极限的四则运算
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1.3.1极限的四则运算
一、极限运算法则
定理1lim (),lim (),f x A g x B ==设则
(1)lim[()()];f x g x A B ±=±(2)lim[()()];f x g x A B ⋅=⋅()(3)lim
,0()f x A
B g x B
=≠其中 推论 1 ).(lim )](lim [,,)(lim x f c x cf c x f =则为常数而存在如果即：常数因子可以提到极限记号外
面.
推论2.)]([lim )](lim [,,)(lim n n x f x f n x f =则是正整数而存在如果
定理2 （复合函数的极限）
. )(lim ))((lim , )(lim , )( ),(U ˆ
, )(lim , )( )( ))(( 0
00a u f x f a u f u x x u x x u u f y x f y u u x x u u x x ===≠====→→→→ϕϕδϕϕϕ则又有内去心邻域且在若复合而成及是由设
二、求极限方法举例
常见方法：a.多项式与分式函数代入法求极限; b.消去零因子法求极限;
c.无穷小因子分出法求极限;
d.利用无穷小运算性质求极限;
e.利用左右极限求分段函数极限.
（一）多项式与分式函数代入法求极限
则有设,)(.1110n n n a x a x a x f +++=-
n n x x n x x x x a x a x a x f +++=-→→→ 110)lim ()lim ()(lim 0
).(0x f =
则有且设,0)(,)()()(.20≠=x Q x Q x P x f )(lim )(lim )(lim 0
00x Q x P x f x x x x x x →→→=
)()(0
x Q x P =).(0x f = .,0)(0则商的法则不能应用若=x Q
例1 ).53(lim 22
+-→x x x 求
解：)53(lim 22
+-→x x x 5lim 3lim lim 2
2
22
→→→+-=x x x x x 5lim lim 3)lim (2
2
22
→→→+-=x x x x x 52322+⋅-=.3=
例2 求.35123lim 2232+-++-→x x x x x x 解：35123lim 2232+-++-→x x x x x x 3
1
63252122223223-=+⋅-++⋅-⋅=
n
n n a x a x a +++=- 1
100
例3 求)141
35115131(lim 2-++++
∞
→n n 解：=-+=-)12)(12(1141 2n n n ⎪⎭
⎫ ⎝⎛+--12112121n n
)
12)(12(1
75153131114135115131 2+-+⋅+⋅+⋅=-++++∴n n n
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=
121121
7151513131121n n ⎪⎭
⎫
⎝⎛+-=121121n . 2
1121121lim )14135115131(lim 2=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=-++++∞→∞→n n n n 例4 ).21(
lim 222n
n
n n n +++∞→ 求 解：当．是无限多个无穷小之和时,∞→n 先变形再求极限. 222221lim )21(lim n n n n n n n n +++=+++∞→∞→ 2
)
1(21
lim n n n n +=∞→)11(21lim n n +=∞→.21= (二))0
(型消去零因子法求极限
消去零因子法：（1）因式分解；（2）有理化法；（3）变量替换法 （1）因式分解
例1 .321lim 2
21-+-→x x x x 求 )0
(型 解：.,,1分母的极限都是零分子时→x .)1(后再求极限因子先约去不为零的无穷小-x
)1)(3()1)(1(lim 321lim 1221-+-+=-+-→→x x x x x x x x x 31lim 1++=→x x x .2
1
= 练习：求h
x h x h 330)(lim -+→
解：原式=h
x x h x h x x h x h ]
)())[((lim
220++++-+→])()[(lim 220x x h x h x h ++++=→23x = （2）有理化法，将分子或分母有理化，约去极限为零的因式。 例2 . 2
23
25lim
2
--+→x x x 求 解： . , 0)22(lim 2
故不能直接用公式计算
由于=-→x x )
22)(22)(325()
22)(325)(325(lim
22325lim
22
+-+++++-+=--+→→x x x x x x x x x x )42)(325()
22)(42(lim
2-+++-=→x x x x x . 3
2)325(lim )22(lim 32522lim 2
22=+++=+++=→→→x x x x x x x 练习：求x
x x x --+→11lim
⎪⎭
⎫ ⎝⎛00