复变函数与积分变换第二章_解析函数解析

根据求导法则，易得到下面的结论.
设函数 f (z), g(z)在区域D内解析, 则
函数f (z)在z0处可导，则在z0处一定连续, 但 函数f (z)在z0处连续不一定在z0处可导.
事实上, 由 f (z)在z0点可导, 必有
lim
z0
f (z0
z) z
f (z0 )
f (z0 ) 0,
f (z0 z) f (z0 ) f (z0 )z (z)z,
再由 lim (z) 0, 所以 z0
z0
z
也可用
dw , df (z) dz dz
等表示 f (z)在z点的导数.
例2.1 设 f (z) z2, 则 f (z)在复平面内
处处可导，且 f (z) 2z.
解 因为
f (z) lim f (z z) f (z)
z0
z
(z z)2 z2
lim
z0
z
lim(2z z). z0
这说明 f (z) x 2 yi 在复面内处处连续.
但是, f (z z) f (z) z
( x x) 2( y y)i x 2 yi x yi
x 2yi .
x yi
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
y
设 z 沿着平行于x 轴的
方向趋向于 0, 即 x 0, y 0.
z o
y 0 x
x 2yi
z z0
z z0
存在，则称 f (z)在 z z0点可导, 并把这个极 限值称为 f (z) 在 z z0 点的导数，记做 f (z0 ).
定义中的极限式可以写为
lim f (z0 z) f (z0 ) ,
z0
z
即当 f (z)在 z z0 点可导时,
f (z0 )
lim
z z0
定理1.1 设 f (z) u( x, y) iv( x, y), 则 f (x)
(3) 求导法则
复变函数中导数的定义与一元实函数 导数的定义在形式上完全一致，同时，复变函 数中的极限运算法则也和实函数中一样，因而 实函数中的求导法则可推广到复变函数中，且 证明方法相同.
求导公式与法则:
(1) (c) 0, 其中c为复常数. (2) (zn ) nzn1, 其中n为正整数.
f (z) z
f (z0 ) z0
lim f (z0 z) f (z0 ) .
z0
z
注意 z z0 (z 0) 的方式是任意的.
若 f (z)在区域 D内每一点都可导, 则称 f (z)
在区域 D内可导.
此时，对D内任意一点z, 有
f (z) lim f (z z) f (z) .
(3) f (z) g(z) f (z) g(z).
(4) f (z)g(z) f (z)g(z) f (z)g(z).
f (z)
f (z)g(z) f (z)g(z)
(5)
g(z)
g2(z)
, ( g(z) 0).
(6) f [g(z)] f (w)g(z), 其中 w g(z).
(7) f (z) 1 , 其中 w f (z) 与 z (w) ( w )
是两个互为反函数的单值函数, 且(w) 0.
2.1.2 解析函数
定义2.2 设 f z在区域D有定义.
(1) 设 z0 D , 若存在 z0 的一个邻域，使得 f (z) 在此邻域内处处可导, 则称 f (z)在 z0处解析, 也称 z0是 f (z)的解析点.
由例2.1和例2.2知, 函数 f (z) z2是全
平面内的解析函数，但是函数 f (z) x 2 yi 是处处不解析的连续函数.
若函数 f (z)在 z0处不解析，则称 z0是 f (z) 的奇点. 若 z0 是 f (z) 的奇点, 但在 z0 的某邻域内, 除 z0外, 没有其他的奇点，则称 z0 是函数 f (z) 的孤立奇点.
第二章 解析函数
§2.1 解析函数 §2.2 函数可导的充要条件 §2.3 初等解析函数
§2.1 解析函数
1 复变函数的导数 2 解析函数
2.1.1 复变函数的导数
(1) 导数的定义
定义2.1 设 w f (z)是定义在区域D上的
复变函数, z0是区域D内的定点. 若极限
lim f (z) f (z0 )
所以 z2 2z.
例2.2 证明 f (z) x 2 yi 在复面内处处
连续，但处处不可导.
证明 对复平面内任意点z, 有 f (z z) f (z)
( x x) 2( y y)i x 2 yi x 2yi. 故 lim[ f (z z) f (z)] 0.
z0
(2) 若 f (z)在区域D内每一点都解析，则称
f (z)在区域D内解析, 或者称 f (z)是区域D内的
解析函数.
(3) 设G是一个区域，若闭区域 D G,
且 f (z)在G内解析，则称 f (z) 在闭区域 D 上
解析. 函数 f (z)在 z0处解析和在 z0 处可导意义
不同，前者指的是在 z0 的某一邻域内可导, 但后者只要求在 z0处可导.
函数 f (z)在 z0处解析和在 z0的某一个邻 域内解析意义相同.
复变函数在区域内解析与在该区域 内可导是等价的.
事实上，复变函数在区域内解析显然在该 区域内可导.
反之, 设函数 f (z)在区域D内可导, 则对 任意 z D, 存在z的某一个邻域U, 使得U D, 由 f (z)在D内可导, 可知 f (z)在U内可导, 即 f (z)在z处解析.
lim
z0
f
(z0
z)
f (z0),
即 f (z)在 z0处连续.
反之, 由例2.2 知, f (z) x 2 yi 不可导.
但是二元实函数 u( x, y) x, v( x, y) 2 y 连续,
例2.2 证明 f (z) x 2 yi 在复面内处处
于是根据 定理1连.1续知，, 但函处数处不f (可z)导. x 2 yi 连续.
x
lim
lim 1.
x0 x yi x0 x
y0
设 z 沿着平行于y 轴的方向趋向于 0, 即
x 0, y 0,
lim x 2yi lim 2yi 2.
x0 x yi
y0
y0 yi
所以 f (z) x 2 yi 的导数
不存在.
x 0 y
z o
y 0 x
(2) 可导与连续的关系