存在唯一性定理

上 续 并 对 满 Lipschitz条 : 连 , 且 y 足 件
则 值 题 3.1)在 间x − x0 ≤ h上 解 在 唯 , 初 问 ( 区 的 存 且 一
b 这里h = m a, ), M = Max f (x, y) in( ( x, y)∈R M
证明思路
(1) 初值问题 初值问题(3.1)的解等价于积分方程 的解等价于积分方程
x0
x
这 要 ϕn (x) − y0 ≤ b, 里 求
若ϕn+1(x) = ϕn (x), 则ϕn (x)为解 ,
否则一直下去可得函数列 ϕn (x)} {
(逐步求 逐步求(3.5)的解 逐步逼近法) 的解,逐步逼近法 的解
(3)函数序列 {ϕn (x)}在 [x0 , x0 + h] 上一致收敛于 ϕ(x). 函数序列 这是为了
法知，级数 上一致收敛， 法知，级数(3.9)在 [x0 , x0 + h] 上一致收敛，因而函数 在 序列 {ϕn ( x)} 在 [x0 , x0 + h]上一致收敛 上一致收敛.
n−1
现设
lim ϕn (x) = ϕ(x),
n→∞
x0 ≤ x ≤ x0 + h,
则由ϕn (x)}在 x0 , x0 + h]的连续性和一致收敛性得 { [ ,
函数列 fn (x)}, ( fn (x) = f (x,ϕn (x))) { 在 x0 , x0 + h]上一致收敛于函数f (x,ϕ(x)), [
因 对 3.7)两 取 限 得 此 ( 边 极 ,
lim ϕn (x) = y0 + lim ∫x f (ξ,ϕn−1(ξ ))dξ n→∞
n→∞
0
x0
x
在区 I上恒成立 则称y = ϕ(x)为该积分方程的解 间 , .
命题1 命题
y = y0 + ∫ f (t, y)dt
x0
dy = f (x, y) 初值问题(3.1)等价于积分方程 dx 初值问题 等价于积分方程 (3.1) y(x0 ) = y0 x
(3.5)
证明: 若 = ϕ(x)为 3.1 的 续 ,则 证明 y ( ) 连 解
方便 往往取ϕ0 (x) = y0的常数值 , .
问题:这样构造的函数列是否行得通 问题 这样构造的函数列是否行得通, 即上述的积分 这样构造的函数列是否行得通 是否有意义? 是否有意义
命题2 命题 对于所有 和 ∈[x0 , x0 + h],ϕn (x)连续且满足 n x
ϕn (x) − y0 ≤ b,
limϕn+1(x) = y0 + lim∫ f (ξ,ϕn (ξ ))dξ
n→∞
x
= y0 + ∫ lim f (ξ,ϕn (ξ ))dξ
即
n→∞ x0 x
ϕ(x) = y0 + ∫ f (ξ,ϕ(ξ ))dξ,
x0
x
x0 n→∞
只 函 列 f (x,ϕn (x))}在 x0 − h, x0 + h]上 需 数 { [ 一 致 敛 f (x,ϕ(x)). 收 于
x
0
0
≤ M x − x0 ≤ Mh ≤ b.
时成立， 设命题 2 当 n = k +1 时成立， 从而命题 2 对所有 n 都成立. 都成立
命题3 命题 函数序列 ϕn (x)}在 x0 , x0 + h]上一致收敛 { [ .
记lim ϕn (x) = ϕ(x), x ∈[x0 , x0 + h].
y =0
的解， 过点 ( 0, 0 ) 而定义于区间 0 ≤ x ≤ 1 的解，
0 ≤ x ≤ c, 0, y= 2 ( x − c ) , c ≤ x ≤ 1 的任一数. 这里 c是满足 0 < c < 1 的任一数
需解决的问题： 需解决的问题：
dy = f (x, y) 的解是否存在？ 1 初值问题 dx y(x0 ) = y0 dy = f (x, y) 2 初值问题 dx 的解若存在， 的解若存在，是否唯一？ y(x0 ) = y0
一个连续解 则ϕ(x) =ψ (x), x ∈[x0 , x0 + h]. ,
如: y = e + ∫ y(t)dt, 就 一 简 的 分 程 是 个 单 积 方 .
x 0 x
积分方程的解
对于积分方 y = y0 + ∫ f (t, y)dt, 如果存在定 程 义在区间
x0 x
数 I = [α, β]上的连续函 y = ϕ(x), 使得
ϕ(x) = y0 + ∫ f (t,ϕ(t))dt
n→∞
证明: 证明 考虑函数项级数
ϕ0 (x) + ∑(ϕn (x) −ϕn−1(x)), x ∈[x0 , x0 + h], (3.9)
n= n=1
∞
它的前n项部分和为 它的前 项部分和为
Sn (x) = ϕ0 (x) + ∑(ϕk (x) −ϕk−1(x)) = ϕn (x),
n
于是 ϕn (x)}一致收敛性与级数(3.9)一致收敛性等价 { .
反之 若 = ϕ(x)为 3.5)的 续 ,则 y ( 连 解 有
ϕ(x) = y0 + ∫ f (t,ϕ(t))dt
x0
x
由 f (x, y)在 上 续 从 f (t,ϕ(t))连 , 于 R 连 , 而 续
故对上式两边求导,得 故对上式两边求导 得
dϕ(x) = f (x,ϕ(x)) dx x0 且 ϕ(x0 ) = y0 + ∫ f (x,ϕ(x))dx = y0
§3.1 解的存在唯一性定理与逐步 逼近法
一 、存在唯一性定理 1. 定理 考虑初值问题 定理1
dy = f (x, y) , (3.1) dx y(x0 ) = y0 其 f (x, y)在 形 域R : x − x0 ≤ a, y − y0 ≤ b, (3.2) 中 矩 区
x0
x
若ϕ1(x) = ϕ0 (x), 则ϕ0 (x)为解 否则将ϕ1(x)代入(3.5) , 右侧的y, 得
ϕ2 (x) = y0 + ∫ f (ξ,ϕ1(ξ ))dξ
x0
x
若ϕ2 (x) = ϕ1(x), 则ϕ1(x)为解 否则将ϕ2 (x)代入(3.5) , 右侧的y,⋯ ⋯
ϕn+1(x) = y0 + ∫ f (ξ,ϕn (ξ ))dξ,
x
= y0 + ∫ lim f (ξ,ϕn−1(ξ ))dξ
x
即
x0 n→∞ x
ϕ(x) = y0 + ∫x f (ξ,ϕ(ξ ))dξ
0
故ϕ(x)是积分方程(3.5)定义于 x0 , x0 + h]上连续解 [ .
ψ ( [ 命题5 命题 设 (x)是积分方程 3.5)定义于 x0 , x0 + h]上的
ϕ0 (x) + ∑(ϕn (x) −ϕn−1(x)),
n=1
∞
在 x0 − h, x0 + h]上一致收敛性 [ .
(4)
ϕ(x)是积分方程(3.5)定义于 [x0 − h, x0 + h] 上连续 是积分方程 定义于
唯一解
首先给出积分方程的定义 下面分五个命题来证明定理， 下面分五个命题来证明定理， 如果一个数学关系式中含有定积分符号且在定积分符 号下含有未知函数, 则称这样的关系式为积分方程. 号下含有未知函数 则称这样的关系式为积分方程
常微分方程
Ordinary Differential Equation
第三章 一阶微分方程的解的存在定理
dy 里卡蒂方程) 的解. 里卡蒂方程 = x2 + y2 的解 (里卡蒂方程 例1 考虑方程 dx dy = 2 y 过点 ( 0, 0 ) 的解 的解. 例2 考虑方程 dx
解 y=x 或
2
x0
x
ML 2 ≤ L∫ M(ξ − x0 )dξ = (x − x0 ) x0 2
x
设 于 整 n, 有 等 对 正 数 不 式 MLn−1 ϕn (x) −ϕn−1(x) ≤ (x − x0 )n , n! 则当x0 ≤ x ≤ x0 + h时由Lipschitz条件有 , ϕn+1(x) −ϕn (x)
y = y0 + ∫ f (t, y)dt
的连续解. 的连续解
x0
x
(3.5)
(2) 构造 构造(3.5)近似解函数列 { n (x)} 近似解函数列 ϕ
任 一 续 数ϕ0 (x), ϕ0 (x) − y0 ≤ b, 代 (3.5) 取 连 函 入 右 的 ,得 侧 y
ϕ1(x) = y0 + ∫ f (ξ,ϕ0 (ξ ))dξ
x0
即 = ϕ(x)为 3.1)的 续 . y ( 连 解
Hale Waihona Puke 构造Picard逐步逼近函数列 逐步逼近函数列 构造
x ϕn (x) = y0 + ∫ f (ξ,ϕn−1(ξ ))dξ
x0
ϕ0 (x) = y0
(3.7)
x0 ≤ x ≤ x0 + h
(n =1,2,⋯ )
注 一般来说连续函数 0 (x)可任取 但实际上为 , ϕ
由 f (x, y) 在 R上连续知，f (x,ϕk (x))在 [ x0 , x0 + h] 上 上连续知， 连续， 从而 f (x,ϕk+1(x)) 在 [ x0 , x0 + h] 上连续且 连续，
x
0
x
ϕk+1(x) − y0 = ∫x f (ξ,ϕk (ξ ))dξ ≤ ∫x f (ξ,ϕk (ξ )) dξ
M = Max f (x, y)
( x, y)∈R
b in( h = m a, ) M
成立， 即 [ 设命题 2 当 n = k 成立， ϕk (x)在 x0 , x0 + h]上连续且
ϕk (x) − y0 ≤ b
当n = k +1 ϕk+1(x) = y0 + ∫x f (ξ,ϕk (ξ ))dξ 时
ϕ(x)在 x0 , x0 + h]上连续,且 φ(x) − y0 ≤ b. [
命题4 命题
ϕ(x)是积分方程(3.5)定义于 x0 , x0 + h]上连续解 [ .
f (x,ϕn (x)) − f (x,ϕ(x)) ≤ Lϕn (x) −ϕ(x)
件 证明: Lipschitz条 有 证明 由
以及 ϕn (x)}在 x0 , x0 + h]的一致收敛性得, { [
≤ ∫ f (ξ,ϕn (ξ )) − f (ξ,ϕn−1(ξ )) dξ
x0 x
≤ L∫ ϕn (ξ ) −ϕn−1(ξ )dξ
x0
x
ML ≤ n!
n
ML n+1 (x − x0 ) , (ξ − x0 ) dξ = ∫x0 (n +1)!
x n
n
于是由数学归纳法得知,对所有正整数 有 于是由数学归纳法得知 对所有正整数 n ,有
证明:(用数学归纳法 证明 用数学归纳法) 用数学归纳法
x
(3.8)
n =1 ϕ1(x) = y0 + ∫x f (ξ,y0 )dξ 时
0
显然ϕ1(x)在 x0 , x0 + h]上连续 且 [ ,
ϕ1(x) − y0 = ∫x f (ξ,y0 )dξ ≤ ∫x f (ξ, y0 )dξ
x
0
x
0
≤ M x − x0 ≤ Mh ≤ b
ML n ϕn (x) −ϕn−1(x) ≤ (x − x0 ) , x0 ≤ x ≤ x0 + h, (3.11) n! 从而当 0 ≤ x ≤ x0 + h时 x , n−1 n−1 ML ML n n h, (x − x0 ) ≤ ϕn (x) −ϕn−1(x) ≤ n! n! n! ∞ MLn−1 n 判别 由 正 级 ∑ 于 项 数 h 收 , 由 Weierstrass判别 敛 n! n=1
k =1
对级数(3.9)的通项进行估计 的通项进行估计 对级数
ϕ1(x) −ϕ0 (x) ≤ ∫x f (ξ,ϕ0 (ξ )) dξ ≤ M x − x0
0
x
ϕ2 (x) −ϕ1(x) ≤ ∫x f (ξ,ϕ1(ξ )) − f (ξ,ϕ0 (ξ )) dξ
0
x
由 Lipschitz条 ≤ L∫ ϕ1(ξ ) −ϕ0 (ξ )dξ 件
dϕ(x) = f (x,ϕ(x)) , dx ϕ(x0 ) = y0 对 一 从 0到 取 积 得 第 式 x x 定 分
ϕ(x) −ϕ(x0 ) = ∫ f (x,ϕ(x))dx
x0
x
即
ϕ(x) = y0 + ∫ f (x,ϕ(x))dx
x0
x
故 = ϕ(x)为 3.5)的 续 . y ( 连 解
由 f (x,ϕn (x)) − f (x,ϕ(x)) ≤ Lϕn (x) −ϕ(x)
只需 ϕn (x)}在 x0 − h, x0 + h]上一致收敛于ϕ(x). { [
由于 ϕ0 (x) + ∑(ϕk (x) −ϕk−1(x)) = ϕn (x),
k =1
n
于是函数 {ϕn (x)}在 x0 − h, x0 + h]上一致收 列 [ 敛性 等价 , 于函 数项级数