大学数学(高数微积分)第七章线性变换第五节课件(课堂讲义)

假设有关系式
a11 + a22 + … + akk + ak+1k+1 = 0 成立. 等式两端乘以 k+1 ，得
a1k+11 + a2k+12 +…+ akk+1k + ak+1k+1k+1 = 0
第一式两端同时施行变换 A ，得
a111 + a222 +…+ akkk + ak+1k+1k+1 = 0
为了利用定理 8 ，我们把定理 9
定理 10 如果 1 , 2 , … , k 是线性变换 A
, , 的不同的特征值，而 i1
是属于特征值
i ri
i 的线性无关的特征向量，i = 1 , … , k , 那么向量
组 11, ,1r1 , , k1 , , krk 也线性
无关.
这个定理的证明与定理 8 的证明相仿，也是对
第三式减去第二式得
a1(1 - k+1)1 + … + ak (k - k+1) k = 0 .
根据归纳法假设， 1 , 2 , … , k 线性无关， ai (i - k+1) = 0， i =1, 2, … , k .
但 i - k+1 0 (i k)，所以
ai = 0， i =1, 2, … , k . 这时等式
阵是对角形的.
因为在复数域中任一个 n 次多项式都有 n 个根, 所以上面的论断可以改写成
推论 2 在复数域上的线性空间中，如果线性 变换 A 的特征多项式没有重根，那么 A 在某组
基下的矩阵是对角形的.
在一个线性变换没有 n 个不同的特征值的情形 要判别这个线性变换的矩阵能不能成为对角形，问
题就要复杂些. 推广为
可逆矩阵 X，使 X-1AX 为对角矩阵；
(2) 求 Ak ( k 为正整数) .
本若请本若请本若请节想本若单请节想本 若单请节想本 若单请内结节想击本 若单请内 结节想击本 若 本 若单请 请结内节 想击本 若 本 若单容束请 请结内返节 想击本 若 本 若单容 束请 请内 结返节 想 节 想击本 若 本 若束单 单容请 请内 结返想节 节 想已本击本 若单束单容回请内 结返想节 节 想已 本击本 若单容 束单回请内 结 内 结返节 想 节 想本已击 击本 若容 束单 单回请内 内 结结堂结返节想本已击击按本 若容 束单回请内 内 结结结 堂返节想已 本击击按本 若容 束 容 束单回请堂内 结 内 结结返 返节 想已 本按击 击容 容 束单束束课回堂结结内返返钮节 想已 本按击容 容 束束单束 课回结 堂结内返返钮节 想已 本 已 本按击单课容 束 容 束束回 回结 堂内 结钮返 返已 已 本本,击按课束束容回回.结 堂内 结钮返!已 已 本本,按击束 课束容回回.结 堂 结 堂内 结钮返!已 本 已 本,按 按击束 课容 束回 回.结 结 堂堂返钮!本已,按按束 课容 束回.结 结 堂堂钮返!本已,按按束 课 束 课容 束回.结 堂 结 堂钮 钮返!已 本,按 按束 束 课课回.堂结钮钮!已 本,按束 束 课课.回堂结钮钮!已 本,,按束 课 束 课..回结堂钮钮!!,,按课束..结堂钮!!,,按课束..结堂钮!!,,按束课..钮!!,束课.钮!,束课.钮!,.!,.!,.!
证明
阵
即
设 A 在基 1 , 2 , … , n 下具有对角矩
1
2
n
A i = ii , i = 1 , 2 , … , n . 因此， 1 , 2 , … , n 就是 A 的 n 个线性无关的特
征向量.
反过来，如果 A 有 n 个线性无关的特征向量
1 , 2 , … , n ，那么就取 1 , 2 , … , n 为基，显然
在这组基下 A 的矩阵是对角矩阵. 证毕
二、特征值与特征向量的性质
定理 9 属于不同特征值的特征向量是线性无
关的.
证明 对特征值的个数作数学归纳法.
由于特
征向量是不为零的，所以单个的特征向量必然线性
无关. 现在设属于 k 个不同特征值的特征向量线性
无关，我们证明属于 k + 1 个不同的特征值 1 , 2 , … , k+1 的特征向量 1 , 2 , … , k+1 也线性无关.
因此，如果线性变换 A 在一组基下的矩阵是对角
形，那么主对角线上的元素除排列次序外是确定的. 它们正是 A 的特征多项式全部的根 (重根按重数计 算) .
三、举例
例 1 设线性变换 A 在基 1 , 2 , 3 下的矩阵
为
2 1 2 A 5 3 3
1 0 2 问是否存在一组基，使 A 在这组基下的矩阵为对
形？若存在，求出这组基.
例 2 设线性变换 A 在基 1 , 2 , 3 下的矩阵
为
2 2 2 A 2 5 4.
2 4 5
问是否存在一组基，使 A 在这组基下的矩阵为对
角形？若存在，求出这组基.
例3 设
2 1 1 A 0 2 0
4 1 3
(1) 判断 A 是否与对角矩阵相似，若相似，求
分必要条件也可叙述成：
设 A 全部不同的特征值是 1 , 2 , … , r ，于 是 A 在某一组基下的矩阵是对角形的充分必要条
件是 A 的特征子空间
等于空间的维数.
V1 , ,Vr 的维数之和
当线性变换 A 在一组基下的矩阵 A 是对角形
时：
1
A
2
.
n
A 的特征多项式就是
| E - A | = ( - 1) ( - 2) … ( - n) .
第五节 对角矩阵
主要内容
充分必要条件 特征值与特征向量的性质 举例
一、充分必要条件
对角矩阵可以认为是矩阵中最简单的一种.
现
在我们来考察，究竟哪些线性变换的矩阵在一组适
当的基wenku.baidu.com可以是对角矩阵.
定理 8 设 A 是 n 维线性空间 V 的一个线性 变换， A 的矩阵可以在某一组基下为对角矩阵的 充分必要条件是， A 有 n 个线性无关的特征向量.
k 作数学归纳法 . 证明略.
根据这个定理，对于一个线性变换，求出属于
每个特征值的线性无关的特征向量，把它们合在一
起还是线性无关的.
如果它们的个数等于空间的维
数，那么这个线性变换在一组合适的基下的矩阵是
对角矩阵； 如果它们的个数少于空间的维数，那么
这个线性变换在任何一组基下的矩阵都不能是对角
形的. 于是 A 在某一组基下的矩阵是对角形的充
a11 + a22 + … + akk + ak+1k+1 = 0
变成 ak+1k+1 = 0 .
又因为 k+1 0，所以只有
ak+1 = 0 .
所以1 , 2 , … , k+1 线性无关.
于是
证毕
从上面这两个定理就得到
推论 1 如果在 n 维线性空间 V 中，线性变换 A 的特征多项式在数域 P 中有 n 个不同的根，即 A 有 n 个不同的特征值，那么 A 在某组基下的矩