三角形中线与面积问题教案
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四、拓展
现有一块四边形的花坛，园艺工人要种植两种不同颜色的花卉，要求两种颜色花卉的面积相等，应该如何分配该花坛？
方法一：（做三条辅助线）
方法二：(做两条辅助线)
引入：
由上图做法想到，直接连接对边中点，则是否依然有
证明：
方法三：（做一条辅助线）
五、课堂小结
知识方面：
1、三角形中线等分三角形的面积。
2、三角形的重心与顶点的连线三等分三角形的面积。
学生讲述证明思路，其他同学补充或修正，教师总结。
教师提问：
（1）中线对三角形面积的作用？
（2）学到了哪些有关于重心的知识？
学生思考并口述证明过程，教师板书和修正。
教师提问：此时图形中△EFD与△EGD的面积是否依然相等？该如何设参数？
学生用两种方法求解。
老师提问：这四个点可以继续变化，同学们可想可以想一想还有哪些情况，以及每种情况的面积比是多少？
3、三角形的重心将三角形的中线分为2:1两部分。
数学学习方法：
1、线段关系与三角形面积关系的相互转化。
2、用代数方法解决几何问题。
3、转化的思想。
六、作业
1、如何将三角形面积四等分。
2、五边形的花坛怎样划分使得两种颜色的花卉的种植面积相等。
学生展示自己的划分结果。
通过对第（2）组的讨论，指出哪些划分是相同的情况。并提醒学生在划分时三等分点要标注。
通过第（1）（2）组图形，复习三角形中线对三角形面积的等分作用。
老师提问：
（1）该图形是如何作图得到的？其中点G是怎样确定的？
（2）如何证明这种划分得到的三个小三角形的面积相等？
学生讲述自己作图过程，并复习关于三角形中线和重心的相关内容。
教师板书证明过程。
教师提问：重心是三条中线的交点，通过图形我们知道重心将每一条中线都分成了两部分，这两条线段之间有何数量关系？
做法：
证明：
猜想：三角形的重心将中线分为长度为2:1的两条线段。
证明：
结论：三角形的重心将中线分为长度为2:1的两条线段。
小结：
（1）三角形的中线将三角形面积等分；
（2）三角形的重心与顶点的连线将三角形面积三等分；
（3）三角形的重心将中线分为2：1的两部分。
三、应用练习
练习1：如图，在 中，点D，E，F，G分别为线段BC，AD，BE，CE的中点，
教学重点
探究三角形重心的相关结论.
教学难点
1、论证三角形重心的结论；
2、将四边形面积问题转化为三角形面积问题.
教学过程
教学设计
师生活动
设计意图
一、问题引入
问题：园艺工人要将一块三角形花坛分成三个面积相等的小三角形，分别种植三种不同的花卉，应该如何分配该花坛？
(1)
(2)
(3)
二、深入探究
在上述划分方法中有一个图形不同于其它图形，单独来研究一下。
练习2：如图，在 中，点D是BC边上任意一点，点E，F，G分别为线段AD，BE，CE的中点，则
证明：
练习3：如图，在 中，点D是BC边上任意一点，点E是线段AD的中点，点F，G分别为 与 的重心，则
解法1：直接应用结论：重心分中线为2：1,得到面积关系。
解法2：连接AF，AG，利用重心与顶点的连线将三角形面积三等分求解。
教师提示：三角形的面积等分的方法是做中线。而四边形可以怎样划分呢？
学生做法：连接一条对角线将四边形分成两个三角形。
连接两条对角线可以将四ຫໍສະໝຸດ Baidu形分成四个三角形。
这些做法实际上都是先将四边形划分为三角形，再将三角形面积等分。
教师提问：可否直接连接四边形对边中点，将面积进行划分在重组？
教师提示：前面的几种划分办法都是将四边形划分为几个三角形，既然我们已经知道三角形中线等分面积，能否将该四边形的面积转化为一个三角形的面积？
规范学生几何证明的书写过程。
通过边的关系可以得到三角形面积的关系，反过来通过三角形面积的关系也可以得到边之间的关系，从而得到三角形重心的重要结论。
将所得结论应用到图形面积的求解。
通过题目之间的改变使学生体会解决问题中方法的不变。
几何题中恰当的设参数可以是问题简化，更易理解和表达。
使学生感受用代数法解决几何问题的简便。
课题
应用三角形中线解决图形面积问题
教师
杜浩洋北京一零一中学
教学目标
1、使学生应用三角形中线的知识，进一步体会如何解决三角形面积等分的问题；
2、使学生通过“三角形中线等分三角形面积”这一发现，推导出关于三角形重心的重要结论。培养学生发现、猜想和论证的能力；
3、应用本节课所得结论解决四边形面积问题，进一步学会将未知转化为已知；
通过实际问题入手，调动学生学习的积极性。
通过学生之间的讨论，提升学生与人交流与协作的能力。
通过学生在的展示，提升学生自信心。
该环节的设计主要有两个目的：
（1）学生复习“三角形中线等分三角形面积”这一结论，为后面的应用做准备；
（2）得到第三组的特殊划分图形，引出三角形的重心并继续探究。
培养学生言之有据的习惯，以及几何说理的能力。
在学习本节课之前学生对重心的认识只是三条中线的交点，而本节课后再看到重心时还应想到：（1）重心与顶点的连线将三角形面积三等分；（2）重心将中线分为2：1的两部分。
将四边形问题转化为三角形问题是数学中常见的转化思想。
拓展学生的思维能力。
现有一块四边形的花坛，园艺工人要种植两种不同颜色的花卉，要求两种颜色花卉的面积相等，应该如何分配该花坛？
方法一：（做三条辅助线）
方法二：(做两条辅助线)
引入：
由上图做法想到，直接连接对边中点，则是否依然有
证明：
方法三：（做一条辅助线）
五、课堂小结
知识方面：
1、三角形中线等分三角形的面积。
2、三角形的重心与顶点的连线三等分三角形的面积。
学生讲述证明思路，其他同学补充或修正，教师总结。
教师提问：
（1）中线对三角形面积的作用？
（2）学到了哪些有关于重心的知识？
学生思考并口述证明过程，教师板书和修正。
教师提问：此时图形中△EFD与△EGD的面积是否依然相等？该如何设参数？
学生用两种方法求解。
老师提问：这四个点可以继续变化，同学们可想可以想一想还有哪些情况，以及每种情况的面积比是多少？
3、三角形的重心将三角形的中线分为2:1两部分。
数学学习方法：
1、线段关系与三角形面积关系的相互转化。
2、用代数方法解决几何问题。
3、转化的思想。
六、作业
1、如何将三角形面积四等分。
2、五边形的花坛怎样划分使得两种颜色的花卉的种植面积相等。
学生展示自己的划分结果。
通过对第（2）组的讨论，指出哪些划分是相同的情况。并提醒学生在划分时三等分点要标注。
通过第（1）（2）组图形，复习三角形中线对三角形面积的等分作用。
老师提问：
（1）该图形是如何作图得到的？其中点G是怎样确定的？
（2）如何证明这种划分得到的三个小三角形的面积相等？
学生讲述自己作图过程，并复习关于三角形中线和重心的相关内容。
教师板书证明过程。
教师提问：重心是三条中线的交点，通过图形我们知道重心将每一条中线都分成了两部分，这两条线段之间有何数量关系？
做法：
证明：
猜想：三角形的重心将中线分为长度为2:1的两条线段。
证明：
结论：三角形的重心将中线分为长度为2:1的两条线段。
小结：
（1）三角形的中线将三角形面积等分；
（2）三角形的重心与顶点的连线将三角形面积三等分；
（3）三角形的重心将中线分为2：1的两部分。
三、应用练习
练习1：如图，在 中，点D，E，F，G分别为线段BC，AD，BE，CE的中点，
教学重点
探究三角形重心的相关结论.
教学难点
1、论证三角形重心的结论；
2、将四边形面积问题转化为三角形面积问题.
教学过程
教学设计
师生活动
设计意图
一、问题引入
问题：园艺工人要将一块三角形花坛分成三个面积相等的小三角形，分别种植三种不同的花卉，应该如何分配该花坛？
(1)
(2)
(3)
二、深入探究
在上述划分方法中有一个图形不同于其它图形，单独来研究一下。
练习2：如图，在 中，点D是BC边上任意一点，点E，F，G分别为线段AD，BE，CE的中点，则
证明：
练习3：如图，在 中，点D是BC边上任意一点，点E是线段AD的中点，点F，G分别为 与 的重心，则
解法1：直接应用结论：重心分中线为2：1,得到面积关系。
解法2：连接AF，AG，利用重心与顶点的连线将三角形面积三等分求解。
教师提示：三角形的面积等分的方法是做中线。而四边形可以怎样划分呢？
学生做法：连接一条对角线将四边形分成两个三角形。
连接两条对角线可以将四ຫໍສະໝຸດ Baidu形分成四个三角形。
这些做法实际上都是先将四边形划分为三角形，再将三角形面积等分。
教师提问：可否直接连接四边形对边中点，将面积进行划分在重组？
教师提示：前面的几种划分办法都是将四边形划分为几个三角形，既然我们已经知道三角形中线等分面积，能否将该四边形的面积转化为一个三角形的面积？
规范学生几何证明的书写过程。
通过边的关系可以得到三角形面积的关系，反过来通过三角形面积的关系也可以得到边之间的关系，从而得到三角形重心的重要结论。
将所得结论应用到图形面积的求解。
通过题目之间的改变使学生体会解决问题中方法的不变。
几何题中恰当的设参数可以是问题简化，更易理解和表达。
使学生感受用代数法解决几何问题的简便。
课题
应用三角形中线解决图形面积问题
教师
杜浩洋北京一零一中学
教学目标
1、使学生应用三角形中线的知识，进一步体会如何解决三角形面积等分的问题；
2、使学生通过“三角形中线等分三角形面积”这一发现，推导出关于三角形重心的重要结论。培养学生发现、猜想和论证的能力；
3、应用本节课所得结论解决四边形面积问题，进一步学会将未知转化为已知；
通过实际问题入手，调动学生学习的积极性。
通过学生之间的讨论，提升学生与人交流与协作的能力。
通过学生在的展示，提升学生自信心。
该环节的设计主要有两个目的：
（1）学生复习“三角形中线等分三角形面积”这一结论，为后面的应用做准备；
（2）得到第三组的特殊划分图形，引出三角形的重心并继续探究。
培养学生言之有据的习惯，以及几何说理的能力。
在学习本节课之前学生对重心的认识只是三条中线的交点，而本节课后再看到重心时还应想到：（1）重心与顶点的连线将三角形面积三等分；（2）重心将中线分为2：1的两部分。
将四边形问题转化为三角形问题是数学中常见的转化思想。
拓展学生的思维能力。