一阶导数及应用

的渐近线有 4 条
11
第二讲
一阶导数应用
4 证明不等式 （1）利用中值定理（R，L）； （2）利用函数单调性； （3）利用最值； （4）引入辅助函数把常值不等式变成函数不等式； （5）利用函数凹凸性； （6）利用泰勒公式。 即 例1 当 0 a b 由拉格朗日中值定理 (a, b) 可导， 证： 设 y ln x ， 在 [a , b] 连续， ∵ ∴
31
第一讲 函数极限
3、间断点
第一类间断点 (左,右极限 都存在)
左极限右极限 跳跃间断点跳跃间断点，不可去
间 断 点

f x 不存在 补充定义 0 使，f x 0 lim f x 可去 x x 0 右极限=右极限 f x0 lim f ( x)，改变定义 x x x 使 f x 0 lim f ，可去
xe
ln 2e n ln 2 n f ( x ) lim lim 1 n n n n
0xe x e lim f ( x ) lim f ( x ) f (e) 1
x e x e
1 f (x) ln x
f ( x )在(,)连续
在 x0 点处
A
A、取得极大值
B、取得最小值
C、在x0 某邻域内单增
D、在 x0 某邻域内单减
3
第三讲 ：一阶导数及应用
例2：已知函数f x 对一切 x 满足 xf 如 f / x0 0 x0 0 ，则
A、 f x0 是 f x 的极小值
//
x 3 x f x
②
判别方法 P195，ⅰ 导数变号。
ⅱ
//
f (x 0 ) 0 f x0 0 ， f (x 0 ) 0
极小值 极Biblioteka Baidu值
2
第三讲 ：一阶导数及应用
例1：设 y f x 满足关系式
f / x0 0，则 f x
y // 2 y / 4 y 0，且 f x 0
f / ( x)
x 1 x
f ( x ) 单增，当 x 0
f ( x ) f (0) 0
∴
ln(1 x )
x 1 x
13
第二讲
例3、当 x 0
f ( x) 0
/
2
一阶导数应用
证明
x 2 1 ln x
2x2 1 f ( x) x
/
证： 令 f ( x) x 1 ln x ( x 0)
8
第二讲
例1 设
/
一阶导数应用
x
2
3 x 1 f x
，试讨论 f x 的性态。
6(x - 1) f (x) x4
//
(x - 1)2 (x 2) f (x) , 3 x
f / (x) 0
x 1,
x -2,
f // (x) 0,
x1
9
第二讲
x (-∞,-2) y’ y’’ y + 单调增 下凹
(2)
x x 0
lim f x f x 0
y
y=f(x)
y
}Δ y
0 x0 x0+Δ x
x
0
x0
x 0 +Δ x
x
即满足：
I
f x 0 存在
ii
xx0
lim f x
存在
iii
x x 0
lim f x f x 0 存在
28
第一讲 函数极限
2、基本结论 (1) 连续函数的和、差、积、商（分母不为零）仍为连续函数； (2) 连续函数复合函数仍连续； (3) 初等函数在其有定义的区间内是连续的。 (4) 单调连续函数的反函数也连续。 例1 设
0
x x 0
第二类间断点：左,右极限至少有一个不存在(无穷、振荡等)
32
第一讲 函数极限
例1 x=0是 f( x)
2 1 e x
1

sinx 的（B）间断点 x
A、跳跃
B、可去
C、无穷
D、振荡
∵
lim f( x) lim
x 0 x 0
2
1 x
1 e 1 sinx lim f( x) lim 0 1 1 1 x 0 x 0 x x 1 e
x 1 2
驻点唯一，
∵
f // ( x ) x
∴ f(
1 ) 2 1 f( ) 2
x0
1 0 2 x
极小 为最小值
1 3 1 f ( x) f ln 2 0 2 2 2
即
14
第二讲
一阶导数应用
例1 P91 ， 习题22 0 x 1 p1 当 证明 证: 令
2 1 16 / 2 S (x) (3x 8 - 2 ) ，令 S (x) 0 x 4 x 3 2 2 8 // S ( )0 ∴ x , y 3 3 3
/
（唯一）
故： (
2 8 ，) 为所求点。 3 3
7
第二讲
一阶导数应用
3、曲线的凹凸、拐点及渐近线（P196） // f 在I上 f x 可导。 如 x 0 0 则曲线 y f x 是凹 （凸）的,在连续曲线上凹凸部分的分界点 称为曲线 // // x 不存在的点 f f x 0 的拐点。可能的拐点 和
x 0
在定义域内是否连续
n x x ln e n (1 n ) n ln(1 ( ) n ) e lim e f ( x ) lim 1 n n n n
xe
e e ln x n (1 ) n n ln x ln(1 ( ) n ) x lim x f (x) lim ln x n n n n
ln


ln x x
x e ，f / x
当
∴
即
1 ln x 0 2 x ln ln
xe 时

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第二讲
一阶导数应用
例：设 f x 在 0, c 上可导，且 f / x 单调减，f 0 0 证明： f a b f a f ， b 0 a b a b 证： 令 F x f x a f x f a
f / (x) 1 lim x 0 sin x 2
，则 f 0 是 f x 的极大值。
5
第三讲 ：一阶导数及应用
2、函数的最大值与最小值 （1）求出 a，b内可能的极值点，不需判别极大还是极小， 求出它们的函数值，再与端点的函数值进行比较， 其中最大的（小）为最大（小）值。 (2) 在 a，b 内可能极值点唯一，如是极小值则为最小值； 如是极大值则为最大值； (3) 如 f 0( 0), f (a) f (b) 分别为最小, 最大值
工程硕士复习
上海交通大学应用数学系 张忆
1
第三讲 ：一阶导数及应用
1、函数的极值 P195 ① 定义：如在 x0 邻域内，恒有 f x f x0 ， f x f x0 ，
则 称 f x0 为函数 f x 的一个极大（小）值。 可能极值点， f / x 不存在的点与 f / x 0 的点。（驻点） 驻点 ←极值点
即
F b F 0 0
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19
20
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第一讲
函数极限
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第一讲
函数极限
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第一讲
函数极限
24
第一讲
函数极限
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第一讲
函数极限
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第一讲 函数极限
27
第一讲 函数极限
三、连续 1、定义
(1) Δ x 0
y f x 在 x x 0 处的连续性
Δy 0
lnb lna 1 ba a b
ba b ba ln ，试证： b a a
1 ln b ln a 1 b ba a
，即
lnb lna
1

(b a )
1 ln b ln a 1 b ba a
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第二讲
一阶导数应用
x ln(1 x ) x 1 x
/
2
1 ex
A
B、 f x0 是 f x 的极大值
C、 x0 、f x0 是曲线的拐点
x0、f x0 不是 y f x 的拐点 D、 f x0 不是 f x 的极值，
4
第三讲 ：一阶导数及应用
例3：设函数f x 在 x 0 的某邻域内可导，且 f / 0 0，
当
2 最大值为 1 ,最小值为
1 p 1 , 1 p1 → f x 在
0,1 上
21 p
15
∴
2
1 p
x 1
p
p2
1
第二讲
证明：即 证 设
f x
f x 单减
一阶导数应用
ln
例1 设 e ，证明
2
设
/
1 p
f x x 1 x
p
x 1 x 1
p p
p
p1
0 x 1
f / x px p1 p1 x
f x 0,
x 1 2
驻点唯一
1 1 f p1 21 p 2 2
f 0 f 1 1
A.、ln 2 B、0 C、2
x 1 x1
______ ________
D、任意实数
例4
f (x)在x 1 连续，且
lim
f (x) 2 1，则f (1) =_______ x 1 x 1
A、1
B、2
C、3
D、0
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第一讲 函数极限
例5 讨论 解：当
0xe
ln(e n x n ) f ( x) lim n n
F / x f / x a f / x
∵
单调减 / / ， ， x f x a f x a x a0
f / x
∴ F / x 0 即 F x 单调减 fx 0 , b ， f a b f a f b
一阶导数应用
-2 0 (-2,0) 27 4
0
间 断
(0,1) + 单增 下凹
1 0 0
拐点 (1,0)
(1,+ ∞) + +
单增 上凹
极大值
f 2
单减 下凹
渐近线
如
limf(x) a
x
则称
y a 为水平渐近线
limf(x) 则称 x x0 为垂直渐近线 如x x
e 2x 1 f x x 2 acosx x
x 2 3x 10 x2 f x A
,
x0 x0
在（­∞，+∞）连续，则a=2
例2 设
x2 , x2
则当A=7时f(x)在x=2连续
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第一讲 函数极限
例3
3 sin(x 1) f (x) x 1 2 ax ax e e 1 在 (, ) 连续，则 a =
f / ( x) 1 1 0 1 x
例2、设 x 0 ，证明
证： 设 f ( x ) x ln(1 x )
f ( x)
单增，当 x 0 ∴ x ln(1 x )
1 1 0 2 1 x (1 x )
f ( x ) f (0) 0
设
f ( x ) ln(1 x )
(4) 实际问题据题意可不判别。
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第三讲 ：一阶导数及应用
2 y 4 x 例1 在抛物线 上的第一象限部分求一点P， 过P点作
切线，使该切线与坐标轴所围成的三角形 面积最小。 解：设切点为 P x，y ，切线方程为 Y 4 x 2 xX x
2
即
X Y 1 ∴ 三角形面积： 2 2 x 4 x 4 2x 1 (x 2 4)2 1 3 16 S (x) (x 8x ), 0 x 2 2 2x 4 x
0
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第二讲
例2 求y
2x 1 ( x 1) 2
一阶导数应用
渐近线（斜渐近线不讨论） ∴ ∴
y0
x 1
解： ∵ ∵
lim lim
2x 1 0 x ( x 1) 2
为水平渐近线 为垂直渐近线
2x 1 x 1 ( x 1) 2
例
曲线
y
xx ( x 1)( x 2)