11.1直线的方程

4

y 1 1
直 线 l的 一 般 方 程 ： x 4 百度文库 4 0
直 线
7 (1)( 直 线 关 于 点 对 称 ) : 求 与 直 线 l1 : 2 x 3 y 6 0 关 于 点 P (1, 1)的 对 称 直 线 l .
解 ： 在 直 线 l 上 分 别 取 点 A (0 , 2 ) B (3, 0 )
点法向式 法向量n=(a,b) a ( x x 0 ) b ( y y 0 ) 0 a x b y a x 0 b y 0 0
说 明 ： x x 0 y y 0 v ( x x ) u ( y y ) v x u y u y vx 0 0 0 0 0 u v
P (1, 2)
o
x
2、 直 线 l 过 点 P (1, 2 ), 且 与 两 点 M ( 2, 3), N ( 4, 5)的 距 离 相 等 ， 求 直 线 l的 方 程 . 解 ： 直 线 l // 直 线 M N 直 线 l的 方 向 向 量 M N ( 2 , 8) (1)
直 线
导入：对称问题
( __ _ a, __ _ 点 M ( a , b ) 关 于 点 A ( m , n )的 对 称 点 N 的 坐 标 是 _ _2 m_ _ _ 2 n _ _b )_ ； a x M m 2 x 2m a A 解 ： 设 N ( x , y ) b y y 2n b N n 2
ax by c 0 ( a、 b 不 全 为 0 ) 直 线 的 一 般 式 方 程
若 a 0， b 0 一 个 法 向 量 (a, b) 一 个 方 向 向 量 (b , a )
直 例题： 线
y
1、 原 点 在 l 上 的 射 影 为 点 ( 1 , 2 )， 求 直 线 l的 方 程 . 解 ： 直 线 l 经 过 点 (1, 2 ) , 法 向 量 O P (1, 2 ) ( l的 点 法 向 式 方 程 ： x 1) 2 ( y 2 ) 0 l的 一 般 方 程 : x 2 y 5 0
x3 y4 l的 点 方 向 式 方 程 ： 4 l的 一 般 方 程 ： x 3 y 0 3 4 5( 4 )以 （ 2， 1） 为 方 向 向 量 ， 在 x 轴 上 的 截 距 比 y 轴 上 的 截 距 大 2， 求 直 线 l
的 方 程.
直 解 ： 由 题 意 可 得 ： 线 l的 法 向 量 为 (1, 2 ) 设 直 线 l的 方 程 ： 2 y c 0 x c c 令 y 0 x c ( c ) ( ) 2 c=-4 令x 0 y 2 2 l的 一 般 方 程 ：x 2 y 4 0
的直线
的直线
注 ： 平 行 于 x 轴 ( 或 y 轴 )的 直 线 不 能 用 点 方 向 式 方 程 表 示 .
直 线 2、已 知 直 线 l 过 点 P ( x , y
), 且 l n ( n 0 ) 0 0 设 Q ( x, y ) l PQ n P ( x0 , y0 ) P Q ( x x0 , y y0 ) n (a, b)
解 ： l 经 过 点 ( 3, 0 ) , 且 法 向 量 为 (3, 4 ) (1)
3( 3 l的 点 法 向 式 方 程 ： x 3) 4 y 0 l的 一 般 方 程 ： x 4 y 9 0
解 ： ) l 经 过 点 (0, 1) , 且 法 向 量 为 (3, 4 ) (2
x l1的 一 般 方 程 ： y 7 0
4、 求 经 过 P ( 3, 4 ) 且 与 两 坐 标 轴 围 成 等 腰 直 角 三 角 形 ， 求 直 线 l的 方 程 . 解 ： 当 直 线 l的 方 向 向 量 m (1,1) y
x3 y4 l的 点 方 向 式 方 程 ： 1 1
P ( 3, 4 )
m
l的 一 般 方 程 ： y 7 0 x 当 直 线 l的 法 向 量 m (1,1)
o
x
l的 点 法 向 式 方 程 ：x 3) ( y 4 ) 0 l的 一 般 方 程 ： x y 1 0 (
直 线 导入：关于“截距”
直 线
11.1 直线的方程
通 过 在 平 面 上 建 立 直 角 坐 标 系 ， 我 们 就 在 平 面 上 的 点 与 有 序 实 数 对 （ x， y） 之间建立了一一对应关系。 如果一个方程的解和平面内一条直线上的点之间存在一一对应关系， 即：
（ 1） 以 这 个 方 程 的 解 为 坐 标 的 点 都 是 这 条 直 线 上 的 点 ， （ 2） 反 之 ， 这 条 直 线 上 的 点 的 坐 标 都 是 这 个 方 程 的 解 。
直线的截距式
x a

y b
1
设 直 线 l 与 x 轴 的 交 点 为 A ( a , 0 ), 与 y 轴 的 交 点 为 B (0, b ), 则 a 为 l 在 x 轴 上 的 截 距 . b为 l 在 y 轴 上 的 截 距 . 注 ：“ 截 距 ” ( 可 正 ， 可 负 ， 可 为 零 ) 与 “ 距 离 ”
6、 已 知 直 线 l 夹 在 两 条 直 线 l1 : x 3 y 1 0 0 和 l 2 : 2 x y 8 0间 的 线 段 中 点 为 P (0 ,1), 求 直 线 l的 方 程 .
l2
代 入 2x y 8 0
l1
解 ： 设 l1 l A 设 A (3 a 1 0, a )
x 1 y2 l的 点 方 向 式 方 程 ： l的 一 般 方 程 ：x 2 y 7 0 3 2 3
N
直 3、 线 求 经 过 P ( 3, 4 ), Q ( 2 , 1)的 直 线 l的 方 程 ， 将 直 线 l围 绕 点 P 顺 时 针 转 9 0
a ( x x0 ) b ( y y0 ) 0
l
y
Q ( x , y )
n (a, b)
o
x
“ 不 惟 一 ” 直 线 l的 法 向 量
直 线 l的 点 法 向 式 方 程 注 ：一 切 直 线 均 能 用 点 法 向 式 方 程 表 示 .
点方向式 方向向量d=(u,v)
得 到 直 线 l1 , 再 求 l1的 方 程 . x3 y4 解 ： l的 方 向 向 量 P Q (5, 5) l的 点 方 向 式 方 程 ： 5 5 l的 一 般 方 程 ：x y 1 0 l1的 法 向 量 P Q (5, 5) l的 点 法 向 式 方 程 ： x 3) 5( y 4 ) 0 5(
x x0 u
y y0 v
0
直 线
1 、 已 知 直 线 l 过 点 P ( x 0 , y 0 ), 且 l 平 行 于 非 零 向 量 d ，d u， v） （
y
l
Q ( x , y )
d (u , v )
P ( x0 , y0 )
o
x
(1) u 0 , v 0
x x0 (*)即 ： u
y y0 v
直 线 l的 点 方 向 式 方 程
( 2 ) u 0 , v 0 ( * )即 : x x 0 经 过 P ( x 0 , y 0 ) 平 行 于 y 轴
( 3 ) u 0 , v 0 ( * )即 : y y 0 经 过 P ( x 0 , y 0 ) 平 行 于 x 轴
x 1 y2 l的 点 方 向 式 方 程 ： 2 8 l的 一 般 方 程 ： x y 6 0 4
y
P
M
( 2 ) 直 线 l 过 直 线 M N 的 中 点 Q (3, 1) 直 线 l的 方 向 向 量 P Q ( 2, 3)
o
Q
x
x3 y4 l的 点 方 向 式 方 程 ： 1 1 l的 一 般 方 程 ：x y 7 0 ( 2 )当 直 线 l的 法 向 量 m (1,1)
P ( 3, 4 )
m
o
x
l的 点 法 向 式 方 程 ：x y 1 0
(3)当 直 线 l 经 过 原 点 O 直 线 l的 方 向 向 量 O P ( 3, 4 )
l的 点 法 向 式 方 程 ： x 4 ( y 1) 0 3 l的 一 般 方 程 ： x 4 y 4 0 3
直 5(3) 求 过 点 P 3， 4 ） 且 在 两 坐 标 轴 上 截 距 的 绝 对 值 相 等 的 直 线 方 程 . （ 线 y
解 ： 当 直 线 l的 方 向 向 量 m (1,1) (1)
直 线
来研究直线；
解析几何
我们在初中平面几何中学习过直线及其性质。这里我们将从一个新的视角
通过在平面坐标系中建立直线的方程，用方程的特性来研究直线的相交、 垂直和平行等几何性质。 用代数方法研究几何图形的学问在数学中称为解析几何学。
直线 圆 解析几何 椭圆 圆 锥 曲 线 双 曲 线 抛 物 线 （还包含坐标平移、极坐标）
关 于 P (1, 1)的 对 称 点 分 别 为
A1 (2, 4 ) B1 ( 1, 2 ) 直 线 l的 方 向 向 量 A1 B1 ( 3, 2 )
那么，
这个方程就叫做这条直线的方程； 同时这条直线也叫做这个方程的直线。
直 线
1 、 已 知 直 线 l 过 点 P ( x 0 , y 0 ), 且 l 平 行 于 非 零 向 量 d ，d u， v） （
y
l
Q ( x , y )
d (u , v )
设 Q ( x, y ) l PQ // d P Q ( x x 0 , y y 0 )， d u， v） （
设 l2 l B
B (10 3 a , 2 a )

P B
2(10 3 a ) (2 a ) 8 0 a 2
A ( 4, 2 )
直 线 l的 方 向 向 量 P A
A
( 4 ,1)
直 线 l的 点 方 向 式 方 程 ： x
P ( x0 , y0 )
o
x
直 线 l的 方 向 向 量 “ 不 惟 一 ”
v ( x x 0 ) u ( y y 0 ) ( )
方 程 （ *）
我 们 把 方 程 （ *） 叫 做 直 线 l 的 方 程 ； 直 线 l 叫 做 方 程 （ *） 的 图 形 。
把与直线 l 平行的向量叫做直线 l 的方向向量 （直线 l 的方向向量不唯一） d u，v） （
如：直线 x 3 y 4
3 1的 横 截 距 a _ _ _ _ _ _ 纵 截 距 b 4 _ _ _ _ __
5、 求 与 直 线 3 x 4 y 5 0 有 相 同 方 向 向 量 、 且 横 截 距 为 - 3 的 直 线 l 方 程 . (1) ( 2 )求 与 直 线 3 x 4 y 5 0 有 相 同 法 向 量 、 且 纵 截 距 为 - 1 的 直 线 l方 程 .