二次函数关系式的确定
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二次函数关系式的确定(教学案)
一、教学目的:
1、学会运用所给条件求二次函数关系式;
2、培养学生灵活运用待定系数法求二次函数关系式。
二、教学重点:根据所给条件设出恰当的二次函数关系式。
三、教学难点:建立方程组求出待定系数。
四、知识讲解:
二次函数关系式有三种形式:
(1)一般式:y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0);
(2)顶点式:y=a(x-h)2+k(a,h,k为常数,a≠0);
(3)★两根式:y=a(x-x1)(x-x2)(a,x1,x2是常数,a≠0 ;其中x1,x2是方程ax2+bx+c=0的根)。
要确定二次函数关系式,就是要确定关系式中的待定系数(常数),由于每一种形式中都含有三个待定系数,所以用待定系数法求二次函数的关系式,需要已知三个独立条件。
当已知二次函数上任意三点时,通常设函数关系式为一般式y=ax2+bx+c,然后列出三元一次方程组并求解。
当已知二次函数的顶点坐标和二次函数上另一点时,通常设函数关系式为顶点式y=a(x -h)2+k,再求解。
当已知二次函数与x轴的交点或交点的横坐标时,通常设函数关系式为两根式y=a(x-x1)(x-x2),再求解。
例1:已知二次函数的图象经过点(―1,―6)、(1,-2)和(2,3)。
求这个二次函数的关系式。
例2:已知二次函数的顶点为(―1,―3),与y轴交点为(0,-5)。
求此二次函数的关系式。
例3:已知二次函数与x轴交于A(-1,0)、B(1,0)并经过点M(0,1)。
求二次函数的关系式。
★例4:已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过点A(0,-3
求证:这个二次函数图象的对称轴是x =1。
题目中的矩形部分是一段被墨水污染了无法辩认的文字。
⑴根据已知..和结论..中现有的信息,你能否求出题目二次函数的解析式?若能,请写出求解过程。 ⑵请你根据已有的信息,在下面横线中,添加一个适当的条件,把原题补充完整。
__________________________________________
五、小结
巩固练习
1、二次函数交x 轴于(-3,0)、(1,0),则此二次函数的对称轴是_________。
2、已知二次函数y =ax 2+bx +c 经过点(1,0)、(0,-2)、(2,3),则 a =_____,b =_____,c =_____。
3、二次函数y =ax 2+bx +c 经过点(―2,―6),且a ∶b ∶c =2∶3∶4,则其关系式为__________。
4、已知二次函数过A (-1,0)和B (3,0)与y 轴交于点C
,且BC 次函数的关系式为( ) A 、y =-x 2+2x +3 B 、y =x 2-2x -3 C 、y =x 2+2x -3或y =-x 2+2x +3 D 、y =-x 2+2x +3或y =x 2-2x -3 5、二次函数y =ax 2+bx +c 过点(1,0)、(―1,―6)、(2,6),求该二次函数与y 轴的交点的纵坐标。
x
y
0 7 1 1
2 3 4 5 6 7 8 9 2 3 4 5 6 -1 -2 -3 -4
-5 -1 -2 -3 -4
6、已知二次函数的顶点为(1,2),交x 轴于A 、B 两点,且AB =4,求二次函数的关系式。
7、已知二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)与x 轴两个交点的横坐标是-1、3,与y 轴交点的纵坐标是32
-,求二次函数的关系式。
8、二次函数y =a(x -h)2+k 关于直线x =―1轴对称,它的最低点纵坐标 是―1,与y 轴交于点(0,1),求二次函数的函数关系式。
9、已知一个二次函数,当x =2时有最小值―4,它的图象与x 轴交点的横坐标为1,求此二次函数的关系式。
10、已知二次函数21y x mx n 4=++图象经过点(0,32)与(4,32
)。
(1)求该二次函数的关系式,并写出它的顶点坐标;
(2)现有一半径为1,圆心P 在二次函数的图象上运动的动圆,当⊙P 与坐标轴相
切时,求圆心P 的坐标。