《电路》第五版邱关源第十五章

2.
回路电流方程、结点电压方程和割
集电压方程的矩阵形式
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15-1 割集
割集Q
连通图G中支路的集合，具有下述性质： • 把Q中全部支路移去，图分成二个分离部分。 • 任意放回Q 中一条支路，仍构成连通图。
1 9 2 6 3 8 4 7 5
割集：(1 9 6)、 (2 8 9)、 (3 6 8) 、(4 6 7) 、(5 7 8)
u A un B u 0
T
B A un 0
T
B A 0 或
T
AB 0
T
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2. Bf 与Qf 之间的关系
对同一有向图，支路排列次序相同时，满足：
i B il Q i 0
T
Q B il 0
T
Q B 0 或 BQ 0
T T
对同一有向图，任选一树，按先树枝后连枝顺序有
问题
(3 6 5 8 7) 、 (3 6 2 8)是割集吗？
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基本割集
只含有一个树枝的割集。割集数 ＝ n-1
1 9 6 3 4 7 5
2
注意
8
① 连支集合不能构成割集。
②属于同一割集的所有支路的电流应满足 KCL。 当一个割集的所有支路都连接在同一个结点 上，则割集的KCL方程变为结点上的KCL方 程。
i1 i 2 1 2 3 i 0 3 3 4 6 i 4 1 4 5 i 5 i 6
n-1个独立 方程
i i i i i i i i i
矩阵形式的KCL: A i = 0
T B T f Qf Bf 1 Ql 0 1
Ql B
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T t
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3. A与Qf 之间的关系
A At Al Bf Bt 1 Q 1 Q l f
T t
对同一有向图，任选一树，按先树枝后连 枝顺序写出矩阵
②

l2
l3

6
1
矩阵形式的KCL： BT il = i
注意 树支电流可以用连支电流表示。 1 il 1 T T Bf T i B i T l t l B B i t t t
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it
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3. 基本割集矩阵Qf
割集与支路的关联性质可以用割集矩阵描述， 这里主要指基本割集矩阵。 支路b 注意 割 Q = 集 (n-1)b 每一行对应一个基本割集, 每一列对应一条支路。 数 矩阵Q的每一个元素定义为
第十五章 电路方程的矩阵形式
本章重点
15-1 15-2 *15-3 15-4 15-5 *15-6 *15-7 割集 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵 矩阵A、Bf 、Qf 之间的关系 回路电流方程的矩阵形式 结点电压方程的矩阵形式 割集电压方程的矩阵形式 列表法 首页
重点 1. 关联矩阵、割集矩阵、基本回路矩 阵和基本割集矩阵的概念
ul+Btut=0
ul= - Btut
T
②用回路矩阵BT表示矩阵形式的KCL方程。 设：
i [i1 i3 i4 i2 i5 i6 ]
il1 il il 2 il 3
独立回路电流
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1 0 0 1 1 0
0 0 il1 i1 1 0 il 2 i3 ３ ４ il1 0 1 3 i i ６ 4 l 3 2 i ① ③ l2 1 0 ５ i i i l 1 l2 2 il3 0 1 il1 il3 i ２ 5 1 1 1 ④ i i i
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2. 关联矩阵A
用矩阵形式描述结点和支路的关联性质。n个 结点b条支路的图用nb的矩阵描述： 支路b 注意 结 每一行对应一个结点， Aa= 点 每一列对应一条支路。 n
n b
矩阵Aa的每一个元素定义为
ajk
ajk=1 支路 k 与结点 j 关联，方向背离结点。 ajk= -1 支路 k 与结点 j 关联，方向指向结点。 ajk =0 支路 k 与结点 j 无关。
BtT il it
it Ql il
QT ut= u Bu=0 T ul= - Btut ul Ql ut
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*15-3
矩阵A、Bf 、Qf 之间的关系
三个矩阵从不同角度表示同一网络的连接性 质，它们之间自然存在着一定的关系。
1. A与B 之间的关系
对同一有向图，支路排列次序相同时，满足：
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②用矩阵AT表示矩阵形式的KVL方程。
设:
u u1 u2 u3 u4 u5 u6
T
un1 un3 1 0 1 u 1 un1 1 0 0 u 2 u n 1 u u u n1 n 2 3 1 0 T 1 A un un 2 u 4 0 1 0 u un2 n3 un 3 0 0 1 u 5 u 6 1 0 0 u n2
u1 u 2 u5 u3 u 2 u 6 0 u 4 u5 u 6
Bu=
0 0 1
0 -1 1
矩阵形式的KVL： B u = 0
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注意 连支电压可以用树支电压表示。 ul Bf u = 0 [1 Bt ] 0 ut
T B T t ABf At Al 0 1 T At Bt Al 0
或 B A Al
T t 1 t
Ql B A Al
-1 t
Qf 1 A Al
1 t
Q1: {1, 4, 5} Q2: {2, 5, 6} Q3: {3, 4 , 6}
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支
割集
1 2
3 4 5 6
３ ① ２
②
４ ６
Q1 1 0 0 1 1 0 Qf = Q2 0 1 0 0 -1 -1 Q3 0 0 1 1 0 -1
５ ④
1
③
Qt
Ql
[1 Ql ]
基本割集矩阵 Qf 的作用
矩阵形式的KVL：QfT ut = u
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注意 连支电压可以用树支电压表示。
ut 1 T u Qf ut T ut ul Ql
小结
A KCL KVL B BT il = i
ul Q ut
T l
Q Qf i=0
A i =0
AT un u
①用基本割集矩阵 Qf 表示矩阵形式的KCL方程。 设
i [i1 i2 i3 i4 i5 i6 ]
T
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i1 ② 1 0 0 1 1 0 i 2 ４ Qf i = 0 1 0 0 - 1 - 1 ３ i 3 ６ 0 0 1 1 0 -1 ① ③ ５ i 4 ２ i5 i1 i 4 i5 ④ 1 i 2 i5 i6 0 i 6
bij
-1 支路 j 在回路 i中，且方向相反。 0 支路 j 不在回路 i 中。
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例2-2 写图示电路的图的回路矩阵B 。
解 支1 2 回 3 4 5 6 ① ３ 1 B=2 3 0 1 1 0 0 1 0 0 0 -1 1 -1 1 -1 0 0 -1 0
② ４
1６ 2 ③ ５ ２ 3 ④ 1
的列对应于与划去结点相关联的一条支路。被画去 的行对应的结点可以当作参考结点。
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关联矩阵A的作用 ①用关联矩阵A表示矩阵形式的KCL方程。 设:
i =[ i1 i2 i3 i4 i5 i6 ] T
以结点④为参考结点 -1 -1 1 0 0 0 A i = 0 0 -1 -1 0 1 1 0 0 0 1 0
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例2-1 写图示电路的图的关联矩阵A 。 ②
解 1 Aa= 2 3 4 结 支 1 -1 0 1 0 2 -1 0 0 1 3 1 -1 0 0 4 5 6 0 0 0① -1 0 1 1 1 0 0 -1 -1 ３ ４
６
５
③
２
④ 1
特点
①每一列只有两个非零元素，一个是+1，一个 是-1，Aa的每一列元素之和为零。
t
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回路矩阵B的作用
①用回路矩阵B表示矩阵形式的KVL方程。
设
u [u1 u3 u4 u2 u5 u6 ]
ul ut
1 0 0 -1 -1 0 0 1 0 1 0 1
u1 u 3 u 4 u 2 u 5 u 6
l个独立 KVL方程
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注意
③对应一组线性独立的KCL方程的割集称为独 立割集 ，基本割集是独立割集，但独立割集 不一定是单树支割集。
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15-2 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵
1. 图的矩阵表示
图的矩阵表示是指用矩阵描述图的拓扑性质， 即KCL和KVL的矩阵形式。有三种矩阵形式： 结点 回路 割集 支路 支路 支路 关联矩阵 回路矩阵 割集矩阵
un1 un un2 un3
矩阵形式的 KVL
u A un
T
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2. 回路矩阵B
独立回路与支路的关联性质可以用回路矩阵B描述。
独 立 回 路
支路b
注意
每一行对应一个独立回路， 每一列对应一条支路。
B=
l b
l 矩阵B的每一个元素定义为： 1 支路 j 在回路 i 中，且方向一致。
i3 i 4 i6
n-1个独立 KCL方程
矩阵形式的KCL： Qf i =0
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②用 QfT 表示矩阵形式的KVL方程。 设树枝电压（或基本割集电压）：ut=[ u1 u2 u3 ]T
1 0 0 ut1 u1 0 1 0 ut2 u2 ut1 0 0 1 ut3 u3 T Qf ut ut2 u 1 0 1 ut1 ut3 u4 1 1 0 ut3 ut1 ut2 u5 0 1 1 ut2 ut3 u6
1
支路 j 在割集 i 中，且与割集方向一致。
qij
-1 支路 j 在割集 i中，且与割集方向相反。 0 支路 j 不在割集 i 中。
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规定 基本割集矩阵Qf
①割集方向为树支方向。 ②支路排列顺序先树支后连支。 ② ③割集顺序与树支次序一致。 ３ ４ 例2-3 写图示电路的图的基本 ６ ① ③ 割集矩阵Qf 。 ５ ２ 解 选 1、2、3支路为树。 ④ 1
②矩阵中任一行可以从其他n-1行中导出，即只 有n-1行是独立的。
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1 Aa= 2 3 4
结
支
1 -1 0 1 0
2 -1 0 0 1
3 1 -1 0 0
4 5 0 0 -1 0 1 1 0 -1
6 0 1 0 -1
支路b
A=
结 点 n-1
(n-1) b
降阶关联矩阵A
特点 A的某些列只具有一个+1或一个-1，这样
注意 给定B可以画出对应的有向图。
基本回路矩阵Bf 独立回路对应一个树的单连枝回路得基本 回路矩阵Bf 。
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规定 ①连支电流方向为回路电流方向。
②支路排列顺序为先连支后树支，回路 顺序与连支顺序一致。 上例中选 2、5、6为树，连支顺序为1、 3 、 4 。 支1 3 4 2 5 6 ② 回 1 1 0 0 -1 -1 0 ３ ４ B=2 0 1 0 1 0 1 3 ６ 2 ① ③ ５ 3 0 0 1 0 -1 1 ２ Bt Bl 1 ④ 1 = [1 B ]