的速度趋于缓慢. 这一规律就提醒我们：在学习新知识的时候，一定要及时进行复习和巩固，以便加深理解和记忆.

象这样，在生活中，我们关心很多数据的变化，了解这些数据的变化规律，对我们的生活是很有帮助的. 观察数据的方法往往是看：随着自变量的变化，函数值是如何变化的. 这就是我们今天要研究的函数的单调性.

二．学习新课：

观察下列函数的图象,回答当自变量x 的值增加时,函数值f (x )是如何变化的？（学生回答）

（1）函数()1f x x =+的图象从左到右上升,即当x 增大时f (x ) 随着增大,所以称函数

1()x f x =+在R 上是增函数. （2）函数2()f x x =在对称轴y 轴的左侧下降、右侧上升，即在区间(-∞,0]上当x 增大时f (x ) 随着减小，在区间（0,+∞)上当 x 增大时f (x )随着增大. 所以称函数2()x

f x =在(-∞,0] 上是减函数，在（0,+∞)上是增函数. 那么如何用数学语言来描述增函数与减函数呢？ 考察函数2

()f x x =在（0,+∞)上任取x 1、x 2 ,则112 ()f x x =，222 ()f x x =，对任意0

12x x < ，所以在区间（0,+∞)上，对任意x 1

2 ()f x x =在区间（0,+∞)上是增函数. 由此归纳出增函数的定义，类似地得出减函数的定义（学生讨论、回答）.

定义：一般地，设函数f (x )的定义域为I:

如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值x 1、x 2 ，当12x x <时，都有12()()f x f x <，那么就说函数f (x )在区间D 上是增函数. 如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值x 1

、x 2 ，当12

x x <时，都有12()()f x f x >，那么就说函数f (x )在区间D 上是减函数. 分析定义可得：

（1）增函数的图象从左到右上升，减函数的图象从左到右下降.

（2）x 1、x 2的三大特征：①属于同一区间；②任意性； ③有大小：通常规定x 1

根据定义判断：函数

1

()x f x =在(-∞,0)和(0，+∞)上都是减函数.

问：能否说函数1()x f x =

在区间(-∞,0)∪(0，+∞)上也是减函数？ 答：不能. 因为不是对任意的x 1、x 2 ，当12

x x <时，都有12()()f x f x >.

如果函数y=f (x )在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数y=f (x )在区间D 上具

2

(2)()f x x

=(1)()1

f x x =+o x

y -1 1

1

有(严格的)单调性，区间D 叫做函数f (x )的单调区间.

三．概念应用：

例

1．如图

y=f (x )的图象，

函数是增函数还是减函数？（学生活动）

解：函数y =f (x )的单调区间有其中y=f (x )在区间[-5, -2）,[1，3)上是减函数； 在区间[-2，1)，[3，5]上是增函数. 注意：（1）在书写时区间与区间之间用逗号隔开，不能用集合中的“∪”连接.

（2）因为孤立的点没有单调性，所以区间端点处若有定义写开写闭均可.

例2．证明函数

()23f x x =-+在R 上是单调减函数.（学生分组讨论、分别演板展示）

证明：设x 1、2是R 上任意两个值，且12x x <， 则12121()()(23)(23)2(f x f x x x x -=-+--+=-∵1212, 0,x x x x <-<∴ 2)0x -> ∴12()()0, f x f x ->即12()()f x f x > ∴函数

()23f x x =-+在R 上是单调减函数. 总结证明函数单调性的步骤： 1.设值:设任意x 1、x 2属于给定区间，且12x x <；2.作差变形:差12()()f x f x -变形的常用方法有: 3.判断差符号:确定12()()f x f x -的正负； 四．课堂练习： 证明函数

()k

f x x =（k 为负的常数）在区间（0,+∞）上是增函数.（学生演练） 五．课堂小结

1.增函数、减函数的定义；

2.图象法判断函数的单调性：增函数的图象从左到右上升，减函数的图象从左到右下降.

3.（定义法）证明函数单调性的步骤: 六．布置作业

1.课本39页A 组第1、2、3题.

2.4() , [1 , 5]

f x x x x =+∈

设值 作差变形 判断差符号 作差变形 下结论

设值