根轨迹的超前校正

学号：1109141002 2013 - 2014学年第1学期《MATLAB应用设计》

题目：基于根轨迹的相位超前校正

专业：电气工程学院

班级：电气工程及自动化（1）

姓名：操勇

指导教师：***

成绩：

电气工程系

基于根轨迹的相位超前校正

摘要：根轨迹法是一种直观的图解方法，它显示了当系统某一参数（通常为增益）从零变化到无穷大时，如何根据开环极点和零点的位置确定全部闭环极点位置。从根轨迹图可以看出，只调整增益往往不能获得所希望的性能。事实上，在某些情况下，对于所有的增益，系统可能都是不稳定的。因此，必须改造系统的根轨迹，使其满足性能指标。利用根轨迹法对系统进行超前校正的基本前提是：假设校正后的控制系统有一对闭环主导极点，这样系统的动态性能就可以近似地用这对主导极点所描述的二阶系统来表征。因此在设计校正装置之前，必须先把系统时域性能的指标转化为一对希望的闭环主导极点。通过校正装置的引入，使校正后的系统工作在这对希望的闭环主导极点处，而闭环系统的其它极点或靠近某

一个闭环零点，或远离s平面的虚轴，使它们对校正后系统动态性能的影响最小。

借助MATLAB，通过编写函数和程序，可以容易地设计出超前校正器，避免了繁琐的计算和绘图过程，从而为线性控制系统的设计提供了一种简单有效的途径。本文将基于根轨迹法设计超前校正器，并给出它的MATLAB实现。

关键词：根轨迹，超前校正，闭环零点，MATLAB

一、根据轨迹法

根据轨迹法进行超前校正的一般步骤为：

1)根据对系统静态性能指标和动态性能指标的要求，分析确定希望的开环增益和闭环主导极点的位置。

2)画出校正前系统的根轨迹，判断希望的主导极点位于原系统的根轨迹左侧，以确定是否应加超前校正装置。

3)根据题目要求解出超前校正网络在闭环主导极点处应提供的相位超前角。

根据图解法求得Gc(s)的零点和极点，进而求出校正装置的参数。

5)画出校正后系统的根轨迹，校核闭环主导极点是否符合设计要求。

二、超前校正的原理和方法

2、1前校正的原理

所谓校正，就是在调整放大器增益后仍然不能全面满足设计要求的性能指标的情况下，加入一些参数可以根据需要而改变的机构或装置，使系统整个特性发生变化，达到设计要求。

如果输入信号源的内阻为零，且输出端的负载阻抗为无穷大，则超前网络的传递函数可写为 1()1c aTs aG s Ts

+=+① （1-1） 式中1221R R a R +=> , 1212

R R T C R R =+ 通常a 为分度系数，T 叫时间常数，由式（1-1）可知，采用无源超前网络进行串联校正时，整个系统的开环增益要下降a 倍，因此需要提高放大器增益交易补偿。

根据式（1-1），可以得无源超前网络()c aG s 的对数频率特性，超前网络对频率在1/aT 至1/T 之间的输入信号有明显的微分作用，在该频率范围内，输出信号相角比输入信号相角超前，超前网络的名称由此而得。在最大超前角频率m ω处，具有最大超前角m ϕ。

超前网路（1-1）的相角为

()c arctgaT arctgT ϕωωω=- （1-2）

将上式对ω求导并令其为零，得最大超前角频率

（1-3） 将上式代入（1-2），得最大超前角频率

（1-4）

同时还易知 ''m c ωω=

ϕm 仅与衰减因子a 有关。a 值越大，超前网络的微分效应越强。但a 的最大值

受到超前网络物理结构的制约，通常取为20左右（这就意味着超前网络可以产生的最大相位超前大约为65度）。

利用超前网络行串联校正的基本原理，是利用其相角超前特性。只要正确地将超前网络的交接频率1/a T 或1/T 选在待校正系统截止频率的两旁，并适当选11arcsin 12m a a arctg a a ϕ--==+

择参数a 和T ，就可以使已校正系统的截止频率和相角裕度满足性能指标的要求，从而改善系统的动态性能。

2、2前校正的应用方法

待校正闭环系统的稳态性能要求，可通过选择已校正系统的开环增益来保证。用频域法设计无源超前网络的步骤如下：

1） 根据稳态误差要求，确定开环增益K 。

2） 利用已确定的开环增益，计算待校正系统的相角裕度。

3） 根据截止频率''c ω的要求，计算a 和T 。令''m c ωω=，以保证系统的响应速

度，并充分利用网络的相角超前特性。显然''m c ωω=成立的条件是

)(m '+=''c ωγϕγ '''()()10lg c c m L L a ωω-==

根据上式不难求出a 值，然后由（1-3）确定T 。

4） 验算已校正系统的相角裕度''γ。验算时，由式（1-4）求得m ϕ，再由已知

的''c ω算出待校正系统在''c ω时的相角裕度''()c γω。最后，按下式算出

)(m '+=''c ωγϕγ

如果验算结果不满足指标要求，要重选m ω，一般使m ω增大，然后重复以上步骤

三、制系统的超前校正设计

3、1正前系统初始状态分析

由已知条件，首先根据初始条件调整开环增益。因为 )1s 5.20(25.0)(+=s K s G 系统的静态速度误差系数v K =

0.25120-≤s ，故取=80s -1，

则待校正的系统开环传递函数为

)1s 5.20(20)(+=s s G 上式为最小相位系统，用MATLAB 画出系统伯德图，程序为：

num=[20];

den=[0.25,1,0];

bode(num,den)

grid

得到的图形如图2所示。

图2 校正前系统的伯德图

再用MATLAB求校正前的相角裕度和幅值裕度，程序为：num=[20];

den=[0.25,1,0];

sys=tf(num,den);

margin(sys)

[gm,pm,wg,wp]=margin(sys)

得到图形如图3所示