群论
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附件8
长沙理工大学研究生课程编号说明
研究生课程编号共7位数，具体说明如下：
一．学校公共课编号说明：
9******
课程序号
校内学院代码
硕士1；博士2；工程硕士 3
全校公共课
二．学院专业学位课、非学位课程的编号说明：
*******
课程序号
学位课1；非学位课课2
3.问题与应用：理解168阶单群的唯一性的证明思想。
第三节 Petersen图和它的群
1. 主要内容：通过研究 和 在Petersen图上的作用，说明群作用对图的对称性有着至关重要的意义。
2.基本概念和知识点：图、顶点、边，图的自同构，点传递图，弧传递图。
3.问题与应用：理解图的有关术语及群作用在图上的思想。
3.问题与应用：理解 群的初等结果。
第六节内交换 群、亚循环 群、极大类 群
1. 主要内容：内交换 群、亚循环 群、极大类 群的结构。
2.基本概念和知识点：内交换 群、亚循环 群、极大类 群
3.问题与应用：了解内交换 群、亚循环 群、极大类 群的结构。
第七节 群计数定理、超特殊 群
1. 主要内容：有限 群各种类型的子群、元素或子集个数及其对 群结构的影响；特殊 群和超特殊 群的结构；
2.基本概念和知识点：幂零群、中心列、幂零群的结构。
3.问题与应用：理解幂零群的性质与结构。
第三节 Frattini子群
1. 主要内容：Frattini子群的性质
2. 基本概念和知识点：极大子群、Frattini子群。
3.问题与应用：理解Frattini子群的性质与有限群幂零性的关系。
第四节 内幂零群
硕士1；博士2；工程硕士3
校内学院代码
课程代码编写注意事项：
1、学校公共课程由研究生院培养办公室统一编号，学院的专业学位课和非学位课程由学院进行编号。
2、课程编号应按照编号规则进行，保证编号的唯一性，各学院在对学院课程编号时应统筹安排，特别注意不同学科或专业使用同一课程时，编号应保证唯一，开课学期、学分设置及课程类别应保持一致。
3.问题与应用：了解群代数和模的相关概念。
第三节不可约模和完全可约模
1. 主要内容：不可约模和完全可约模的概念及性质， Maschke定理。
2.基本概念和知识点：不可约模、完全可约模，Maschke定理。
3.问题与应用：了解不可约模和完全可约模的性质及 Maschke定理。
第四节半单代数的构造
1. 主要内容：通过分析半单代数的构造确定所有互不同构的不可约 模。
3.问题与应用：了解 群在 群上的作用的基本理论。
第四节关于 幂零性的Frobenius定理
1. 主要内容：介绍 幂零性的Frobenius定理。
2.基本概念和知识点：规范子群、焦点子群、 幂零群，Frobenius定理。
3.问题与应用：了解 幂零性的Frobenius定理的内容。
第五节Frobenius-群
2. 幂零的Bernside定理；
3.Thompson关于Frobenius群的 核幂零群的猜想的证明；
4.了解群在群上的作用的思想及其在有限群论中的作用。
第一节 群在群上的作用
1. 主要内容：群在群上的作用的一些基本知识。
2.基本概念和知识点：群在群上的作用、忠实作用、不可分解群。
3.问题与应用：了解群在群上的作用的相关概念及初步结果。
1. 主要内容：Frobenius-群的性质。
2. 基本概念和知识点：无不动点作用、无不动点自同构、Frobenius-群。
3.问题与应用：了解无不动点作用的性质和Frobenius-群的性质。
六、推荐
教材和教学参考资源
（一）推荐教材
有限群初步，徐明曜，科学出版社，2014。
（二）阅读书目
[1].作者（编著者）.书名（版本）.出版地：出版社，出版年份
三、课程性质与教学目的
本课程是基础数学专业一年级研究生非学位课程，必修。
通过本课程的教学，使学生掌握群的基础理论与群论的基本方法，为基础数学专业课程的学习与数学研究打下群论基础。
四、教学时数分配
教学环节
教学时数
课程内容
授
课
研讨课
上机与实验
小计
第四章更多的群例
4
2
6
第五章幂零群和 群
10
2
12
第六章可解群
1. 主要内容： -Hall子群的共轭条件。
2. 基本概念和知识点： -Hall子群、共轭
3.问题与应用：了解 -Hall子群的共轭条件。
第四节Fitting子群
1. 主要内容：有限群的Fitting子群的性质与结构。
2. 基本概念和知识点：Fitting子群，Fitting子群的刻画。
3.问题与应用：掌握Fitting子群的性质与结构。
第五章 幂零群和 群
（一） 目的与要求
1.介绍有限幂零群的基本理论；
2.介绍有限 群的基本理论；
3.了解有限幂零群和有限 群的相关理论及研究方法。
第一节 换位子
1. 主要内容：换位子运算公式
2.基本概念和知识点：换位子
3.问题与应用：逐步学会换位子的应用。
第二节 幂零群
1. 主要内容：幂零群的基本知识
第七节特殊可解群的构造
1. 主要内容：超可解群、所有Sylow子群皆循环的有限群、Dedekind群、可分解群、可置换群的性质与结构。
2. 基本概念和知识点：超可解群、所有Sylow子群皆循环、Dedekind群、可分解群、可置换群
3.问题与应用：了解几类特殊可解群的构造。
第七章 有限群表示论初步
（一） 目的与要求
1. 主要内容：介绍特征标理论的两个出色的应用 定理和 Frobenius定理。
2.基本概念和知识点： 定理和 Frobenius定理。
3.问题与应用：了解 定理和 Frobenius定理的内容。
第八章 群在群上的作用、 定理和 幂零群
（一） 目的与要求
1.介绍群在群上的作用的一般理论，特别是互素作用；
（三）阅读期刊文章
（四）学习网站(网络刊物和学习网站需要有具体网址链接)
（五）其它
七、其他说明
大纲编制人：游兴中编制日期：2014.8.8
大纲审定人(学科负责人)：4审定日期：
二级学院盖章
注:排版格式要求
（1）页面设置为：页边距：上3.7cm下3.5cm左2.8cm右2.6cm
（2）标题、正文的字体及字号严格按照模板要求；标点符号要在全角状态下录入。
10
2
12
第七章有限群表示论初步
8
2
10
第八章群在群上的作用、 定理和 幂零群
6
2
8
合计
38
10
48ຫໍສະໝຸດ Baidu
五、教学内容及要求
第四章 更多的群例
（一） 目的与要求
1.通过更多的群例说明群论的本质在于研究群作用；
2.说明群作用对图的对称性的意义；
3.介绍最早发现的单群和5族典型群；
4. 充分领会群作用的研究方法和思想。
附件7
长沙理工大学
研究生课程教学大纲
（□科学学位 □专业学位）
课程名称群论
所在院（所、部）数学与计算科学学院
学科点或课程组基础数学
长沙理工大学研究生院制
2014年8月8日
一、课程基本信息
课程代码：群论
课程名称：1012001
英文名称：Thoery of groups
课程类别：非学位课程
学时：48
学 分：3
适用对象:理科数学类一年级研究生
考核方式：考查<写一篇字数字不少于3000的课程论文、读书报告或文献综述等＞。
先修课程：抽象代数学
二、课程简介
群论研究名为群的代数结构。群在抽象代数中具有基本的重要地位：许多代数结构，包括环、域和模等可以看作是在群的基础上添加新的运算和公理而形成的。群的概念在数学的许多分支都有出现，而且群论的研究方法也对抽象代数的其它分支有重要影响。群论的重要性还体现在物理学和化学的研究中，因为许多不同的物理结构，如晶体结构和氢原子结构可以用群论方法来进行建模。于是群论和相关的群表示论在物理学和化学中有大量的应用。
3.问题与应用：了解可解群的 -Hall子群的性质。
第二节 Sylow系和Sylow补
1. 主要内容：可解群的Sylow系和Sylow补及其性质。
2.基本概念和知识点：Sylow系、Sylow补、有限群可解的一个充要条件。
3.问题与应用：了解可解群的Sylow系和Sylow补的概念及其性质。
第三节 -Hall子群的共轭性问题
2. 基本概念和知识点：诱导特征标
3.问题与应用：了解诱导特征标的概念及求有限群的特征标的方法。
第七节 有关代数整数的预备知识
1. 主要内容：介绍代数整数的预备知识。
2.基本概念和知识点：代数整数、有理整数及性质。
3.问题与应用：了解代数整数、有理整数的概念及性质。
第八节 定理， Frobenius定理
第二节 群在交换 群上的作用
1. 主要内容： 群在交换 群上的作用的基本理论。
2. 基本概念和知识点：Schur引理、Maschke定理的推广形式。
3.问题与应用：了解 群在交换 群上的作用的基本理论。
第三节 群在 群上的作用
1. 主要内容： 群在 群上的作用可约性和可分解性问题。
2.基本概念和知识点： 群在 群上的作用可约性和可分解性问题。
2. 基本概念和知识点：特殊 群、超特殊 群
3.问题与应用：了解有关 群计数定理和特殊 群和超特殊 群的结构。
第六章 可解群
（一） 目的与要求
1.介绍有限可解群的基本理论
2.了解有限可解群的基本理论及研究方法。
第一节 -Hall子群
1. 主要内容：可解群的 -Hall子群的性质。
2.基本概念和知识点： -Hall子群、 -群、 -可解群和 -可分群。
第四节 最早发现的零散单群
1. 主要内容：介绍最早发现的零散单群 和 。
2.基本概念和知识点：单群，多重传递群。
3.问题与应用：了解 和 的结构。
第五节 域上的典型群简介
1. 主要内容：介绍5族典型单群。
2. 基本概念和知识点：双线性映射，度量空间，辛群，酉群，正交群。
3.问题与应用：了解5族典型单群由来。
1. 主要内容：内幂零群的结构。
2.基本概念和知识点：内幂零群及有关性质。
3.问题与应用：了解内幂零群的结构。
第五节 群的初等结果
1. 主要内容：有限 群的Frattini子群、生成元、自同构群及某些特殊子群的性质、具有循环极大子群的有限 群的结构。
2.基本概念和知识点：有限 群的Frattini子群的性质、具有循环极大子群的有限 群的结构。
第一节 的单性
1.主要内容：考察 在射影集合 上的作用，证明 是单群。
2.基本概念和知识点：一般线性群、特殊线性群、特殊射影线性群
3.问题与应用：理解 在射影集合 上的作用及 是单群。
第二节 七点平面和它的群
1. 主要内容：研究168阶单群在七点平面上的作用，证明168阶单群的唯一性。
2. 基本概念和知识点：七点平面，射影直线，共线变换
1.介绍有限群表示的基本理论及其应用。
2.了解群表示，特别是群特征标理论对有限群论的重要性。
第一节群的表示
1. 主要内容：群的表示的相关概念。
2.基本概念和知识点：表示、忠实表示、绝对不可约表示、分裂域。
3.问题与应用：了解群的表示的相关概念。
第二节群代数和模
1. 主要内容：群代数和模的相关概念。
2. 基本概念和知识点：代数、群代数、矩阵表示、模。
第五节Carter子群
1. 主要内容：Carter子群的性质。
2.基本概念和知识点：Carter子群，Carter子群的性质。
3.问题与应用：了解Carter子群的性质。
第六节群系理论初步
1. 主要内容：群系的初步理论。
2.基本概念和知识点：群系、饱和群系、覆盖子群。
3.问题与应用：了解群系的初步理论。
2.基本概念和知识点：半单代数、Wedderburn定理。
3.问题与应用：了解Wedderburn定理的内容。，
第五节特征标，类函数，正交关系
1. 主要内容：介绍有限群特征标的理论。
2. 基本概念和知识点：特征标、类函数与正交关系。
3.问题与应用：了解有限群特征标的理论。
第六节 诱导特征标
1. 主要内容：介绍诱导特征标，给出若干求有限群的特征标的例子。
3、本次修订沿用2011年版培养方案的课程编码规则，因此如新培养方案采用原有课程，则代码必须保持不变。如有新增课程，请在原有课程目录的最大代码编号后顺延编号，以免与原有课程代码冲突。
序号
学院名称
学院代码
10
数学与计算科学学院
10
学院代码
附件8
长沙理工大学研究生课程编号说明
研究生课程编号共7位数，具体说明如下：
一．学校公共课编号说明：
9******
课程序号
校内学院代码
硕士1；博士2；工程硕士 3
全校公共课
二．学院专业学位课、非学位课程的编号说明：
*******
课程序号
学位课1；非学位课课2
3.问题与应用：理解168阶单群的唯一性的证明思想。
第三节 Petersen图和它的群
1. 主要内容：通过研究 和 在Petersen图上的作用，说明群作用对图的对称性有着至关重要的意义。
2.基本概念和知识点：图、顶点、边，图的自同构，点传递图，弧传递图。
3.问题与应用：理解图的有关术语及群作用在图上的思想。
3.问题与应用：理解 群的初等结果。
第六节内交换 群、亚循环 群、极大类 群
1. 主要内容：内交换 群、亚循环 群、极大类 群的结构。
2.基本概念和知识点：内交换 群、亚循环 群、极大类 群
3.问题与应用：了解内交换 群、亚循环 群、极大类 群的结构。
第七节 群计数定理、超特殊 群
1. 主要内容：有限 群各种类型的子群、元素或子集个数及其对 群结构的影响；特殊 群和超特殊 群的结构；
2.基本概念和知识点：幂零群、中心列、幂零群的结构。
3.问题与应用：理解幂零群的性质与结构。
第三节 Frattini子群
1. 主要内容：Frattini子群的性质
2. 基本概念和知识点：极大子群、Frattini子群。
3.问题与应用：理解Frattini子群的性质与有限群幂零性的关系。
第四节 内幂零群
硕士1；博士2；工程硕士3
校内学院代码
课程代码编写注意事项：
1、学校公共课程由研究生院培养办公室统一编号，学院的专业学位课和非学位课程由学院进行编号。
2、课程编号应按照编号规则进行，保证编号的唯一性，各学院在对学院课程编号时应统筹安排，特别注意不同学科或专业使用同一课程时，编号应保证唯一，开课学期、学分设置及课程类别应保持一致。
3.问题与应用：了解群代数和模的相关概念。
第三节不可约模和完全可约模
1. 主要内容：不可约模和完全可约模的概念及性质， Maschke定理。
2.基本概念和知识点：不可约模、完全可约模，Maschke定理。
3.问题与应用：了解不可约模和完全可约模的性质及 Maschke定理。
第四节半单代数的构造
1. 主要内容：通过分析半单代数的构造确定所有互不同构的不可约 模。
3.问题与应用：了解 群在 群上的作用的基本理论。
第四节关于 幂零性的Frobenius定理
1. 主要内容：介绍 幂零性的Frobenius定理。
2.基本概念和知识点：规范子群、焦点子群、 幂零群，Frobenius定理。
3.问题与应用：了解 幂零性的Frobenius定理的内容。
第五节Frobenius-群
2. 幂零的Bernside定理；
3.Thompson关于Frobenius群的 核幂零群的猜想的证明；
4.了解群在群上的作用的思想及其在有限群论中的作用。
第一节 群在群上的作用
1. 主要内容：群在群上的作用的一些基本知识。
2.基本概念和知识点：群在群上的作用、忠实作用、不可分解群。
3.问题与应用：了解群在群上的作用的相关概念及初步结果。
1. 主要内容：Frobenius-群的性质。
2. 基本概念和知识点：无不动点作用、无不动点自同构、Frobenius-群。
3.问题与应用：了解无不动点作用的性质和Frobenius-群的性质。
六、推荐
教材和教学参考资源
（一）推荐教材
有限群初步，徐明曜，科学出版社，2014。
（二）阅读书目
[1].作者（编著者）.书名（版本）.出版地：出版社，出版年份
三、课程性质与教学目的
本课程是基础数学专业一年级研究生非学位课程，必修。
通过本课程的教学，使学生掌握群的基础理论与群论的基本方法，为基础数学专业课程的学习与数学研究打下群论基础。
四、教学时数分配
教学环节
教学时数
课程内容
授
课
研讨课
上机与实验
小计
第四章更多的群例
4
2
6
第五章幂零群和 群
10
2
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第六章可解群
1. 主要内容： -Hall子群的共轭条件。
2. 基本概念和知识点： -Hall子群、共轭
3.问题与应用：了解 -Hall子群的共轭条件。
第四节Fitting子群
1. 主要内容：有限群的Fitting子群的性质与结构。
2. 基本概念和知识点：Fitting子群，Fitting子群的刻画。
3.问题与应用：掌握Fitting子群的性质与结构。
第五章 幂零群和 群
（一） 目的与要求
1.介绍有限幂零群的基本理论；
2.介绍有限 群的基本理论；
3.了解有限幂零群和有限 群的相关理论及研究方法。
第一节 换位子
1. 主要内容：换位子运算公式
2.基本概念和知识点：换位子
3.问题与应用：逐步学会换位子的应用。
第二节 幂零群
1. 主要内容：幂零群的基本知识
第七节特殊可解群的构造
1. 主要内容：超可解群、所有Sylow子群皆循环的有限群、Dedekind群、可分解群、可置换群的性质与结构。
2. 基本概念和知识点：超可解群、所有Sylow子群皆循环、Dedekind群、可分解群、可置换群
3.问题与应用：了解几类特殊可解群的构造。
第七章 有限群表示论初步
（一） 目的与要求
1. 主要内容：介绍特征标理论的两个出色的应用 定理和 Frobenius定理。
2.基本概念和知识点： 定理和 Frobenius定理。
3.问题与应用：了解 定理和 Frobenius定理的内容。
第八章 群在群上的作用、 定理和 幂零群
（一） 目的与要求
1.介绍群在群上的作用的一般理论，特别是互素作用；
（三）阅读期刊文章
（四）学习网站(网络刊物和学习网站需要有具体网址链接)
（五）其它
七、其他说明
大纲编制人：游兴中编制日期：2014.8.8
大纲审定人(学科负责人)：4审定日期：
二级学院盖章
注:排版格式要求
（1）页面设置为：页边距：上3.7cm下3.5cm左2.8cm右2.6cm
（2）标题、正文的字体及字号严格按照模板要求；标点符号要在全角状态下录入。
10
2
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第七章有限群表示论初步
8
2
10
第八章群在群上的作用、 定理和 幂零群
6
2
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合计
38
10
48ຫໍສະໝຸດ Baidu
五、教学内容及要求
第四章 更多的群例
（一） 目的与要求
1.通过更多的群例说明群论的本质在于研究群作用；
2.说明群作用对图的对称性的意义；
3.介绍最早发现的单群和5族典型群；
4. 充分领会群作用的研究方法和思想。
附件7
长沙理工大学
研究生课程教学大纲
（□科学学位 □专业学位）
课程名称群论
所在院（所、部）数学与计算科学学院
学科点或课程组基础数学
长沙理工大学研究生院制
2014年8月8日
一、课程基本信息
课程代码：群论
课程名称：1012001
英文名称：Thoery of groups
课程类别：非学位课程
学时：48
学 分：3
适用对象:理科数学类一年级研究生
考核方式：考查<写一篇字数字不少于3000的课程论文、读书报告或文献综述等＞。
先修课程：抽象代数学
二、课程简介
群论研究名为群的代数结构。群在抽象代数中具有基本的重要地位：许多代数结构，包括环、域和模等可以看作是在群的基础上添加新的运算和公理而形成的。群的概念在数学的许多分支都有出现，而且群论的研究方法也对抽象代数的其它分支有重要影响。群论的重要性还体现在物理学和化学的研究中，因为许多不同的物理结构，如晶体结构和氢原子结构可以用群论方法来进行建模。于是群论和相关的群表示论在物理学和化学中有大量的应用。
3.问题与应用：了解可解群的 -Hall子群的性质。
第二节 Sylow系和Sylow补
1. 主要内容：可解群的Sylow系和Sylow补及其性质。
2.基本概念和知识点：Sylow系、Sylow补、有限群可解的一个充要条件。
3.问题与应用：了解可解群的Sylow系和Sylow补的概念及其性质。
第三节 -Hall子群的共轭性问题
2. 基本概念和知识点：诱导特征标
3.问题与应用：了解诱导特征标的概念及求有限群的特征标的方法。
第七节 有关代数整数的预备知识
1. 主要内容：介绍代数整数的预备知识。
2.基本概念和知识点：代数整数、有理整数及性质。
3.问题与应用：了解代数整数、有理整数的概念及性质。
第八节 定理， Frobenius定理
第二节 群在交换 群上的作用
1. 主要内容： 群在交换 群上的作用的基本理论。
2. 基本概念和知识点：Schur引理、Maschke定理的推广形式。
3.问题与应用：了解 群在交换 群上的作用的基本理论。
第三节 群在 群上的作用
1. 主要内容： 群在 群上的作用可约性和可分解性问题。
2.基本概念和知识点： 群在 群上的作用可约性和可分解性问题。
2. 基本概念和知识点：特殊 群、超特殊 群
3.问题与应用：了解有关 群计数定理和特殊 群和超特殊 群的结构。
第六章 可解群
（一） 目的与要求
1.介绍有限可解群的基本理论
2.了解有限可解群的基本理论及研究方法。
第一节 -Hall子群
1. 主要内容：可解群的 -Hall子群的性质。
2.基本概念和知识点： -Hall子群、 -群、 -可解群和 -可分群。
第四节 最早发现的零散单群
1. 主要内容：介绍最早发现的零散单群 和 。
2.基本概念和知识点：单群，多重传递群。
3.问题与应用：了解 和 的结构。
第五节 域上的典型群简介
1. 主要内容：介绍5族典型单群。
2. 基本概念和知识点：双线性映射，度量空间，辛群，酉群，正交群。
3.问题与应用：了解5族典型单群由来。
1. 主要内容：内幂零群的结构。
2.基本概念和知识点：内幂零群及有关性质。
3.问题与应用：了解内幂零群的结构。
第五节 群的初等结果
1. 主要内容：有限 群的Frattini子群、生成元、自同构群及某些特殊子群的性质、具有循环极大子群的有限 群的结构。
2.基本概念和知识点：有限 群的Frattini子群的性质、具有循环极大子群的有限 群的结构。
第一节 的单性
1.主要内容：考察 在射影集合 上的作用，证明 是单群。
2.基本概念和知识点：一般线性群、特殊线性群、特殊射影线性群
3.问题与应用：理解 在射影集合 上的作用及 是单群。
第二节 七点平面和它的群
1. 主要内容：研究168阶单群在七点平面上的作用，证明168阶单群的唯一性。
2. 基本概念和知识点：七点平面，射影直线，共线变换
1.介绍有限群表示的基本理论及其应用。
2.了解群表示，特别是群特征标理论对有限群论的重要性。
第一节群的表示
1. 主要内容：群的表示的相关概念。
2.基本概念和知识点：表示、忠实表示、绝对不可约表示、分裂域。
3.问题与应用：了解群的表示的相关概念。
第二节群代数和模
1. 主要内容：群代数和模的相关概念。
2. 基本概念和知识点：代数、群代数、矩阵表示、模。
第五节Carter子群
1. 主要内容：Carter子群的性质。
2.基本概念和知识点：Carter子群，Carter子群的性质。
3.问题与应用：了解Carter子群的性质。
第六节群系理论初步
1. 主要内容：群系的初步理论。
2.基本概念和知识点：群系、饱和群系、覆盖子群。
3.问题与应用：了解群系的初步理论。
2.基本概念和知识点：半单代数、Wedderburn定理。
3.问题与应用：了解Wedderburn定理的内容。，
第五节特征标，类函数，正交关系
1. 主要内容：介绍有限群特征标的理论。
2. 基本概念和知识点：特征标、类函数与正交关系。
3.问题与应用：了解有限群特征标的理论。
第六节 诱导特征标
1. 主要内容：介绍诱导特征标，给出若干求有限群的特征标的例子。
3、本次修订沿用2011年版培养方案的课程编码规则，因此如新培养方案采用原有课程，则代码必须保持不变。如有新增课程，请在原有课程目录的最大代码编号后顺延编号，以免与原有课程代码冲突。
序号
学院名称
学院代码
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数学与计算科学学院
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学院代码