第二节多元函数的偏导数解析

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类似可以定义更高阶的偏导数. 例如，z = f (x , y) 关于 x 的三阶偏导数 为
z = f (x , y) 关于 x 的 n –1 阶偏导数 , 再关于 y 的一阶 偏导数为
( y
n z ) n 1 x y
例8. 求函数 z e
x2y
z x2y 解: e x
在点(0,0) 处的偏导数.
注意： 函数在某点各偏导数都存在, 但在该点不一定连续. 例如
xy , x2 y2 0 2 z f ( x, y ) x y 2 2 2 0 , x y 0
显然
0 0
在上节已证 f (x , y) 在点(0 , 0)并不连续!
第二节 偏 导 数
一、 偏导数概念及其计算 二 、高阶偏导数
一、 偏导数定义及其计算法 定义1. 设函数 z f ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 ) 的某邻域内
极限
x0 x
x
x0
存在, 则称此极限为函数 z f ( x, y ) 在点 ( x0 , y 0 ) 对 x 的偏导数，记为
在点 (x , y , z) 连续时, 有
说明: 因为初等函数的偏导数仍为初等函数 , 而初等 函数在其定义区域内是连续的 , 故求初等函数的高阶导
数可以选择方便的求导顺序.
例10. 证明函数
满足拉普拉斯
2u 2u 2u 方程 u 2 2 2 0 x y z
证：
z . 的二阶偏导数及 2 y x z 2 e x2y y 2z 2 e x2y x y
3
x y 2 2 xy 2 , x y 0 2 例9 f ( x , y ) x y 2 2 0, x y 0 4 2 2 4 x 4x y y 2 2 y , x y 0 2 2 2 f x ( x, y ) (x y ) 0, x2 y2 0 x4 4x2 y 2 y 4 2 2 x , x y 0 2 2 2 f y ( x, y ) (x y ) 0, x2 y2 0 y f x (0, y ) f x (0, 0) lim 1 f x y (0,0) lim y 0 y y 0 y f y ( x, 0) f y (0, 0) x 1 lim f y x (0,0) lim x 0 x x 0 x
2z
例3. 求 的偏导数 . 2x x r 解: 2 2 2 x 2 x y z r r z z r
(R 为常数) , 例4. 已知理想气体的状态方程 求证: p V T 1 V T p RT p RT 2 , 证: p 说明: 此例表明, V V V 偏导数记号是一个 RT V R V , p T p 整体记号, 不能看作
分子与分母的商 !
p V T RT 1 V T p pV
例5 . 求 z
3
x y 在点(0,0) 处的偏导数.
2 2 z x y 例6. 求 在点(0,0) 处的偏导数.
x2 y , ( x， y ) (0, 0) 4 2 例7. 求 z f ( x, y ) x y 0 , ( x， y ) (0, 0)
偏导数的概念可以推广到二元以上的函数 . 例如, 三元函数 u = f (x , y , z) 在点 (x , y , z) 处对 x 的 偏导数定义为
x x
x
x
f y ( x, y , z ) ?
f z ( x, y , z ) ?
二元函数偏导数的几何意义: f d f ( x, y 0 ) x x0 x x0 x y y0 dx
解法2: z
2 x 6x 4 y 2
z x (1, 2)
z
2 1 3 y y x 1
z y (1, 2)
求证 例2. 设 z x y ( x 0, 且 x 1 ） ， x z 1 z 2z y x ln x y 证:
x z 1 z y x ln x y
f ; zx x ( x0 , y 0 )
( x0 , y 0 )
;
f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 ) 注意: f x ( x0 , y0 ) lim x 0 x
f1( x0 , y0 ) .
同样可定义对 y 的偏导数
f y ( x0 , y0 ) lim
二、高阶偏导数
设 z = f (x , y)在域 D 内存在连续的偏导数
z z f x ( x, y ) , f y ( x, y ) x y 若这两个偏导数仍存在偏导数， 则称它们是z = f ( x , y )
的二阶偏导数 . 按求导顺序不同, 有下列四个二阶偏导
数:
2 z z z z ( ) f x y ( x, y ) ( ) 2 f x x ( x, y ); y x x y x x x 2 z 2z z z ( ) f y x ( x, y ); ( ) 2 f y y ( x, y ) x y y x y y y
2
z x2y e 2 x 2 2 z z x2y x2y 2 e 4 e y x y2 3 z 2z x2y ( ) 2e 2 x y x y x 2z 2z , 但这一结论并不总成立. 注意:此处 x y y x
z
M0
z f ( x, y ) 在点 M0 处的切线 是曲线 y y0 M 0Tx 对 x 轴的斜率.
f y
是曲线
x x0 y y0
Tx
y0
Ty
o x
y
d f ( x0 , y) y ຫໍສະໝຸດ Baidu0 dy
x0
在点M0 处的切线 M 0T y 对 y 轴的
斜率.
例1 . 求 z x 2 3x y y 2 在点(1 , 2) 处的偏导数. z z 2x 3y , 3x 2 y 解法1: x y z z y (1, 2) x (1, 2)
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内容小结
1. 偏导数的概念及有关结论
• 定义; 记号; 几何意义
• 函数在一点偏导数存在 • 混合偏导数连续 2. 偏导数的计算方法 • 求一点处偏导数的方法 • 求高阶偏导数的方法 函数在此点连续 与求导顺序无关 先代后求 先求后代 利用定义 逐次求导法
(与求导顺序无关时, 应选择方便的求导顺序)
1 3 x2 1 3 x r 2u 4 3 5 r r x2 r 3 r x 2u 1 3 y2 2u 1 3 z2 利用对称性 , 有 2 3 5 , 3 5 2 z r r y r r 2u 2u 2u 3 3( x2 y2 z 2 ) 2 2 0 2 3 5 x y z r r
2
2
二 者 不 等
定理. 若 f x y ( x,y ) 和 f y x ( x,y ) 都在点 ( x0 , y0 ) 连续 , 则
f x y ( x0 , y 0 ) f y x ( x0 , y 0 )
本定理对 n 元函数的高阶混合导数也成立.
(证明略)
例如, 对三元函数 u = f (x , y , z) , 当三阶混合偏导数
f ( x 0 , y 0 y ) f ( x 0 , y0 )
y 0
y
若函数 z = f ( x , y ) 在域 D 内每一点 ( x , y ) 处对 x
或 y 偏导数存在 , 则该偏导数称为偏导函数, 也简称为
偏导数 , 记为
z f , , z y , f y ( x, y ) , f 2 ( x, y ) y y
谢 谢！