奇偶性与单调性的综合-高中数学知识点讲解
奇偶性与单调性的综合
1.奇偶性与单调性的综合
【知识点的认识】
对于奇偶函数综合,其实也并谈不上真正的综合,一般情况下也就是把它们并列在一起,所以说关键还是要掌握奇函数和偶函数各自的性质,在做题时能融会贯通,灵活运用.在重复一下它们的性质①奇函数f(x)的定义域关于原点对称,且定义域内任意一个x,都有f(﹣x)=﹣f(x),其图象特点是关于(0,0)对称.②偶函数f(x)的定义域关于原点对称,且定义域内任意一个x,都有f(﹣x)=f(x),其图象特点是关于y 轴对称.【解题方法点拨】
参照奇偶函数的性质那一考点,有:
①奇函数:如果函数定义域包括原点,那么运用f(0)=0 解相关的未知量;
②奇函数:若定义域不包括原点,那么运用f(x)=﹣f(﹣x)解相关参数;
③偶函数:在定义域内一般是用f(x)=f(﹣x)这个去求解;
④对于奇函数,定义域关于原点对称的部分其单调性一致,而偶函数的单调性相反
例题:如果f(x)=?―2?
为奇函数,那么a=.2?+1
解:由题意可知,f(x)的定义域为R,
由奇函数的性质可知,f(x)=?―
2?
2?+1
=―f(﹣x)?a=1
【命题方向】奇偶性与单调性的综合.
不管出什么样的题,能理解运用奇偶函数的性质是一个基本前提,另外做题的时候多多总结,一定要重视这一个知识点.
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函数的单调性及奇偶性(含答案)
函数的单调性及奇偶性 一、单选题(共10道,每道10分) 1.已知函数是上的增函数,若,则下列不一定正确的是( ) A. B. C. D. 答案:D 解题思路: 试题难度:三颗星知识点:函数单调性的定义 2.已知定义在上的函数满足:对任意不同的x1,x2,都有.若 ,则实数a的取值范围是( ) A. B. C. D. 答案:C 解题思路:
试题难度:三颗星知识点:函数单调性的定义 3.已知定义在上的函数满足:对任意不同的x1,x2,都有 .若,则实数a的取值范围是( ) A. B. C. D. 答案:B 解题思路:
试题难度:三颗星知识点:函数单调性的定义 4.函数的单调递减区间是( ) A. B. C. D.无减区间 答案:A 解题思路: 试题难度:三颗星知识点:含绝对值函数的单调性 5.函数的单调递减区间是( ) A., B., C., D., 答案:A 解题思路:
试题难度:三颗星知识点:函数的单调性及单调区间 6.函数的单调递增区间是( ) A. B. C. D. 答案:B 解题思路: 试题难度:三颗星知识点:含绝对值函数的单调性 7.若是奇函数,则实数a的值为( ) A.1 B.-1
C.0 D.±1 答案:A 解题思路: 试题难度:三颗星知识点:函数奇偶性的性质 8.若是定义在上的偶函数,则a的值为( ) A.±1 B.1 C.-1 D.-3 答案:C 解题思路: 试题难度:三颗星知识点:函数奇偶性的性质 9.设是定义在[-2,2]上的奇函数,若在[-2,0]上单调递减,则使成立的实数a的取值范围是( ) A.[-1,2] B. C.(0,1) D.
函数的单调性与奇偶性综合
函数的单调性与奇偶性综合 【课时目标】 1、能准确判断函数的单调性与奇偶性 2、会灵活利用函数的单调性与奇偶性求参数或参数的取值范围 3、能够解决抽象函数的单调性与奇偶性的问题 【基础训练】 1、单调性: (1)函数||2x x y +-=,单调递减区间为 (2)函数b x k y ++=)12(在实数集上是增函数,则k 的取值范围是 (3)已知函数2()(3)2f x ax a x =+++在区间[1,)+∞上为增函数,则实数a 的取值范围是 ___ (4)已知()f x 为R 上的减函数,则满足)1()1(f x f >的实数x 的取值范围是____________ — 2、奇偶性: (1)下列函数具有奇偶性的有 ①x x y 13+= ②x x y 2112-+-= ③x x y +=4 ④?? ???<--=>+=)0(2)0(0)0(222x x x x x y (2)函数1()f x x x =-的图像关于__________对称 (3)若函数(1)()y x x a =+-为偶函数,则a =__________ (4)已知()f x 在R 上是奇函数,且2(4)(),(0,2)()2,(7)f x f x x f x x f +=∈==当时,则_______ 【例题精讲】 例1、已知()f x 是偶函数,而且在0(,)+∞上是减函数.判断()f x 在0(,)-∞上是增函数还是减函数,并加以证明
例2、()f x 是定义在R 的奇函数,且()f x 在0(,)+∞上是增函数,10()f =,则不等式0()()f x f x x --<的解集为_________________ } 练习:已知()f x 是定义在(3,3)-上的偶函数,当0 x ≤< ()f x 的图象如右图,则不等式(1)()0x f x -?≤ 变:()f x 是定义在22[,]-的奇函数,且()f x 在02[,]上单调递减,若1()()f m f m -<,则实数m 的取值范围是________________ … 例3、已知函数()1).f x a =≠ (1)若0a >,则()f x 的定义域是 (2) 若()f x 在区间(]0,1上是减函数,则实数a 的取值范围是______________ 例4:(1)函数()y f x =的图象关于直线1x =对称,若当1x ≤时,2()1f x x =+,求()f x · (2)函数()y f x =的图象关于点(1,1)对称,若当1x ≤时,2()1f x x =+,求()f x
(完整版)函数的单调性与奇偶性练习题基础
1 函数单调性(一) (一)选择题 1.函数x x f 3 )(= 在下列区间上不是..减函数的是( ) A .(0,+∞) B .(-∞,0) C .(-∞,0)∪(0,+∞) D .(1,+∞) 2.下列函数中,在区间(1,+∞)上为增函数的是( ) A .y =-3x +1 B .x y 2 = C .y =x 2-4x +5 D .y =|x -1|+2 3.设函数y =(2a -1)x 在R 上是减函数,则有 A .2 1≥ a B .2 1≤ a C .2 1> a D .2 1< a 4.若函数f (x )在区间[1,3)上是增函数,在区间[3,5]上也是增函数,则函数f (x )在区间[1,5]上( ) A .必是增函数 B .不一定是增函数 C .必是减函数 D .是增函数或减函数 (二)填空题 5.函数f (x )=2x 2-mx +3在[-2,+∞)上为增函数,在(-∞,-2)上为减函数,则m =______. 6.若函数x a x f = )(在(1,+∞)上为增函数,则实数a 的取值范围是______. 7.函数f (x )=1-|2-x |的单调递减区间是______,单调递增区间是______. 8.函数f (x )在(0,+∞)上为减函数,那么f (a 2-a +1)与)4 3(f 的大小关系是______。 *9.若函数f (x )=|x -a |+2在x ∈[0,+∞)上为增函数,则实数a 的取值范围是______. (三)解答题 10.函数f (x ),x ∈(a ,b )∪(b ,c )的图象如图所示,有三个同学对此函数的单调性作出如下的判断: 甲说f (x )在定义域上是增函数; 乙说f (x )在定义域上不是增函数,但有增区间, 丙说f (x )的增区间有两个,分别为(a ,b )和(b ,c ) 请你判断他们的说法是否正确,并说明理由。 11.已知函数.21 )(-= x x f (1)求f (x )的定义域; (2)证明函数f (x )在(0,+∞)上为减函数. 12.已知函数| |1)(x x f = . (1)用分段函数的形式写出f (x )的解析式;
函数的单调性和奇偶性知识归纳和典型题型
单调性与最大(小)值 要点一、函数的单调性 1.增函数、减函数的概念 一般地,设函数f(x)的定义域为A ,区间D A ?: 如果对于D 内的任意两个自变量的值x 1、x 2,当x 1
最新函数的奇偶性和单调性综合训练及答案
一、选择题 1.下列判断正确的是( ) A .函数2 2)(2--=x x x x f 是奇函数 B .函数1()(1)1x f x x x +=--是偶函数 C .函数2()1f x x x =+ -是非奇非偶函数 D .函数1)(=x f 既是奇函数又是偶函数 2.若函数2 ()48f x x kx =--在[5,8]上是单调函数,则k 的取值范围是( ) A .(],40-∞ B .[40,64] C .(][),4064,-∞+∞ D .[)64,+∞ 3.函数11y x x = +--的值域为( ) A .( ]2,∞- B .(] 2,0 C .[ ) +∞,2 D .[)+∞,0 4.已知函数()()2212f x x a x =+-+在区间(]4,∞-上是减函数, 则实数a 的取值范围是( ) A .3a ≤- B .3a ≥- C .5a ≤ D .3a ≥ 5.下列四个命题:(1)函数f x ()在0x >时是增函数,0x <也是增函数,所以)(x f 是增函数;(2)若函数2 ()2f x ax bx =++与x 轴没有交点,则2 80b a -<且0a >;(3) 223y x x =--的 递增区间为[)1,+∞;(4) 1y x =+和2(1)y x = +表示相等函数。 其中正确命题的个数是( ) A .0 B .1 C .2 D .3 6.某学生离家去学校,由于怕迟到,所以一开始就跑步,等跑累了再走余下的路程. 在下图中纵轴表示离学校的距离,横轴表示出发后的时间,则下图中的四个图形中较符合该学生走法的是( ) 二、填空题 1.函数x x x f -=2 )(的单调递减区间是____________________。 2.已知定义在R 上的奇函数()f x ,当0x >时,1||)(2 -+=x x x f , 那么0x <时,()f x = . d d 0 t 0 t O A . d d 0 t 0 t O B . d d 0 t 0 t O C . d d 0 t 0 t O D .
《函数的单调性和奇偶性》经典例题
经典例题透析 类型一、函数的单调性的证明 1.证明函数上的单调性. 证明:在(0,+∞)上任取x1、x2(x1≠x2),令△x=x2-x1>0 则 ∵x1>0,x2>0,∴∴上式<0,∴△y=f(x2)-f(x1)<0 ∴上递减. 总结升华: [1]证明函数单调性要求使用定义; [2]如何比较两个量的大小?(作差) [3]如何判断一个式子的符号?(对差适当变形) 举一反三: 【变式1】用定义证明函数上是减函数. 思路点拨:本题考查对单调性定义的理解,在现阶段,定义是证明单调性的唯一途径. 证明:设x1,x2是区间上的任意实数,且x1
类型二、求函数的单调区间 2. 判断下列函数的单调区间; (1)y=x2-3|x|+2;(2) 解:(1)由图象对称性,画出草图 ∴f(x)在上递减,在上递减,在上递增. (2) ∴图象为 ∴f(x)在上递增. 举一反三: 【变式1】求下列函数的单调区间: (1)y=|x+1|;(2)(3). 解:(1)画出函数图象, ∴函数的减区间为,函数的增区间为(-1,+∞); (2)定义域为,其中u=2x-1为增函数,
在(-∞,0)与(0,+∞)为减函数,则上为减函数; (3)定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),单调增区间为:(-∞,0),单调减区间为(0,+∞). 总结升华: [1]数形结合利用图象判断函数单调区间; [2]关于二次函数单调区间问题,单调性变化的点与对称轴相关. [3]复合函数的单调性分析:先求函数的定义域;再将复合函数分解为内、外层函数;利用已知函数的单调性解决.关注:内外层函数同向变化→复合函数为增函数;内外层函数反向变化→复合函数为减函数. 类型三、单调性的应用(比较函数值的大小,求函数值域,求函数的最大值或最小值) 3. 已知函数f(x)在(0,+∞)上是减函数,比较f(a2-a+1)与的大小. 解:又f(x)在(0,+∞)上是减函数,则. 4. 求下列函数值域: (1);1)x∈[5,10];2)x∈(-3,-2)∪(-2,1); (2)y=x2-2x+3;1)x∈[-1,1];2)x∈[-2,2]. 思路点拨:(1)可应用函数的单调性;(2)数形结合. 解:(1)2个单位,再上移2个单位得到,如图 1)f(x)在[5,10]上单增,;
函数奇偶性与单调性的综合应用--专题.
函数奇偶性与单调性的综合应用 专题 【寄语:亲爱的孩子,将来的你一定会感谢现在拼命努力的自己!】 教学目标:1.掌握函数的单调性与奇偶性的概念以及基本性质;. 2.能综合运用函数的单调性与奇偶性来分析函数的图像或性质; 3.能够根据函数的一些特点来判断其单调性或奇偶性. 教学重难点:函数单调性的证明;根据单调性或奇偶性分析函数的性质. 【复习旧识】 1.函数单调性的概念是什么?如何证明一个函数的单调性? 2.函数奇偶性的概念是什么?如何证明一个函数的奇偶性? 3.奇函数在关于原点对称的区间上,其单调性有何特点?偶函数呢? 【新课讲解】 一、常考题型 1.根据奇偶性与单调性,比较两个或多个函数值的大小; 2.当题目中出现“2 121)()(x x x f x f -->0(或<0)”或“)(x xf >0(或<0)”时,往往还是考察单调性;
3.证明或判断某一函数的单调性; 4.证明或判断某一函数的奇偶性; 5.根据奇偶性与单调性,解某一函数不等式(有时是“)(x f >0(或<0)”时x 的取值范围); 6.确定函数解析式或定义域中某一未知数(参数)的取值范围. 二、常用解题方法 1.画简图(草图),利用数形结合; 2.运用奇偶性进行自变量正负之间的转化; 3.证明或判断函数的单调性时,有时需要分类讨论. 三、误区 1.函数的奇偶性是函数的整体性质,与区间无关; 2.判断函数奇偶性,应首先判断其定义域是否关于原点对称; 3.奇函数若在“0=x ”处有定义,必有“0)0(=f ”; 4.函数单调性可以是整体性质也可以是局部性质,因题而异; 5.运用单调性解不等式时,应注意自变量取值范围受函数自身定义域的限制. 四、函数单调性证明的步骤: (1) 根据题意在区间上设 ; (2) 比较大小 ; (3) 下结论 . 函数奇偶性证明的步骤: (1)考察函数的定义域 ; (2)计算 的解析式,并考察其与 的解析式的关系; (3)下结论 . 【典型例题】
函数单调性奇偶性周期性和对称性的综合应用
函数单调性、奇偶性、周期性和对称性的综合应用 例1、设f (x )是定义在R 上的奇函数,且()x f y =的图象关于直线2 1=x 对称,则f (1)+ f (2)+ f (3)+ f (4)+ f (5)=_0_______________. 【考点分析】本题考查函数的周期性 解析:()()00f f -=-得()00f =,假设()0f n = 因为点(n -,0)和点(1,0n +)关于12x =对称,所以()()()10f n f n f n +=-=-= 因此,对一切正整数n 都有:()0f n = 从而:()()()()()123450f f f f f ++++=。本题答案填写:0 例2、(2006福建卷)已知()f x 是周期为2的奇函数,当01x <<时,()lg .f x x = 设63(),(),52a f b f ==5(),2 c f =则 (A )a b c << (B )b a c << (C )c b a << (D )c a b << 解:已知()f x 是周期为2的奇函数,当01x <<时,()lg .f x x = 设644()()()555a f f f ==-=-,311()()()222b f f f ==-=-,51()()22 c f f ==<0,∴c a b <<,选D. 例3、(安徽卷理)函数()f x 对于任意实数x 满足条件()() 12f x f x +=,若()15,f =-则()()5f f =__________。 【考点分析】本题考查函数的周期性与求函数值,中档题。 解析:由()()12f x f x +=得()() 14()2f x f x f x +==+,所以(5)(1)5f f ==-,则()()115(5)(1)(12)5 f f f f f =-=-==--+。 【窥管之见】函数的周期性在高考考查中除了在三角函数中较为直接考查外,一 般都比较灵活。本题应直观理解()() 12f x f x += “只要加2,则变倒数,加两次则回原位” 则一通尽通也。 例4、设()f x 是()+∞∞-,上的奇函数,()()x f x f -=+2,当0≤x ≤1时,()x x f =,则f ()等于( ) A.0.5 B.-0.5 D.-
函数单调性、奇偶性、周期性与对称性综合.doc
专项5函数单调性、奇偶性、周期性、对称性综合 有关函数的奇偶性、单调性、周期性和图像的综合问题,历来都是一个难点,并且几乎是必考的重点内容,它考察的 内容应该说是非常多的,综合性也是非常强的,而且不易想,因而,对很多同学來说,十分头疼,在这一章节内容上, 我们绝对要摒弃大量做题不顾总结的复习思路,基于此,我们从以下几个方面讲这部分内容。 第一个问题,就是对于“已知奇/偶函数一段定义域上的解析式,求另一段的解析式”这样的问题,最为基础题,同学 们一定要知道怎么解决这种问题,但是对于求确切的/(G )的问题,这里的。代指一个确切的常数,我们可以不求出另 一 ?段上的解析式,我们采取“进/退周期”的方式,什么意思呢?就是如果讣我们求的于(G )中的。不在己经解析式的 定义域上,对于比定义域右端点值大的,要根据周期定义每次减一个周期,逐步将其转化到已知解析式的定义域之上, 比如,题目让我们求/(13),我们通过分析发现该函数的周期为2,而我们只知道XG (0,2).上的解析式,那么我们就 可以“退周期”,即/(13) = /(2x6+l) = /(l),即只需要求出这个/(I)就是了,同理,对于比定义域小的,我们用 同样方法,可以“进周期”,求解相关问题。 第二个问题,我们必须要说这个周期的问题,周期其实在高中教材中只是在必修四三角函数中学了,但是函数中却经 常出现,而且不算是超纲内容,这一点需要大家知道,不能因为函数教材屮没有讲就认为不需要掌握,但是有一点需 要大家知道,那就是对于周期性,我们更多的是记住一些结论,推到这些结论是不要求的,因此,我们在这里总结这 些结论,希望大家都记住。 如果一个函数满足= + 则这个函数就是以。为一个周期的函数,这里要强调“一个周期”,事实上,弦/都 是这个函数的周期,也就是说/(x) = f(ka + x), /(x) = f(ka-x), /(x) = f(x-a),还有一?些有关周期的拓展定义: 第三个问题,是有关于图像的问题,特别是图像的做法,有很多是需要掌握对称性规律的,相关的对称性规律结论请 回顾复习专项4,专项4屮有比较基础的对称性总结函数关于兀轴、y 轴、坐标原点对称的规律;特别强调下列三种函 数l.f(x)l,/(lg(x)l),/(g(lxl)),这三种绝对值加到不同地方的函数图像本身的对称性规律要掌握好。 奇函数、偶函数、反函数和一些常见的函数,如对号函数等的对称性 对于耍求函数有几个零点或者两个函数有几个交点的问题,作图是最主耍的方法,作图的吋候,一定要按照我们学过 的函数图像的三种变换进行画图,从授基本的图形开始画,通过平移、对称一步一步的得到我们想要的函数图像,做 图的过程小,如果有带有绝对值,一定要想着使丿IJ 相应带有绝对值的作图规律,坚决不允许通过描点连线的方式进行 作图。 下面开启做题Z 旅,下面的这些题,淘汰、更换历经了很长时间,不论简单还是难度稍微大些,都是非常好的试题, 一定要认认真真完成,对于错题,还要进行总结分析。 1. /⑴为奇函数,g ⑴= /(x) + 9,g(2) = 3,则/(2)= _______________ 2. .f(x)为定义在/?上的奇函数,当xhO 时,/(Q = 2" + 2x + b ,则/(-1)= _____________ ①弘+沪_卍);②弘+沪命;③弘+沪 1 /(x ) ,则函数/(兀)的周期为2a 。
高中数学必修一函数的性质单调性与奇偶性典型精讲精练
1文档收集于互联网,已整理,word 版本可编辑. 函数单调性 证明格式: ① 取任意两个数12,x x 属于定义域D ,且令12x x <(反之亦可); ② 作差12()()f x f x -并因式分解; ③ 判定 12()()f x f x -的正负性,并由此说明函数的增减性; 例 1 用定义法判定下列函数的增减性: ① y x =; ②2y x =; ③3y x =; ④y = ⑤1 y x = ; 练习:1. 判断函数()f x = 2.证明函数 3()f x x x =+在R 上是增函数; 例 2 已知函数 1 ()(0)f x x x x =+>,求证:函数的单调减区间为(0,1],增区间为[1,)+∞,并画出图像; 练习:证明函数 x x x f 2 )(+ =在),2(+∞上是增函数。 3.复合函数的单调性 复合函数的单调性判断(同增异减):构造中间过度函数,按定义比较函数大小并确定函数的单调性; 例 3 判断函数的单调性: (1 ) ()f x = (2 )()f x =; (3) 2 1 ()2 f x x = +; 练习:① y = ②2 13y x = -; ③ 2 154y x x = +-; ④ y ; 4.函数的单调性的等价关系 设[]1212,,,x x a b x x ∈≠那么 []1212()()()0x x f x f x -->?[]1212()() 0(),f x f x f x a b x x ->?-在上是增函数; []1212()()()0x x f x f x -- []1212 ()() 0(),f x f x f x a b x x --在上是减函数。 例 4 定义在(a ,c )上的函数f(x),在区间(a ,b )及(b ,c )上均为增函数,函数f (x)在区间(a ,c )上是否为增函数如 何?请举例说明。 例 5 定义在R 上的函数 ()y f x =,(0)0f ≠,当0x >时,()1f x >且对任意的,a b 都有()()()f a b f a f b +=? (1)求证: (0)1f = ; (2)求证:对任意的x R ∈恒有 ()0f x > ; (3)求证:f(x)是R 上的增函数 ; (4)若2()(2)1f x f x x ?->,求x 的取值范围 相关练习 1、设 ()f x 的图像关于原点对称,且在(0,)+∞内是增函数,又(3)0f -=,则()0x f x ?<的解集是………………( ) A {}|303x x x -<<>或 B {}|303x x x <-<<或 C {}|33x x x <->或 D {}|3003x x x -<<<<或 2、若 )(x f 的图像关于y 轴对称,且在[)+∞,0上是减函数,则235()(2)2 2 f f a a -++与的大小关系…( ) A )2 3(-f >)25 2(2++a a f B )23 (-f <)25 2(2++a a f C ) 23 (-f ≥ )2 5 2(2++a a f D 3() 2f -≤25(2)2 f a a ++