第一章 多项式

第一章 多项式

§1 基本知识

§1. 1 基本概念

1、数域：由复数构成并含有数1,0的集合P 称为数域，如果P 关于数的加、减、乘、除（除数不为零）封闭。

2、多项式：形式表达式

n n x a x a a ++10 （1.1）

或

01a x a x a n n ++ （1.2）

其中n 是一个非负整数，n a a a ,,,10 全是数域P 中的数，（1.1）或（1.2）就称为系数在数域P 中的一元多项式，或简称为数域P 中的一元多项式。

（1.1）是多项式的升幂书写，（1.2）是降幂书写；i i x a 称为多项式的i 次项，i a 称为i 次项的系数；x 是一个文字。

3、零多项式：系数全部为零的多项式称为零多项式。

4、多项式的相等：设

∑==n

i i i x a x f 0

)(

∑==m i i i x b x g 0

)(

是数域P 上的两个一元多项式，如果当n m <时必有：01===+n m a a ，当m n <时必有：01===+m n b b 且 },min{,,1,0,n m i b a i i ==。

一个多项式可以任意去掉或添加一些系数为零的项。

5、多项式的次数：形为（1.1）或（1.2）的多项式中，若0≠n a ，则n n x a 称为多项式的最高次项或首项，n a 称为多项式的最高次项系数或首项系数，而非负整数n 就称为多项式的次数，零多项式没有次数。

6、多项式的和、差、积：设

∑==n

i i i x a x f 0

)(

∑==m i i i x b x g 0

)(

是数域P 上的两个一元多项式，不妨设n m ≤，且n m <时：01===+n m b b ，则

∑=+n i i i i x b a

)( ∑=-n i i i i x b a

0)(

∑+=n n k k k x c

称为多项式)(x f 和)(x g 的和、差、积，并记为)()(x g x f +、)()(x g x f -、)()(x g x f ，其中n m k b a b a c k i i k i k j i j i k +===

∑∑=-=+,,1,0,0 。

7、一元多项式环：数域P 上的一元多项式全体连同多项式的加法、减法、乘法，称为数域P 上的一元多项式环，记为][x P 。

8、商式与余式：在带余除法中，)0)()((≠x g x g 除)(x f 所得到的唯一的满足

)()()()(x r x g x q x f +=， 0)(=x r 或))(())((x g x r ∂<∂

的多项式)(),(x r x q 称为)(x g 除)(x f 所得到的商式，余式。

9、整除性、因式、倍式：设)(x f 和)(x g 都是][x P 中的多项式，如果存在][)(x P x q ∈，使得)()()(x g x q x f =，则称)(x g 整除)(x f ，记为)(|)(x f x g ，否则称)(x g 不整除)(x f ，

记为)(|)(x f x g /

，若)(x g 整除)(x f ，则称)(x g 是)(x f 的因式，)(x f 是)(x g 的倍式。 10、公因式、最大公因式：两个或两个以上的多项式的公共的因式，称为这些多项式的公因式；若这些多项式的所有公因式都是某一个公因式)(x d 的因式，则称)(x d 是这些多项式的最大公因式。

)(x d 是)(,),(),(21x f x f x f s 的公因式，当且仅当s i x f x d i ,,2,1),(|)( =；

)(x d 是)(,),(),(21x f x f x f s 的最大公因式，当且仅当

（1）s i x f x d i ,,2,1),(|)( =；

（2）若s i x f x g i ,,2,1),(|)( =，则)(|)(x d x g 。

11、多项式的互素：如果多项式)(,),(),(21x f x f x f s 的最大公因式是零次因式，则称)(,),(),(21x f x f x f s 为互素的多项式。

12、相伴多项式，平凡因式：)0)((为常数≠c x cf 称为多项式)(x f 的相伴多项式 ；零次因式和相伴因式称为多项式)(x f 的平凡因式。

13、可约与不可约多项式：能够分解为两个次数低于自己的多项式的乘积的多项式，称为可约多项式；不能分解为两个次数低于自己的多项式的乘积的次数大于零的多项式，称为不可约多项式。

14、多项式的标准分解式：设)(x f 是一个次数大于零的多项式，

)()()()(2121x p x p x ap x f s t s t t = （1.3）

（)(,),(),(21x p x p x p s 是两两不同的首1不可约多项式，s t i ,是正整数，s i ,2,1=，a 是)(x f 的首项系数）称为多项式)(x f 的标准分解式。

15、多项式的重因式（单因式、重因式）：不可约多项式)(x p 称为多项式)(x f 的k 重因式，如果)(|)(),(|)(1x f x p x f x p k k /+；若1>k ，)(x p 称为多项式)(x f 的重因式；若1=k ，)(x p 称为多项式)(x f 的单因式。

16、多项式的导数（微商）：设∑==

n i i i x a x f 0)(，则∑=-n i i i x ia 11称为多项式)(x f 的导数（微商）。

17、多项式函数：设][)(0x P x a x f n i i i

∈=∑=，若将文字x 视为数域P 上取值的量，则多项

式)(x f 定义了一个定义在P 上且取值也在P 上的函数，称为由多项式)(x f 确定的多项式函数。对于P c ∈，P c a c f n i i i

∈=∑=0)(称为c x =时，多项式函数)(x f 的值。

18、多项式的根（单根与重根）：P c ∈称为多项式)(x f 在数域P 上的根，如果0)(=c f ；