积分变换与场论复习重点

ℒ f1 (t ) f2 (t ) F1 (s)F2 (s)
ℒ
1
F1(s)F2 (s) f1(t) f2 (t)
七. 拉普拉斯变换的应用 微分、积分方程的Laplace变换解法 1). 原理
微分、积分
取Laplace变换
象函数的(代
方程
数、微分)方程
解代数或微分方程
象原函数
n (n)
t
设F [ f (t )] F ( )，若 tlim f (t )dt 0, 则
F [
t
1 f (t )dt ] F ( ) . i
五.卷积的概念 1.定义： 若函数 f1 (t ),
f 2 (t ) 定义在 , 上,

函数 f1 (t ), f 2 (t ) 的卷积, f1 (t ) f2 (t ) f1 ( ) f 2 (t )d
e i 0t f (t ) F ( 0 ) F
推论 设F [ f ( t )] F ( ) ，则对于实常数 , 有 0
1 F [cos 0 t f ( t )] [ F ( 0 ) F ( 0 )], 2 i F [sin 0 t f ( t )] [ F ( 0 ) F ( 0 )]. 2
(t t0 )
ℱ sin 0t =i ( 0 ) ( 0 ) ℱcos 0t = ( 0 ) ( 0 )
三. 函数的性质
（1）对任意的无穷次可微函数 f (t ) ,都有





(t ) f (t )dt =f 0
2.卷积定理：
(1)若 F1 () = 则
F
f1 (t )
F2 () = F
f2 (t )
F
f1 (t ) f2 (t ) F1()F2 ()
F
(2) 若
1
F1 () = F f1 (t )
F1()F2 () f1(t) f2 (t)
F2 () = F
(n)
(t ) i F ( )
n
（2）象函数的微分性质:
F ( ) iF [tf (t )]
或F
[tf (t )] iF ( )
一般地
F ( n ) ( ) (i)n F [t n f (t )]
或F [t
4）.积分性质：
n
f (t )] i F ( )
1
F1(s) F2 (s) f1(t ) f2 (t )
2. 微分性质 （1）象原函数的微分性质
Re( s) c.
推论
特别地，
（2）象函数的微分性质
则F ( s ) L _ tf ( t )] [
一般地 F ( n ) ( s ) L _ 1[( 1)n t n f ( t )] 经常反过来使用： L [tf ( t )] d F ( s ) ds
0
f (t ) d t F ( s )ds. 0 t
4.位移性质
5. 延迟性质
6.相似性质（补充）
若L [ f (t )] 来自百度文库F ( s), a 0, 则 1 s L [ f (at )] F ( ). a a
五.拉普拉斯逆变换 拉氏反演积分
1 i f t F s e s t ds i 2 i
积分变换
第一章 傅立叶变换
一 . Fourier积分定理
若函数 f (t ) 在任何有限区间上满足狄氏条件 （即函数在任何有限区间上满足：(1)连续或只有 有限个第一类间断点,(2)至多有有限个极值点）, 并且在 , 上绝对可积则有：
1 2



i ei t d f ( )e d
t 1 1 kt e sk
n! t n 1 s
n
1 u t s
k s sin kt 2 cos kt 2 2 2 s k s k
四. 周期函数的Laplace变换
设 f (t )是[0,)上的周期为T的函数，即
f ( t T ) f ( t ) ( t 0)
则
1 [ f (t )] 1 e sT

T
0
f (t ) e st dt (Re( s) 0)
四.拉普拉斯变换的性质
1 线性性质 设 ℒ f1 (t ) F1 (s) ℒ f2 (t ) F2 (s) , 为常数则 ℒ f1 (t ) f2 (t ) F (s) F2 (s) 1 ℒ
3）.微分性质：
（1）象原函数的微分性质:
若F [ f (t )] F ( )，且 lim f (t ) 0,
t
则
F [ f (t )] i F ( )
t
一般地，若 lim f ( k ) (t ) 0 k 0,1,2,, n 1 , 则 F f
1
1 [ F ( )] 2



F ( )eit d ，
f ( t ) F ( )：一一对应，称为一组Fourier变换对。 f ( t )称为原像函数，F ( )称为像函数。
记住下面的傅里叶变换对,
(t )
1 u (t ) u (t )e t ei0t 1 2 ( ) 1 ( ) i 1 i 2 ( 0 ) e it0
2）. 位移性质:
（1）象原函数的位移性质
若F ( ) =F
f (t ), t 0 为实常数,则
F
f (t t0 ) ei t0 F ()
（2）象函数的位移性质
若F ( ) =F
f (t ), 0 为实常数,则
1
F
F ( 0 ) f (t )ei0t
f2 (t )
则
1 F f1 (t ) f 2 (t ) F1 ( ) F2 ( ) 2
六、微分、积分方程的Fourier变换解法 象原函数 (方程的解)
象函数
取Fourier逆变换
解代数 方程 微分积分方程 象函数的 代数方程
取Fourier变换
第二章 拉普拉斯变换
一. 定义式

t 0
求拉普拉斯逆变换的方法主要有留数法、部 分分式法、查表法等.
六. 拉氏变换的卷积与卷积定理 (1).定义： f1 (t ) f2 (t ) 0 f1 ( ) f2 (t )d
t
(2)拉氏变换的卷积定理 若 ℒ f1 (t ) F1 (s), ℒ f 2 (t ) F2 (s), 则
0
0
0

AB
A dl u(M )
B A
u( B) u( A)
cos x P
cos y Q
cos z R
i
j y Q
k z R
旋度
A的雅可比矩阵
DA P x Q x R x
rot A x P
Pz P y z P Q R Q Q div A x y z y z R R y z rot A ( Ry Qz )i ( Pz Rx ) j (Qx Py )k
曲线C光滑，为 C 在 M处 的切线方向（正向）， 则 l u u s l
u u u i j k grad u x y z
四
矢量场的通量与散度
A dS P d y d z Q d z d x Rdx d y
S S
f t Me c t
0 t
0
成立,则函数 f (t ) 的拉氏变换 F (s)
f (t ) e st dt
在半平面 Re s > C 上一定存在.此时右端的积分绝对收 敛而且一致收敛.并且在此半平面内 F s 为解析函数
三. 一些常用函数的拉普拉斯变换
(方程的解)
取Laplace逆变换
象函数
场 论
一、数量场及其等值面
在空间直角坐标系中，一个数量场可用一个数性函数 来表示。 在数量场 数量场的等值面. 中，称曲面
为该
二、矢量场及其矢量线
1 .在空间直角坐标系中，一个矢量场可用一个矢性函数 来表示。
2. 矢量场的矢量线 矢量线满足
dx dy dz Ax Ay Az
(t t0 ) f (t )dt f t0

（2） (t ) 函数为偶函数,即
(t ) (t )
四
Fourier变换的性质
1）.线性性质: F f1 (t ) f2 (t ) F () F2 () 1
F
1
F1 () F2 () f1(t) f2 (t)
f (t ) F (s) f (t ) e st dt ℒ 0

二.拉普拉斯变换存在定理
若函数 f (t ) 满足下列条件 Ⅰ 在 t 0 的任一有限区间上连续或分段连续, Ⅱ 当 t 时, f (t )的增长速度不超过某一指数函数,亦 即存在常数 M 0, 及 C 0 ,使得
L [t n f (t )] ( 1)n F ( n ) ( s )
1 _ 1 ( n) L [ F ( s )] f ( t ) ( 1) n L [ F ( s )] t
_1 n
3.积分性质 一般地 象函数积分性质 或 一般地 特别地，在*式中令s=0，则 (*)


三 数量场的方向导数与梯度 定理1 若函数 u u ( x, y, z ) 在点 M 0 ( x0 , y0 , z0 ) 处可微， 则函数在该点沿任意方向 l 的方向导数存在 , 且有
u u u u cos cos cos l x y z
定理2:若在点 M ( x, y, z )处函数 u u ( x, y, z ) 可微、
f (t ) f (t 0) f (t 0) 2
t 为连续点 t 为间断点
二.
Fourier变换的定义式
F ( ) F [ f (t )] f (t )e it dt f (t )的Fourier变换:

F ( )的Fourier逆变换:F
散度
P Q R div A x y z
五
矢量场的环量及旋度
环量
A d l P dx Q dy R dz
L L
环量面密度
n ( Ry Qz ) cos ( Pz Rx ) cos (Qx Py ) cos
五 1. 2.
几种重要的矢量场 有势场、管形场及调和场的定义 有势场的判定
A 为有势场
全体势函数
x y
rot A 0
z
v x P( x, y0 , z0 )dx y Q( x, y, z0 )dy z R( x, y, z )dz C
若A 是保守场， 则存在函数 u(M), 使