第三章 三维图形的几何变换

1001 0001
1000 窗口
0000
0101 0100
1010 0010 0110
21
对线段的两端点分别进行编码。然后根据线段两端 点编码就能方便地判断出线段相对于窗口的位置关系：
22
线段端点编码及其可见性
线段 AB CD EF PQ MN
端点编码
0000 0000 0100 0100 0000 0010 0001 0100 0001 1000
逻辑乘结果 0000 0100 0000 0000 0000
与窗口边 界交点
无
无
有
有
无
可见性 完全可见 完全不可见 部分可见 部分可见 完全不可见
23
①如果线段两端点的四位编码都是0000，则表示两 端点均在窗口内，线段完全可见。
②如果线段两端点的四位编码不全是0000，将线 段两端点的四位编码逻辑相乘，结果不是0000，则表 示线段两端点在窗口边界线外的同侧位置，该线段完 全不可见。
0 0
0 1
10
（3）绕y轴逆时针旋转θ角对应的变换矩阵为
cos 0 sin 0
T
0
1
0
0
sin 0 cos 0

0
0
0
1
11
四、投影变换
投影是把空间几何体投射到投影面上而得到的平面图形， 其分类如下：
12
1、平行投影
投影直线的方向与向量
uuur OP
1
三、三维图形的几何变换
对三维空间的点（x，y，z），其变换可表示为： [x’ y’ z’ 1]=[x y z 1]T
其中，T是一个4×4阶矩阵，即
a11 a12 a13 a14
T a21
a22
a23
a24

aa3411
a32 a42
a33 a43
a34 a44

线段部分位于窗口内
20
编码裁剪法：将窗口及其周围共划分为九个区域，对这九 个区域分别用四位二进制数编码表示。四位编码中每位 （按由右向左顺序）编码的意义如下：
第一位，点在窗口左边界线之 左 为1，否则为0； 第二位，点在窗口右边界线之 右为1，否则为0； 第三位，点在窗口下边界线之 下为1，否则为0； 第四位，点在窗口上边界线之 上为1，否则为0。
相对于xoz平面的对称变换矩阵为
T xoz =
1 0 00 0 1 0 0 0 0 10 0 0 01
6
3、错切变换
1 BC0 D1F0
变换矩阵T= H I 1 0
0 0 01
式中，D、H是图形沿x方向的错切系数； B、I 是图形沿y方向的错切系数；C、F是图形沿z方 向的错切系数
7
4、平移变换
的方向一致，投影平面
为xoy平面，设对象形体
上一点的坐标为（x1，
y1，z1），求得过该点
与投影方向一致的直线
的参数方程为
x

x1

xp
y y1 yp

z

z1

zp
（ xp，yp，zp）为投影直线的 向量。
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该直线与xoy平面的交点坐标为（x2，y2，0）,则：
x2

x1

z1
xp zp


因此平行投影y2 变 y换1 关z1系 zy为pp ：
投影变换矩阵
1 0 0 0

0
1 0 0
x1
y1
z1
1

xp
yp
0
0


x2
y2
z2 1
zp
zp

0
0 0来自百度文库1

16
（2）俯视图 俯视图是将空间物体先沿x向压缩， 然后绕Y轴顺时针旋转90°。为了与主视图间保持 一定的距离，最后沿x的负向平移M.组合矩阵为：
17
(3)左视图 左视图是将空间物体先沿Y向压缩，然后绕x轴逆
时针旋转90°。为了与主视图间保持一定的距 离，最后沿Y的负向平移M。组合矩阵为
18
第三节 图形裁剪技术
0 0 J0 0 0 01
式中，A、E、J分别为x,y,z三个坐标方向的比例 因子
4
2、对称变换
相对于xoy平面的对称变换矩阵为
10 0 0 T xoy = 0 1 0 0
0 0 1 0 00 0 1
相对于yoz平面的对称变换矩阵为
1 0 0 0
T yoz=
0 100 0 010
0 001 5
2
在功能变换上T可分为四个子矩阵
a11 a12 a13

a21
a22
a23

产生比例、旋转、错切等几何变换
a31 a32 a33
[a41 a42 a43]产生平移变换
a14 a24 产生投影变换 a34
3
1、比例变换
A0 00
变换矩阵T= 0 E 0 0
一、点的裁剪 设矩形窗口的四条边界线是x=x1,x=x2,y=y1,y=y2, 不等式组为
x1 x x2 , y1 y y2
凡符合上述不等式组的点，都是可见图形点，不 符合的，则是不可见图形点。
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二、线段的裁剪
矢量裁剪法
线段裁剪算法 编码裁剪法
中点分割裁剪法
线段完全落在窗口内 线段与窗口的位置关系： 线段完全位于窗口外
③如果线段两端点的四位编码不全是0000，将 线段两端点的四位编码逻辑相乘，结果是0000，需要 再判断线段与窗口边界是否相交，如果有交点，说明 该线段部分位于窗口内，即部分可见；如果没有交点， 说明该线段位于窗口之外，完全不可见。
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对于部分可见的线段，需要对线段进行再 分。求出该线段与窗口边界线的交点，重复上 述编码判断，把不在窗口内的部分丢掉。图中 线段PQ被细分后PR段就被丢掉，得到新的段QR， 这时还要对线段QR进行再分割，求出该线段与 窗口下边界线的交点S，直到发现线段RS完全 在窗口内为止。
x1

z1

xp zp

,
y1

z1

yp zp


,
0,1
14
2、正投影---三视图 与二维图形的组合变换一样，可以通过对三维立 体图形顺序进行多种基本变换，来实现复杂的三 维图形变换。
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（1）主视图：它是将空间物体沿z向压缩而得，因此需 要将物体的坐标乘压缩矩阵
变换矩阵T=
1 0 00 0 1 00 0 0 10 LM N1
8
5、旋转变换
（1）绕z轴逆时针旋转θ角对应的变换矩阵为
cos sin 0 0
sin cos 0 0
T
0
0 10
0
0 01
9
（2）绕x轴逆时针旋转θ角对应的变换矩阵为
1 0
0 0
T 0 cos sin 0 0 sin cos 0