三阶行列式与线性方程组
行列式定义性质与计算
二阶行列式是所有位于对角线上的元素和它们不相邻的元素的 总和。
计算方法
用代数余子式展开，然后进行简单的代数运算。
例子
对于二阶行列式
二阶行列式的计算方法
``` |ab| |cd|
二阶行列式的计算方法
```
其值为 a*d - b*c。
三阶行列式的计算方法
01
02
定义
计算方法
三阶行列式是所有位于对角线上的元 素和它们不相邻的元素的总和，共有 6个项，每个项都是不同行不同列的 三个元素的乘积。
矩阵除法中行列式的应用
总结词
矩阵除法中，行列式可以帮助我们确定可 逆矩阵的逆矩阵。
VS
详细描述
在矩阵除法中，我们经常需要求出可逆矩 阵的逆矩阵。这时，行列式可以帮助我们 确定逆矩阵。具体来说，对于一个可逆矩 阵A，其行列式值|A|不为0，这意味着A 存在逆矩阵。通过使用行列式，我们可以 轻松地找到A的逆矩阵。
n阶行列式定义
01
n阶行列式是由n行n列组成的矩阵， 其值由其元素的代数余子式决定。
02
n阶行列式的一般形式为： D=a11a22...ann=(1)^t(P)i=1n(ai1j1+ai2j2+...+ainjn)j 1j2...jn(P)i=1n(ai1j1+ai2j2+...+ainj n)j1j2...jn其中t为P的逆序数，P为排 列。
解法
通过将方程组转化为行列式形式，可以求解未知数 的值。
步骤
将方程组转化为行列式形式后，根据行列式的性质 ，通过展开行列式得到未知数的值。
三阶线性方程组的解法
定义
三阶线性方程组是由三个方程组成的，每个方 程中包含未知数的三阶线性项和常数项。
高等数学附录1-二阶三阶行列式简介
Dx1 D1 , Dx2 D2 .
则二元线性方程组的解为
b1
a12
a11
b1
D1 b2 a22 x1 , D a11 a12 a21 a22
注意
D2 a21 b2 x2 . D a11 a12 a21 a22
分母都为原方程组的系数行列式.
两式相减消去 x2，得
（a11a22 a12a21）x1 b1a22 a12b2 ;
类似地，消去 x1，得 （a11a22 a12a21）x2 a11b2 b1a21 ,
当 a11a22 a12a21 0 时， 方程组的解为
b1a22 a12b2 a11b2 b1a21 x1 ， x2 . a11a22 a12a21 a11a22 a12a21
一、二阶行列式的引入
用消元法解二元线性方程组
a11 x1 a12 x2 b1 , a21 x1 a22 x2 b2 .
1 2
1 a22 : 2 a12 :
a11a22 x1 a12a22 x2 b1a22 , a12a21 x1 a12a22 x2 b2a12 ,
例1 求解二元线性方程组
2 x 3 y 8, x 2 y 3 .
解
D1
D
8
2
3
3
1 2
2 ( 2) 3 1 7 0,
2 8
3 2
7, D2
1 3
14,
14 D1 7 D2 2. 1, x2 x1 D 7 D 7
(2)降阶法 a11 a12
a13 a23 a33
三阶行列式向量
三阶行列式向量一、什么是行列式向量在线性代数中，矩阵是一个有限个数的数按一定规律排列成的矩形阵列。
在矩阵的基础上，行列式向量是一种重要的概念。
它是通过将数按一定规则排列形成的一种新的数学结构。
行列式向量不仅可以用于解线性方程组，还在计算机科学、统计学等领域有着广泛的应用。
二、三阶行列式向量的定义三阶行列式向量是由3x3矩阵中元素按一定规则排列形成的。
具体而言，三阶行列式向量由三行三列的矩阵形成，如下所示：[a b c d e f g ℎi] 其中，a 、b 、c 、d 、e 、f 、g 、h 、i 是矩阵中的元素。
三阶行列式向量可用记法表示为：∣∣∣∣∣∣a b c d e f g ℎi ∣∣∣∣∣∣ 三、计算三阶行列式向量的方法计算三阶行列式向量的方法有多种，其中常用的方法是按代数余子式和拉普拉斯展开定理进行计算。
下面将分别介绍这两种计算方法。
3.1 按代数余子式计算按代数余子式计算三阶行列式向量的方法主要包括以下几个步骤：1. 将原始矩阵按第一行展开，得到：a ∣∣∣e f ℎi ∣∣∣−b ∣∣∣d f g i ∣∣∣+c ∣∣∣de g ℎ∣∣∣2. 计算各个代数余子式的值，其中代数余子式的计算方法为：(−1)i+j M ij，其中M ij表示将第i 行第j 列的元素划去后所形成的2x2矩阵的行列式向量。
3. 将步骤1中的各个代数余子式的值带入，计算得出最终的行列式向量的值。
3.2 拉普拉斯展开定理计算拉普拉斯展开定理是计算行列式向量的常用方法之一，其步骤如下：1. 选择矩阵中的任意一行或一列，假设选择第一行。
2. 以选择的行或列为基准，将行列式向量展开成若干个二阶行列式向量。
3. 计算每个二阶行列式向量的值，并根据相应的符号将它们加和得到最终的行列式向量的值。
3.3 计算示例假设有以下的三阶行列式向量：∣∣∣∣∣∣123456789∣∣∣∣∣∣ 按代数余子式的方法，展开计算如下：1∣∣∣5689∣∣∣−2∣∣∣4679∣∣∣+3∣∣∣4578∣∣∣ 计算代数余子式的值：1(5×9−6×8)−2(4×9−6×7)+3(4×8−5×7)计算得出最终的行列式向量的值。
三阶行列式的定义
2 2 D1 1 0 1 D3 2 1 1 1
1
1
2 1 0
1 3 10, 1
3 5, D2 2 1 1
2 2 1 1 1 5, 0
D3 x3 1. D
18
故方程组的解为: D1 D2 x1 1, x2 2, D D
在自然科学研究中，我们会遇到许多 n 元一次 方程组
15
a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1 , a21 x1 a22 x2 a23 x3 b2 , a x a x a x b ; 31 1 32 2 33 3 3 b1 D1 b2 b3 a13 a23 , a33 a12 a13 a22 a23 , a32 a33 a11 a12 b1 D3 a21 a22 b2 . a31 a32 b3
22
例如
排列32514 中，
0 0
1
3 2 5 1 4
1 逆序数为3
故此排列的逆序数为3+1+0+1+0=5.
排列的奇偶性
逆序数为偶数的排列称为偶排列；
逆序数为奇数的排列称为奇排列.
23
例
计算下列排列的逆序数，并讨论它 们的奇偶性.
1 nn 1n 2 321
2 2k 12k 122k 232k 3k 1k
013222321321321xxxxxxxxx解由于方程组的系数行列式111312121??????????d????111????????????????132??????121???????111????????????122?????????131????5????0??文档仅供参考如有不当之处请联系本人改正
三阶行列式快速计算方法
三阶行列式快速计算方法行列式是线性代数中的一种重要概念，用于描述线性方程组的性质和解的情况。
在实际应用中，计算行列式是一项常见的任务。
本文将介绍一种快速计算三阶行列式的方法，以帮助读者更高效地解决相关问题。
我们先回顾一下三阶行列式的定义。
对于一个三阶行列式：```a b cd e fg h i```它的计算公式为：```det(A) = aei + bfg + cdh - ceg - bdi - afh```其中，a、b、c、d、e、f、g、h、i分别表示行列式中的元素。
接下来，我们将介绍一种快速计算三阶行列式的方法，即按列展开。
按列展开是指以行列式的每一列为基准，依次将每一列的元素与其余两列的元素相乘，并根据符号规律求和。
我们以第一列为基准，将第一列的元素与第二列和第三列的元素相乘，并根据符号规律求和。
计算过程如下：```| aei + bfg + cdh - ceg - bdi - afh |```接下来，我们以第二列为基准，将第二列的元素与第一列和第三列的元素相乘，并根据符号规律求和。
计算过程如下：```| -(dhi + efg + gac - gec - bdi - afh) |```我们以第三列为基准，将第三列的元素与第一列和第二列的元素相乘，并根据符号规律求和。
计算过程如下：```| aei + bfg + cdh - ceg - -(dhi + efg + gac - gec - bdi - afh) |```通过按列展开的方法，我们可以快速计算出三阶行列式的值。
这种方法的优势在于简化了计算过程，使得计算更加高效。
除了按列展开的方法，我们还可以利用行列式的性质来简化计算过程。
例如，行列式的性质之一是行列式对调换行列式的值不变，即行列式的转置行列式与原行列式的值相等。
因此，我们可以通过转置行列式的方法来简化计算。
以三阶行列式为例，我们可以将行列式转置后按列展开，然后再取负号。
这样，我们可以得到与原行列式值相等的转置行列式，从而简化计算过程。
线性代数 行列式
同济大学
第一章 行列式
§1 二、三阶行列式
n
用消元法解线性方程组
a11 x1 + a12 x2 = b1 a21 x1 + a22 x2 = b2
n
得
( a11a22 − a12a21 ) x1 = b1a22 − b2a12 ( a11a22 − a12a21 ) x2 = b2a11 − b1a21
=
−
2 2 − 3 4 r3 −2 r2 , r4 + r2 = − 2 3 7 −1 5 6
2 −1 1 2 2 −1 1 2 c3 ↔ c4 0 1 4 − 3 r4 +10 r3 0 1 4 − 3 = = 0 0 −1 9 0 0 −1 9 0 = 92 0 10 2 0 0 0 92
例2
2 6 −4 D= 3 2 0 4 1 5
2 6 −4 2 6 −4 3a 2a 0 = a3 2 0 = aD 4 1 5 4 1 5
推论
n
n
n
（1）行列式某行（列）有公因式，可提 到行列式前面 （2）如果行列式两行（列）元素对应成 比例，该行列式为零 （3）如果行列式有零行（列），行列式 结果为零
a + ( n − 1)b b L a b a−b O a−b L b = [a + (n − 1)b]( a − b) n −1
=
例4
a D4 = b c a +b+c d a +b+c +d
ri −ri−1,i=4,3,2
a b =
c
d a +b+c
a a +b
0 a a +b
行列式和线性方程组的求解
行列式在解线性方程组中的优势与局限性
优势
行列式可以用来判断线性方程组的解的情况，如是否有解、解的个数等，同时也可以用于求解某些特 定类型的线性方程组。
局限性
对于一些复杂或大规模的线性方程组，直接利用行列式求解可能比较困难或计算量较大，此时需要考 虑其他方法或工具进行求解。
THANKS
谢谢
当线性方程组的系数行列式不为零时，克拉默法则适用。
克拉默法则的原理基于代数余子式的概念，通过代数余子式的计算，可以得出系数和常数项之间的关系。
应用克拉默法则的步骤
第一步
计算系数行列式D，确保D≠0。
第二步
根据D的值，计算每个未知数的系数行列式Di（i=1,2,3...n）。
第三步
根据Di的值，计算每个未知数的代数余子式Ai。
迭代法
通过迭代过程逐步逼近方程组的解，常用的迭代法有雅可比法、高斯 -赛德尔迭代法和松弛法等。
03
CHAPTER
高斯消元法求解线性方程组
消元过程
初始化
将线性方程组转化为增广矩阵形式，并存储在矩阵中。
消元
通过行变换将增广矩阵中的某一行或某一列的元素化 为零，以便消除该行或列中的未知数。
迭代
重复上述步骤，直到所有未知数都被消除。
回带过程
确定主元
在回带过程中，选择主元是为了保证计算的稳定性 和准确性。主元应选择绝对值最大的元素。
回带
从最后一行开始，将已求解的未知数代入增广矩阵 中，并计算出其他未知数的值。
迭代
重复上述步骤，直到所有未知数的值都被计算出来。
算法的优缺点
优点
高斯消元法是一种简单、直观且易于理 解的算法，适用于大多数线性方程组。 它能够精确求解方程组，且在主元选择 合适的情况下具有较高的计算效率和稳 定性。
线性代数第一章二元、三元方程组与二阶与三阶行列式
20 2020/7/4
a00b
例2：计算
0 D
0
c e
d f
0 0
g00h
解 D是一个4!=24项的代数和.
在这24项中,除了 acfh, adeh, bdeg, bcfg 这四项之外,
其余的项都至少含有一个0因子,因而为0.
上面四项的行标都是按标准序排列,列标依次为: 1234,1324,4321,4231.
12 n ;
n
对角行列式
1
2
n n 1
1 2 12 n.
n
次对角行列式
24 2020/7/4
0 001 0
0 0200
例4 计算 Dn
n 1 0 0 0 0
0 000n
00
00
解 Dn
n 1 0
00
010
200
1 n1n2 321n n!
a31 a32 a33
a31 a32 a33
9 2020/7/4
1 2 4
例2：计算三阶行列式 D 2 2 1
3 4 2
解：D 122 21 3 (4)(2) 4
114 2(2)(2) (4) 2(3)
4 (6) 32 4 8 24
14
0 xy
abc
练习：x 0 z 0, b c a 3abc a3 b3 c3.
当 a11a22 a12a21 0 时， 得方程组（1）的惟一解：
2020/7/4
x1
b1 a 2 2 a1 1a 2 2
a12b2 a12a21
;
b1 a12
=
b2 a22 a11 a12
D1 D
a21 a22
3阶行列式展开公式
3阶行列式展开公式【原创版】目录1.3 阶行列式的概念2.3 阶行列式展开公式的推导3.3 阶行列式展开公式的应用正文一、3 阶行列式的概念行列式是数学中的一个重要概念，主要用于解决线性方程组等问题。
3 阶行列式指的是一个 3x3 的矩阵，即包含 3 行 3 列的元素，这些元素按照一定规则组合后所得的值。
例如：| a11 a12 a13 || a21 a22 a23 || a31 a32 a33 |二、3 阶行列式展开公式的推导3 阶行列式展开公式是指将一个 3 阶行列式按照一定规则展开后得到的表达式。
为了方便记忆和计算，我们可以通过拉普拉斯展开式来推导3 阶行列式的展开公式。
拉普拉斯展开式是一种通用的行列式展开方法，即：D = a11 * C11 - a12 * C12 + a13 * C13= a21 * C21 - a22 * C22 + a23 * C23= a31 * C31 - a32 * C32 + a33 * C33其中，D 代表 3 阶行列式，aij 代表矩阵的元素，Cij 代表代数余子式，即去掉第 i 行和第 j 列后的 2 阶行列式的值。
三、3 阶行列式展开公式的应用3 阶行列式展开公式在实际应用中具有重要意义，它可以帮助我们快速计算行列式的值，从而解决线性方程组等问题。
例如，在计算如下 3 阶行列式的值时，我们可以直接应用展开公式：D =| 1 2 3 || 4 5 6 || 7 8 9 |按照拉普拉斯展开式，我们可以得到：D = (1 * C11 - 2 * C12 + 3 * C13) - (4 * C21 - 5 * C22 + 6 * C23) + (7 * C31 - 8 * C32 + 9 * C33)通过计算代数余子式，我们可以得到行列式的值。
高等代数课件 第三章
,
k2
,,
k
s
, i, j
i,.
但（2）正是对（1）施行 i, j 对换而得到的排列。因此，
对（1）施行对换i, j相当于连续施行2s+1次相邻数码的对
换。由（1），每经过一次相邻两数码的对换，排列都改变
奇偶性。由于2s+1是一个奇数，所以（1）与（2）的奇偶性
相反。
定理3.2.3 在n个数码(n>1)的所有n！个排列，
称为三阶行列式, 即
主对角线法
a11 a12 a13 D a21 a22 a23
a31 a32 a33
‘—’三元素乘积取“+”号； ‘—’三元素乘积取“-”号.
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31
二、行列式在线性方程组中的应用
(1) (k1k2kn ) 。然而 (12n) 0 。由上面的讨论
可知
(1)st (1) (12n) (k1k2kn ) (1) (k1k2kn )
引理被证明。
二、行列式的性质
命题3.3.1 行列式与它的转置行列式相等，即D D 命题3.3.2 交换一个行列式的两行（或两列）， 行列式改变符号。
（旁边的i和j表示行的序 数）
D的每一项可以写成
（5） a1k1 aiki a jkj ankn
因为这一项的元素位于D1 的不同的行与不同的列，所以它也 （是同5项D）1对在的应D一中着项的D，1符反的号过不是来同(，项1D，)1的(因k1每此ki一Dk j与 项kn也D) ，1含是然D有而的相在一同D项的1，中项并，。且原D行的列不
(1)
如果含有两个未知量两个方程的线性方程组(1)
行列式的意义
⾏列式的意义三、⾏列式的⼏何意义：⾏列式的定义：⾏列式是由⼀些数据排列成的⽅阵经过规定的计算⽅法⽽得到的⼀个数。
当然，如果⾏列式中含有未知数，那么⾏列式就是⼀个多项式。
它本质上代表⼀个数值，这点请与矩阵区别开来。
矩阵只是⼀个数表，⾏列式还要对这个数表按照规则进⼀步计算,最终得到⼀个实数、复数或者多项式。
⼀阶⾏列式（注意不是绝对值）⼆阶⾏列式三阶⾏列式N阶⾏列式⾏列式的⼏何意义是什么呢？概括说来有两个解释：⼀个解释是⾏列式就是⾏列式中的⾏或列向量所构成的超平⾏多⾯体的有向⾯积或有向体积；另⼀个解释是矩阵A的⾏列式detA就是线性变换A下的图形⾯积或体积的伸缩因⼦。
这两个⼏何解释⼀个是静态的体积概念，⼀个是动态的变换⽐例概念。
但具有相同的⼏何本质，因为矩阵A表⽰的（矩阵向量所构成的）⼏何图形相对于单位矩阵E的所表⽰的单位⾯积或体积（即正⽅形或正⽅体或超⽴⽅体的容积等于1）的⼏何图形⽽⾔，伸缩因⼦本⾝就是矩阵矩阵A表⽰的⼏何图形的⾯积或体积，也就是矩阵A的⾏列式。
⼆阶⾏列式的⼏何意义：⼆阶⾏列式的⼏何意义是xoy平⾯上以⾏向量为邻边的平⾏四边形的有向⾯积。
⼆阶⾏列式的⼏何意义就是由⾏列式的向量所张成的平⾏四边形的⾯积。
另外，两个向量的叉积也是这个公式。
⼆阶⾏列式的另⼀个意义就是是两个⾏向量或列向量的叉积的数值，这个数值是z轴上（在⼆维平⾯上，z轴的正向想象为指向读者的⽅向）的叉积分量。
如果数值是正值，则与z坐标同向；负值就与z坐标反向。
如果我们不强调叉积是第三维的向量，也就是忽略单位向量，那么⼆阶⾏列式就与两个向量的叉积完全等价了。
⼆阶⾏列式性质的⼏何解释：两向量在同⼀条直线上，显然围成的四边形的⾯积为零，因此⾏列式为零这个性质由⾏列式的叉积特性得到，交换⾏列式的两⾏，就是改变了向量a和向量b的叉积顺序，根据，因此⾏列式换号。
把⾏列式的⼀⾏的k倍加到另⼀⾏，则⾏列式值不变，即矩阵的⾏列式等于其转置矩阵的⾏列式（根据⾏列式的定义可证）总结：（1）⽤⼀个数k乘以向量a,b中之⼀的a，则平⾏四边形的⾯积就相应地增⼤了k倍；（2）把向量a,b中的⼀个乘以数k之后加到另⼀个上，则平⾏四边形的⾯积不变；（3）以单位向量(1，0)，(0，1)构成的平⾏四边形(即单位正⽅形)的⾯积为1。
二阶、三阶行列式及n阶行列式的概念
( ji ) (ij ) 1
(2)不相邻对换
ik1 ks j jk1 ksi
需要进行 2s+1 次相邻对换. 所以对换改变排列的奇偶性.
定理2 全部 n(2)阶排列中奇偶排列 各占一半. 证 设 n !个 n 阶排列中有s(t)个奇(偶)排列
s t n!
D3 D1 D2 x1 , x2 , x2 D D D
3 0 4 1 1 2 4 1 1 4 1 2 3 2 1 2 1 0 10
问题：4 阶行列式应如何定义?
a11 a21 a31 a41 a12 a22 a32 a42 a13 a23 a33 a43 a14 a24 a34 a44
a11 a12 a a a a 0 D 11 22 12 21 a21 a22
b1 a12 D1 b1a22 a12b2 b2 a22
a11 b1 D2 a11b2 b1a21 a21 b2
当系数行列式 D 0时,则方程组有 唯一解,其解可表示为: D1 D2 x1 , x2 D D
为 3！项代数和; 每项为取自不同行列的3个元素之积; 行按自然顺序取时,每项符号由列标排 列的奇偶性决定.
n阶行列式定义: 定义
a11 a21 an1 a12 a22 an 2 a1n a2 n ann
j1 j2 jn
(1)
( j1 j2 jn )
a1 j1 a2 j2 anjn
此行列式可简记为 de t (aij )nn 或 det(aij ).
归纳如下：
为 n!项代数和; 每项为取自不同行列的n个元素之积; 行按自然顺序取时,每项符号由列标排 列的奇偶性决定. 注 用定义只能计算一些简单的行列式.
行列式的性质和线性方程组的求解讲解
三阶行列式
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33
=以,, 为邻边的平
行六面体的有向体积
,, 构成右手法则体积
为正，左手法则体积为负
n阶行列式
n个n维向量构成的平行多面体的有向体积。
课后思考题
设n阶行列式 1 2 3n 1 2 0 0
1 a a x
1 a a a 0 xa 0 0
rj r1 ( j:2,3,,n)
[x (n 1)a] 0 0 x a 0
0 0 0 xa
[x (n 1)a](x a)n1
例6 计算n阶行列式
a1 1 1 … 1
x a a a a x a a Dn a a x a
a a a x
x (n 1)a a a a
x (n 1)a x a a
解
c1ci (i2,3,,n)
Dn x (n 1)a a x a
x (n 1)a a a x 1 a a a 1 x a a [x (n 1)a] 1 a x a
1. 给出了线性方程组的解与系数的显式关系式， 对理论研究很有意义
2. 该法则要求方程个数与未知量个数相等， 且系数行列式不等于0
3. 求解过程的计算量大
问题：一般的线性方程组如何求解？
第一章 行列式和线性方程组的求解
§1.4 线性方程组的求解
线性方程组的一般形式:
a11x1+a12x2+…+a1nxn = b1 a21x1+a22x2+…+a2nxn = b2 ………………… as1x1+as2x2+…+asnxn = bs
最完整的线代基础知识点
最完整的线代基础知识点第1章行列式1.1 n阶行列式1.1.1 二阶、三阶行列式起源：发现规律了，继续～从上述推倒可以看出，行列式说白了就是对方程求解的简化过程。
后续的所有变换也都是基于此的。
了解到根源了，就不难理解了。
知识点：（所有的知识其实都是不成体系的，体系都是人为归纳的，其实知识就是一个一个的点而已）1.对角线法则这个法则只能用在二阶和三阶，高阶有另外的算法，后面会介绍到，耐心往下看吧。
以后看到二三阶可以直接用这个算哦。
2.行列式应用（克莱姆法则）法则啥的就是别人先发现了，就是一个规律。
不用理解，直接记住。
（因为本来就是一个现象）小技巧：再算d1d2d3的时候默念一下d1换1（列）d2换2（列）d3换3（列）。
1.1.2 排列既逆序数起源：逆序数为奇数，为奇排列，偶数为偶排列。
知识点：1.任一排列经过对换后，必改变其奇偶性。
2.所有n阶排列中，奇排列与偶排列个数相同，各有n！/2个。
1.1.3 n阶行列式知识点：1.计算方法前面说了，n阶有其他方法，这个就是其中之一不过比较笨重难算一点。
只要看懂这个式子，这节就ok啦，看不懂的可以评论问我。
2.对角行列式对角行列式等于其对角元素的连乘，再加上一个逆序数。
因为除了去取对角之外但凡取到其他位置上的0，就会让这项变成0。
上三角行列式和下三角行列式与对角行列式类似，不能取0。
好题：1.对行列式中数字的选取规则理解如果不用分块矩阵的话，直接从定义出发，三行用两个书，必有一行选不到非零数。
1.2 行列式的性质知识点：1.行列式与它的转置行列式相同，即行与列为完全等价的。
2.互换行列式的两行或两列，行列式值变号3.若行列式有两行或两列元素相同则其行列式的值为04.行列式的某一行中所有元素都乘以k，等于用k数乘行列式5.如果行列式中某一行的元素都为0，则其值为06.若行列式有两列或两行元素成比例，则其为07.若两个行列式除了一行外相同，则可以相合。
相同的行不变，不同的行相加。
三阶行列式与线性方程组图文
图形化表示方法
三阶行列式的图形化表示
通过几何图形（如立方体、平行六面体等）来表示三阶行列式的各个元素，使得行列式的求解过程更 加直观。
线性方程组的图形化表示
通过平面直角坐标系或空间直角坐标系，将线性方程组的解表示为图形上的点、线或面，使得方程组 的解更加直观。
直观理解两者关系
要点一
通过图形化表示，可以直观地看 出三阶行列式与线性方程组之…
线性方程组的概念
线性方程组是由一组线性方程组成的方程组，用于求解多个未知数的 值。
三阶行列式与线性方程组的关系
三阶行列式可以用于判断线性方程组是否有解，以及求解线性方程组 中的未知数。
常见误区及注意事项
将三阶行列式与二阶行列式混淆，导致计算错误。需 要注意三阶行列式的计算规则与二阶行列式有所不同。
列式相似。
矩阵理论
行列式是矩阵理论中的重要概念， 高阶行列式的研究有助于深入理
解矩阵的性质和运算。
线性代数
在线性代数中，行列式与矩阵、 线性方程组等概念紧密相关，高 阶行列式的研究有助于解决更复
杂的线性代数问题。
与其他数学分支的联系
01
微分学
在多元函数微分学中，雅可比行列式（一种特殊的三阶行列式）用于表
矩阵基础
了解矩阵的基本概念、运算和性质，如矩阵的加法、数乘 、转置等。这些知识将为学习三阶行列式打下基础。
代数运算
具备基本的代数运算能力，如加法、减法、乘法、除法等 ，以及因式分解、整式运算等技巧。这些技能在计算三阶 行列式时将发挥重要作用。
02 三阶行列式基础
三阶行列式定义
表示方法
通常使用双竖线 || 或方括号 [] 表示 ，如 |a11 a12 a13| 或 [a11 a12 a13; a21 a22 a23; a31 a32 a33]。
高等数学附录1二阶三阶行列式简介
当主对角线元素相等且副对角线元素 也相等时，二阶行列式的值为零。
对于二阶行列式，主对角线元素之积 减去副对角线元素之积等于行列式的 值。
典型例题分析与解答
例题1
计算二阶行列式 |3 1|，|2 4| 的值。
解答
根据二阶行列式的定义，该行列式的值为 3*4 - 1*2 = 10 。
例题2
已知二阶行列式 |a 4|，|2 b| 的值为 -6，求a和b的值。
工程领域
在工程中，线性方程组常用于描述物理系统的状态或行为，如电路中的电流电压关系、力学中的力平衡等。 通过求解线性方程组，可以得到系统的稳定状态或行为规律。
计算机科学领域
在计算机科学中，线性方程组常用于图像处理、机器学习等领域。通过求解线性方程组，可以实现图像的变 换、数据的拟合等任务。
05 矩阵与行列式关系探讨
矩阵概念引入及基本运算回顾
矩阵定义与表示方法
由数字组成的矩形阵列，常用大写字母表示，如A、B等。
矩阵基本运算
包括加法、减法、数乘和乘法等，需满足相应运算规则。
矩阵转置
将矩阵的行和列互换得到的新矩阵，记为$A^T$。
矩阵秩、逆矩阵与行列式关系
矩阵秩
矩阵中非零子式的最高阶数，反映了矩阵的行或列向量组的线性 无关性。
关键知识点总结回顾
二阶行列式的定义
由2x2矩阵通过特定运算得到的数值，表示两个向量在二 维空间中的相对位置关系。
二阶、三阶行列式的计算方法
通过展开式或对角线法则进行计算。
ABCD
三阶行列式的定义
由3x3矩阵通过特定运算得到的数值，表示三个向量在三 维空间中的相对位置关系。
行列式的性质
包括行列式与矩阵转置的关系、行列式的乘法性质、行 列式的加法性质等。
几何与线性代数(第三章 行列式与矩阵)
n 2时 ，D a11 A11 a12 A12 a1n A1n a1 j A1 j j1
其中A1 j (1)1 j M1 j
a21 a2, j1
M1 j
a31
a3, j1
an1 an, j1
a2, j1 a2n a3, j1 a3n
an, j1 ann
( j 1,2,..,n)
ai1 j1 ai2 j1
aik j1
ai1 j2 ai2 j2
aik j2
ai1 jk ai2 jk
aik jk
非零子式
定义（秩）：非零矩阵A的非零子式的最高阶数称为A的秩， 记为r(A)或R(A)。规定：零矩阵的秩为0
注：最高阶数，即指A存在r阶非零子式，但所有r+1阶子式 （如果存在）都等于0，则最高阶数为r。 注：r(A)=r(AT)
例：
1 4 2
A 3 5 1
2 1 6
性质2：
a11
a12 a1n
a11 a12 a1n
kai1 kai2 kain k ai1 ai2 ann
推论：
** * * 0 0 0 0 ** * *
性质3：
***
*** ***
k (5) A1 1
A
规定：当A可逆时，A0 E, Ak ( A1 )k k N，则当r, s Z时，有
Ar As Ars , ( Ar )s Ars
伴随矩阵
a11
A
a21
an1
a12 a22
an2
a1n
A11
a2n ann
A*
A12
A1n
A21 A22
| A|
| A|
第三章行列式
二. n阶行列式的性质
命题3.3.9 设某行列式的第i行的所有元素都是两项之和, 则:
a11
a12 a1n
a11 a12 a1n a11 a12 a1n
bi1 ci1 bi2 ci2 bin cin bi1 bi2 bin ci1 ci2 cin
的常数, 称为aij未知数的系数, 称bi为常数项.
方程组(1)的一个解是指这样的一组数(k1, k2,,kn), 用它们依 次代替方程组(1)的未知数x1, x2,,xn后, (1)中的每一个方程都成为
恒等式.
后续内容介绍
线性方程组及其解法是线性代数的基本内容之一, 同时线 性代数的其它内容, 像矩阵、线性空间等, 都与它有着十分密 切的内在联系。
a12 x2 a22 x2
a13 x3 a23 x3
b1 b2
的系数行列式
a31x1 a32 x2 a33x3 b3
a11 a12 a13
D a22 a22 a23 0 时, 它的解为:
a31 a32 a33
其中:
x1
D1 D
,
x2
D2 D
,
x3
D3 D
第二节 排列
一. 基本概念
–1. 排列: n个数码1,2,…,n的一个排列是指由这n个数码 组成的一个有序组. n个数码的不同排列共有n!个.
–2. 反序数: 在一个排列里, 如果一个较大的数排在一个较 小的数的前面, 则称这两数构成一个反序. 一个排列中所 有反序的个数称为这个排列的反序数. 例如排列213的反 序数是1, 而排列231的反序数是2.