4.1.1圆的标准方程(1)

(5 − a) 2 + (1 − b) 2 = r 2 a=2 2 2 2 (7 − a ) + (−3 − b) = r ⇒ b = −3 (2 − a ) 2 + (−8 − b) 2 = r 2 r = 5
所求圆的方程为
(x − 2) + ( y + 3) = 25
3 2、 1 D
4.1.1圆的标准方程 圆的标准方程
舞钢市二高
李海亭
复习引入
1.圆的定义 1.圆的定义
平面内到定点的距离等于定长的点的集合。 平面内到定点的距离等于定长的点的集合。 定点的距离等于定长的点的集合
C
·
r
定点 定长
圆心 半径
2.两点间距离公式： 两点间距离公式： 两点间距离公式
已知点 P ( x1 , y1 )，P2 ( x2 , y2 ) ，则 1
若点到圆心的距离为d半径为r， 若点到圆心的距离为d半径为r (1)d>r时 点在圆外； (1)d>r时，点在圆外； d>r 圆外 (2)d=r时 点在圆上； (2)d=r时，点在圆上； d=r 圆上 (3)d<r时 点在圆内; (3)d<r时，点在圆内; d<r 圆内
练习
(1)( x + 3) + ( y − 4) = 5
的三个顶点的坐标分别是A(5,1), 例2 ⊿ABC的三个顶点的坐标分别是 的三个顶点的坐标分别是 B(7,-3),C(2,-8),求它的外接圆的方程 求它的外接圆的方程. 求它的外接圆的方程 解：设所求圆的方程为： 设所求圆的方程为：
(x − a) + ( y −b) = r
2 2
2
因为A(5,1),B (7,-3),C(2,8)都在圆上 因为 都在圆上
2 2
2
A
2.圆心 2.圆心
①两条直线的交点 弦的垂直平分线） （弦的垂直平分线） ②直径的中点
O C C B
3.半径 3.半径
①圆心到圆上一点的距离 ②圆心到切线的距离
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x
作业
习题4.1 A组 教材 习题 组 2 、3、4 3、
x + y =r
2 2
2
写出圆心为A(-2,3),半径长等于 的圆的 半径长等于5的圆的 例1 写出圆心为 半径长等于 方程,并判断点 并判断点M 方程 并判断点 1(2,6), M2(- 5 ,-1)是否在这个 是否在这个 圆上. 圆上
解: 所求的圆的标准方程是(x+2)2+(y-3)2=25
点和圆的位置关系： 点和圆的位置关系：
(x−a) +(y−b) =r
2 2
(x − a) + ( y −b) = r
2 2
2
圆的标准方程
圆心C(a,b),半径r 圆心 ( , ),半径 ),半径 y M(x,y) ( , ) O x
(x − a) + ( y −b) = r
2 2
2
C
标准方程 若圆心为O（ ， ），则圆的方程为： ），则圆的方程为 若圆心为 （0，0），则圆的方程为：
直平分线 O x
C
B(2,-2) ( , )
l : x − y +1 = 0
圆心： 圆心：两条直线的交点 半径： 半径：圆心到圆上一点
解：设点C（a，b）为直径 P1 P2 设点 （ ， ） 的中点，则 的中点，
教材121页 练习 3 教材 页
圆心坐标为（5，6） 圆心坐标为（ ， ）
9+3 4+6 =6 a= =5 b= 2 2
2 2
待定系数法
例2 方法二 y
A(5,1) ( , )
O M
x
B(7,-3) ( , )
C(2,-8) ( , ) 圆心： 圆心：两条弦的中垂线的交点 半径： 半径：圆心到圆上一点
己知圆心为C的圆经过点 例3.己知圆心为 的圆经过点 己知圆心为 的圆经过点A(1,1)和B(2,和 2),且圆心在直线 且圆心在直线l:x-y+1=0上,求圆心为 的圆 求圆心为C的圆 且圆心在直线 上 求圆心为 y 的标准方程. 的标准方程 A(1,1) ( , ) AB的垂 弦AB的垂
PP = 1 2
(x2 − x1) + ( y2 − y1 )
2
2
.
圆的标准方程
圆心是C( ),半径是 求圆的方程. 圆心是C(a,b),半径是r,求圆的方程. 设点M , )为圆C上任一点 上任一点， 设点 (x,y)为圆 上任一点， 则 |MC|= r 圆上所有点的集合 P = { M | |MC| = r } O C x y M(x,y) ( , )
2 2
1、教材120 页 练习 1
(2)r =| CM |= 5 (x −8)2 + ( y + 3)2 = 25
2、求圆心和半径 2
⑴圆 (x－1)2+ (y－1)2=9 圆心 (1, 1) ，半径3 半径 ⑵圆 (x－2)2+ (y+4)2=2 圆心 (2, －4) ，半径 2. ⑶圆 (x+1)2+ (y+2)2=m2 圆心 (－1, －2) ，半径 半径|m| －
2 2
16 = 5
C M
O
x
∴所求圆的方程为： 所求圆的方程为：
196 (x −1) + ( y −3) = 25
2 2
圆心： 圆心：已知
半径： 半径：圆心到切线的距离
小结
1.圆的标准方程 1.圆的标准方程
圆心C( , ), ),半径 圆心 (a,b),半径r
y
(x − a) + ( y −b) = r
P (4,9) 1
C
P2 (6,3)
r = CP 1 = （4 − 5） + 9 − 6） = 10 （
2 2
CM = 10
圆方程为
2 2 （x − 5）+ y − 6） = 10 （
CN = 13 > 10 CQ = 3 < 10
因此点M在圆上， 在圆外， 在圆内。 因此点 在圆上，点N在圆外，点Q在圆内。 在圆上 在圆外 在圆内
圆心： 圆心：直径的中点
半径： 半径：直径的一半
(1,3)为圆心 例4：求以C(1,3)为圆心,并且和直线3x-4y求以 (1,3)为圆心,并且和直线3 - 7=0相切的圆的方程 相切的圆的方程. 7=0相切的圆的方程. y
解： 设所求圆的半径为r 设所求圆的半径为 则：
r=
| 3 × 1- 4 × 3 - 7 | 3 +4