第7节 用行列式解线性方程组的克莱姆法则
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
a11 a21 A am 1
a12 a22 am 2
a1n a2 n amn
称为线性方程组（1）的系数矩阵，而
a11 a21 A am 1 a12 a22 a1n a2 n b1 b2 bm
bi b1 b2 bn a n1 ai 1 a11 a21 ai 2 ain a12 a1n a22 a2 n ， i 1, 2,, n. an 2 ann
故行列式为零。 由于行列式的第1行与第i+1行相同，
把它按第1行展开
a11 0 bi a21 a n1
a12 a1n a22 a2 n an 2 ann
（7.3）
自然要讨论类似的问题:
（1）给出（7.1）有解的一个充分条件；
（2）在该充分条件下，给出解的个数； （3）给出解的一个表达式。
定理7.4 如果线性方程组（7.3）的系数矩阵的行列
式 | A | 0，则方程组（7.3）有唯一的解
Bn B1 B2 x1 , x2 , , xn A A A （7.4）
Leabharlann Baiduj 1
n
0 bi A aij B j
j 1
n
因此, 得
ai 1 B1 A ai 2 B2 A ain Bn A bi，i 1, 2, , n
这表明方程组（7.3）的未知量 x1 , x2 , , xn分别用
( B1 A , B2 A , , Bn A ) 替代后每个方程变成了恒等式。 Bn A
( 1)
j 1
n
1 ( j 1)
aij
b2
anj 1 ann
a11 a1, j 1 bi A ( 1)
j 1 n 1 ( j 1)
( 1)
j 1
aij
a21 a2, j 1 a n1 a n , j 1
bi A aij B j
( 因此，
B1 A
,
B2 A
, ,
) 是方程组（7.3）的解。
再证方程组（7.3）的解必由公式（7.4）表示。 下证 设x1 c1 , x2 c2 , , xn cn是(7.3)的任一解，
Bn B1 B2 c1 , c2 , , cn . A A A
由线性方程组解的定义，得到下面的一系列恒等式
a11 A1 j c1 a12 A1 j c2 a1n A1 j cn b1 A1 j a21 A2 j c1 a22 A2 j c2 a2 n A2 j cn b2 A2 j a A c a A c a A c b A n 2 nj 2 nn nj n n nj n1 nj 1
．
当k=2,5,8时，方程组有非零解。
作业：P125 Ex 2, 3
i 1
定理包括三个内容：方程组有解的条件，解的个数，
D | A | 0
解的公式。 三个结论是有联系的，因此证明的步骤是： 首先，把（7.4）代入方程组验证它是（7.3）的解； 然后，设方程组有解，证明解可由（7.4）表示。
证明 首先证明（7.4）是方程组（7.3）的解。
考察下面的n+1阶的行列式
例2 问k取何值时，齐次线性方程组有非零解?
(5 k ) x1 2 x2 2 x3 0 2 x1 (6 k ) x2 0 2 x1 (4 k ) x3 0
解 如果方程组有非零解，则必须系数行列式D=0.
5k 2 2 D 2 6 k 0 (5 k )(2 k )(8 k ) 2 0 4k
am 2 amn
称为线性方程组（1）的增广矩阵。
二、克莱默法则
行列式理论在解一类特殊的线性方程组方面有重要 应用。已经知道，对于二元一次和三元一次方程组， 方程组有唯一公式解。 当方程组系数行列式不为0时，
对未知量和方程个数相等的一般线性方程组
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a21 x1 a22 x2 a2 n xn b2 a x a x a x b nn n n n1 1 n 2 2
n
b A
i 1 i
n
ij
Bj .
从而 即
0 0 A c j 0 0 Bj
cj Bj A , j 1,2, , n.
推论7.2 如果齐次线性方程组
a11 x1 a12 x2 a1n xn 0 a21 x1 a22 x2 a2 n xn 0 a x a x a x 0 n2 2 nn n n1 1
即
a11 a21 Bj a n1
a1, j 1 a2, j 1 a n , j 1
b1 a1, j 1 b2 a2, j 1 bn an , j 1
a1n a2 n ann
n
b1 A1 j b2 A2 j bn Anj bi Aij .
a1n a2 n ， ann
其中
a11 a21 Bj a n1
a1, j 1 a2, j 1 a n , j 1
b1 a1, j 1 b2 a2, j 1 bn an , j 1
j 1,2,, n.
逆否命题？
的系数行列式不等于0，则它只有零解。
例1 判断下述命题是否正确 （1）如果线性方程组(7.3)的系数行列式不等于0， 则方程组一定有解，且解是唯一的。 （2）如果线性方程组(7.3)无解或有两个不同解， 则方程组的系数行列式必为零。 （3）如果齐次线性方程组的系数行列式不等于0，
则齐次方程组没有非零解，即只有零解。
a11c1 a12c2 a1n cn b1 a c a c a c b 21 1 22 2 2n n 2 an1c1 an 2c2 ann cn bn
用 Aij 乘上面方程组的第i (i 1, 2,, n) 个式子得
b1 a11 a1 j 1 a21 a2 j 1 bn an1 anj 1
把第1列与其后的 j-1列逐次交换
a1 j 1 a1n a2 j 1 a2 n
b1 b2 bn a1, j 1 a1n a2, j 1 a2 n an , j 1 ann
把上面的n个式子相加且按 c1 , c2 , , cn 分类 ，得
( ai 1 Aij )c1 ( aij Aij )ck ( ain Aij )cn bi Aij
i 1 i 1 i 1 i 1 n n n n
由行列式按列展开的性质知
A, jk aik Aij 0, j k , j 1, 2, , n; i 1
a12 a22 am 2
a1n a2 n amn
称为线性方程组（1）的系数矩阵，而
a11 a21 A am 1 a12 a22 a1n a2 n b1 b2 bm
bi b1 b2 bn a n1 ai 1 a11 a21 ai 2 ain a12 a1n a22 a2 n ， i 1, 2,, n. an 2 ann
故行列式为零。 由于行列式的第1行与第i+1行相同，
把它按第1行展开
a11 0 bi a21 a n1
a12 a1n a22 a2 n an 2 ann
（7.3）
自然要讨论类似的问题:
（1）给出（7.1）有解的一个充分条件；
（2）在该充分条件下，给出解的个数； （3）给出解的一个表达式。
定理7.4 如果线性方程组（7.3）的系数矩阵的行列
式 | A | 0，则方程组（7.3）有唯一的解
Bn B1 B2 x1 , x2 , , xn A A A （7.4）
Leabharlann Baiduj 1
n
0 bi A aij B j
j 1
n
因此, 得
ai 1 B1 A ai 2 B2 A ain Bn A bi，i 1, 2, , n
这表明方程组（7.3）的未知量 x1 , x2 , , xn分别用
( B1 A , B2 A , , Bn A ) 替代后每个方程变成了恒等式。 Bn A
( 1)
j 1
n
1 ( j 1)
aij
b2
anj 1 ann
a11 a1, j 1 bi A ( 1)
j 1 n 1 ( j 1)
( 1)
j 1
aij
a21 a2, j 1 a n1 a n , j 1
bi A aij B j
( 因此，
B1 A
,
B2 A
, ,
) 是方程组（7.3）的解。
再证方程组（7.3）的解必由公式（7.4）表示。 下证 设x1 c1 , x2 c2 , , xn cn是(7.3)的任一解，
Bn B1 B2 c1 , c2 , , cn . A A A
由线性方程组解的定义，得到下面的一系列恒等式
a11 A1 j c1 a12 A1 j c2 a1n A1 j cn b1 A1 j a21 A2 j c1 a22 A2 j c2 a2 n A2 j cn b2 A2 j a A c a A c a A c b A n 2 nj 2 nn nj n n nj n1 nj 1
．
当k=2,5,8时，方程组有非零解。
作业：P125 Ex 2, 3
i 1
定理包括三个内容：方程组有解的条件，解的个数，
D | A | 0
解的公式。 三个结论是有联系的，因此证明的步骤是： 首先，把（7.4）代入方程组验证它是（7.3）的解； 然后，设方程组有解，证明解可由（7.4）表示。
证明 首先证明（7.4）是方程组（7.3）的解。
考察下面的n+1阶的行列式
例2 问k取何值时，齐次线性方程组有非零解?
(5 k ) x1 2 x2 2 x3 0 2 x1 (6 k ) x2 0 2 x1 (4 k ) x3 0
解 如果方程组有非零解，则必须系数行列式D=0.
5k 2 2 D 2 6 k 0 (5 k )(2 k )(8 k ) 2 0 4k
am 2 amn
称为线性方程组（1）的增广矩阵。
二、克莱默法则
行列式理论在解一类特殊的线性方程组方面有重要 应用。已经知道，对于二元一次和三元一次方程组， 方程组有唯一公式解。 当方程组系数行列式不为0时，
对未知量和方程个数相等的一般线性方程组
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a21 x1 a22 x2 a2 n xn b2 a x a x a x b nn n n n1 1 n 2 2
n
b A
i 1 i
n
ij
Bj .
从而 即
0 0 A c j 0 0 Bj
cj Bj A , j 1,2, , n.
推论7.2 如果齐次线性方程组
a11 x1 a12 x2 a1n xn 0 a21 x1 a22 x2 a2 n xn 0 a x a x a x 0 n2 2 nn n n1 1
即
a11 a21 Bj a n1
a1, j 1 a2, j 1 a n , j 1
b1 a1, j 1 b2 a2, j 1 bn an , j 1
a1n a2 n ann
n
b1 A1 j b2 A2 j bn Anj bi Aij .
a1n a2 n ， ann
其中
a11 a21 Bj a n1
a1, j 1 a2, j 1 a n , j 1
b1 a1, j 1 b2 a2, j 1 bn an , j 1
j 1,2,, n.
逆否命题？
的系数行列式不等于0，则它只有零解。
例1 判断下述命题是否正确 （1）如果线性方程组(7.3)的系数行列式不等于0， 则方程组一定有解，且解是唯一的。 （2）如果线性方程组(7.3)无解或有两个不同解， 则方程组的系数行列式必为零。 （3）如果齐次线性方程组的系数行列式不等于0，
则齐次方程组没有非零解，即只有零解。
a11c1 a12c2 a1n cn b1 a c a c a c b 21 1 22 2 2n n 2 an1c1 an 2c2 ann cn bn
用 Aij 乘上面方程组的第i (i 1, 2,, n) 个式子得
b1 a11 a1 j 1 a21 a2 j 1 bn an1 anj 1
把第1列与其后的 j-1列逐次交换
a1 j 1 a1n a2 j 1 a2 n
b1 b2 bn a1, j 1 a1n a2, j 1 a2 n an , j 1 ann
把上面的n个式子相加且按 c1 , c2 , , cn 分类 ，得
( ai 1 Aij )c1 ( aij Aij )ck ( ain Aij )cn bi Aij
i 1 i 1 i 1 i 1 n n n n
由行列式按列展开的性质知
A, jk aik Aij 0, j k , j 1, 2, , n; i 1