第三章地基中的应力计算

z
γz
σ z = γz
σ cz 线
σ z = γz
1
z
图 3.2 地基中自重应力的计算简图及分布
如果地面下土质均匀，土体重度为 γ ，则在天然地面上任意深度处 z 处的水平面上的竖 向自重应为
2
σ cz = γz
（3.1）
可见自重应力沿水平面均匀分布，且与 Z 成正比，即随深度按直线规律分布（见图 3.2） 。 地基中除有作用于水平面上的竖向自重应力外， 在竖直面上还作用有水平向的侧面自重 应力。 因为假定沿任一水平面上均匀地无限分布， 由此地基土在自重作用下只能产生竖向变 形， 而不能侧向变形和剪切变形。 从这个条件出发， 根据弹性力学， 侧向自重应力 σ cx 和 σ cy 应与 σ cz 成正比，而剪应力均为零，即：
p' max =
2N l 3( − e)b 2
（3.13）
三、基底附加压力 基础通常是埋置在天然地面下一定深度的。由于天然土层在自重作用下的变形已经完 成， 故只有超出基底处原有自重应力的那部分应力才使地基产生附加变形， 使地基产生附加 变形的基底压力称为基底附加压力 p0。 因此， 基底附加压力是上部结构和基础传到基底的接 触压力与基底处原先存在于土中的自重应力之差，按下式计算
1
力成分与材料的特性无关， 其它的应力成分也只与泊松比ν相关， 与弹性模量 E 无关。 所以， 尽管按弹性理论计算出的变形不合适（本章也不介绍地基变形的弹性理论方法） ，但按弹性 理论计算的应力分布的近似程度还能满足工程上的要求。 基于以上道理，可以采用下面的 弹性解析结果。 ① 用弹性力学的方法求地基中的应力分布，但沉降量则用固结沉降计算公式。例如， 可以根据 e—logp 的关系式计算沉降量（根据弹性力学的公式也可以计算出地基的 变形量，但是实际中不用它计算沉降，只用应力计算公式求应力分布） 。 ② 用弹性力学的方法求地基中的应力分布，估计可能发生问题的地基范围，确定调查 和讨论的必要范围（常常用后述的应力泡的方法） 。 ③ 用弹性力学的方法求基础底面的接触压应力，设计基础。 应该注意， 对于本来不是弹性体的地基， 用弹性力学的方法只适用于求应力并不能求解 地基的所有问题。所以，近年来，基于土的弹塑性本构关系式、有限元等数值计算方法被广 泛应用。
将公式(3.11)代入到公式(3.10)，得
p max =
min
F +G 6e (1 ± ) lb l
(3.12)
以下分析偏心距对接触压力的影响： （1）当 e<l/6 时，接触压力呈梯形分布，pmin＞0； （2）当 e＝l/6 时，接触压力呈三角形分布，pmin＝0；
8
（3）e>1/6 时，即荷载作用点在截面核心外，pmin＜0；接触压力出现拉力。但由于地 基土不可能承受拉力，此时基础与地基土局部脱开，使接触压力重新分布。根据偏心荷载与 接触压力的平衡条件， 接触压力的合力作用线应与偏心荷载作用线重合得基底边缘最大接触 压力 p ' max 为
30m
10m
p = 100kPa
p = 100kPa
p = 10kPa
p = 10kPa
图 3.1 地基中附加应力的影响范围比较
在计算地基中的附加应力时， 为了简化， 把地基简化为由土颗粒骨架和孔隙水共同组成 的弹性体， 把弹性力学的成果直接用于这样的弹性地基。 把这样由离散的土颗粒组成的符合 摩擦法则的土假定为弹性体，在小应变时也是很不合适的。例如，根据后面第四章可知，土 的模量随着约束应力的不同而不同。但是根据下面的公式可知，在弹性解中，垂直方向的应
3.3 各种荷载作用下地基内的附加应力
一、集中荷载下地基的附加应力 布辛奈斯克求出了在各向同性半无限线性弹性体（弹性参数有两个 E 和ν）的表面作 用集中荷载 Q 时，弹性体内部的应力分布和变形分布。在图 3.11 所示的（a）圆柱坐标系和 （b）直角坐标系中，应力分别表示如下： 圆柱坐标系下
3Qz 3 2πr 5 Q ⎡ 3ρ 2 z r ⎤ σρ = − (1 − 2ν ) 2 ⎢ 3 2πr ⎣ r r + z⎥ ⎦ σz = Q z r ( − ) σ t = −(1 − 2ν ) 2 2πr r r + z 3Qρz 2 τ ρz = 2πr 5
2.长方形基础的接触压力
p( x , y) =
4Q 1 2 2 π BL 1 − (2x / B) 1 − (2 y / L) 2
(3.7)
式中，Q 是作用于长方形基础的集中荷载，B 和 L 分别是基础的宽度和长度，x 和 y 分别是 距基础中心宽度和长度方向的距离。 3.圆形基础的接触压力
p( r ) =
7
重度；d 是基础埋置深度；M 是作用在基础底面的力矩，M=(F+G)·e，e 为偏心距；W 是基 础底面的抗弯截面抵抗距，即
W=
bl 2 6
（3.11）
式中，l，b 分别为基底平面的长边与短边尺寸。
（a）中心荷载下
（b）偏心荷载 e<l／6 时
（c）偏心荷载 e>l／6 时
图 3.10 接触压力分布的简化计算
6
(a)半无限弹性地基的接触压力分布
(b)端部屈服时的接触压力分布
图 3.8 刚性基础的接触压力分布
(a)砂土地基
(b)粘土地基
图 3.9 砂土地基与粘土地基的接触压力分布规律
二、接触压力的简化计算 实际中， 通常将接触压力假设为线性分布情况 （见图 3.10） ， 按下列公式进行简化计算：
平均接触压力
K 0 = 1 − sin φ
（3.4）
τ xy、τ yz、τ zx 是天然地面任意深度 z 处土单元体的剪应力。
地基土往往是成层的，因而各层土具有不同的重度。地下水位也应作为分层的界面。成 层土自重应力的计算公式为
σ cz = ∑ γ i hi
i =1
n
（3.5）
式中, n 是深度 z 范围内的土层总数； hi 是第 i 层土的厚度； γ i 是第 i 层土的天然重度，对 地下水位以下的土应取有效重度。图 3.3 给出了成层地基中自重应力的分布。
p=
F +G A
（3.9）
基础边缘最大与最小接触压力
p max =
min
F +G M ± A W
（3.10）
式中，F 是为作用在基础顶面通过基底形心的竖向荷载；G 是基础及其台阶上填土的总重，
G = γ G Ad ，其中， γ G 是基础和填土的平均重度，一般取 20 kN/m3，地下水位以下取有效
解
有效土压力
水压力
图 3.5 成层地基的压力分布
4
3.2 基底的接触压力
建筑物的荷载通过基础传给地基，这时基础底面向地基施加的压力叫接触压力。通常， 荷载传至基础底面的压力按均匀分布计算， 所以按均匀分布的接触压力计算地基中的附加应 力。然而，基础刚度大的时候，接触压力未必是均匀分布的。刚度小的基础，如图 3.6(a) 所示，基础就象橡胶膜似的传递压力，所以上部传来得均布荷载又均匀地传向地基，刚度大 的基础，如图 3.6(b)所示，上部传来的均布荷载通过基础，形成了基础端部应力集中的形 式传向地基。
p 0 = p − σ cz = p − γ 0 d
ห้องสมุดไป่ตู้
（3.14）
式中， p0 是基底附加压应力，由于建筑物的建设，基底在原自重应力基础上新增加的 压应力； d 是基础埋深，从天然地面算起；γ 0 是基底以上土的天然土层重度的加权平均值， 地下水位以下取有效重度。 γ 0 = (γ 1 h1 + γ 2 h2 + L) /( h1 + h2 + L) 。
9
⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭
(3.15)
在直角坐标系下
3Q z 3 2π r 5 ⎫ 3Q ⎧ z 2 1 − 2ν ⎡ r 2 − rz − z 2 2r + z 2⎤ σx = − 3 x ⎨ 5x + ⎬ ⎢ 3 ⎥ 2π ⎩ r 3 ⎣ r (r + z) r (r + z) 2 ⎦ ⎭ σz = σy = ⎤⎫ 2r + z 3Q ⎧ z 2 1 − 2ν ⎡ r 2 − rz − z 2 − 3 y 2 ⎥⎬ ⎨ 5 y + ⎢ 3 2 3 ⎣ r (r + z) r (r + z) 2π ⎩ r ⎦⎭ 2 3Q z τ zx = x 2π r 5 3Q z 2 τ zy = y 2π r 5 3Q ⎡ xyz 1 − 2ν xy(2r + z) ⎤ τ xy = − ⎢ ⎥ 2π ⎣ r 5 3 r 3 (r + z) 2 ⎦
p=
2q
1 1 − (2 x / B) 2
(2/8)B 0.735q (3/8)B 0.962q (4/8)B ∞
π
根据对称性，以条形基础中点为原点，列表计算不同位置的接触压力如下： x p 0 0.637q (1/8)B 0.657q
根据上表，可画出接触压力的分布图，如图 3.7 所示。
5
图 3.7 刚性条形基础下接触压力的分布图
σ cx = σ cy = K 0σ cz τ xy = τ yz = τ zx = 0
(3.2) (3.3)
式中， σ cz 是天然地面任意深度 z 处水平面上的竖直自重应力； σ cx 、 σ cy 分别是天然地面 任意深度 z 处竖直面上的水平自重应力； K 0 是土的侧压力系数或静止土压力系数。由实测 或按下经验公式确定。
第三章 地基中应力计算
土力学解决的基本问题是：地基的变形及土体的稳定性。要计算地基的沉降量，分析土 体的稳定性（包括承载力、挡土墙上的土压力及边坡稳定性）首先必须要知道在原始场地的 自重应力及在各种外荷载作用后的附加应力。 本章的任务就是解决土体中自重应力及附加应 力的计算。土体中附加应力的分布具有鲜明的尺寸效应，例如，在相同的基础底部压力作用 下， 大尺寸的基础的附加应力的影响深度深， 由此而产生的对地基变形和承载力的影响是非 常大的。 这可在地基的沉降计算及稳定性分析的章节中体会到。 图 3.1 给出了不同大小基础 下地基中附加应力影响范围的比较，从图 3.1 可看出基础的面积越大，附加应力分布的影响 范围也就越大。
3.1 自重应力
若将地基视为均质的半无限体， 土体在自重应力作用下只能产生竖向变形， 而无侧向位 移及剪切变形存在。如图 3.2 所示，在深度 z 处的平面上，土体因自身重力产生的竖向应力
σ cz 就等于单位面积上土柱体的重力。在计算土中自重应力时，只考虑土中某单位面积上的
平均应力。
天然地面
σ cz
(a)柔性基础
(b)刚性基础
图 3.6 基础的刚性和接触压力分布
一、接触压力的弹性力学解 布辛奈斯克假定地基是半无限弹性体，基础底面没有摩擦力，刚性基础的接触压力 p 按下式计算〕 。 1.条形基础的接触压力
p( x ) =
2Q 1 πB 1 − (2x / B) 2
(3.6)
式中，Q 是作用于条形基础的线荷载，B 是基础的宽度，x 是距基础中心的距离。 例题 3.2 假定地基是半无限弹性体，若忽略不计基础底面摩擦力的影响，试根据公式（3.6） 求刚性条形基础下接触压力的分布图形。 解 设 q=Q/B，代入公式（3.6）中，得
图 3.3 成层地基中自重应力分布
例题 3.1 绘出图 3.4 地基中的有效应力（有效应力的概念将在第 3.4 节中进一步说明）和水 压力分布图。
3
图 3.4 成层地基的土性情况
解 各层土分界面上的有效土压力分别为 17×1.5=25.5kN/m2 25.5＋0.5×19=35kN/m2 35＋2.5×(20－9.8)=60.5kN/m2 60.5＋6×(19.6－9.8)=119.3kN/m2 119.3＋3×(20.5－9.8)=151.4kN/m2 水压力分别为 2.5×9.8=24.5kN/m2 24.5＋6×9.8=83.3kN/m2 83.3＋3×9.8=35kN/m2 即可绘出土压力和水压力的分布图如图 3.5 所 示。
Q 2πR 2
1 1 − (r / R ) 2
(3.8)
式中，Q 是作用于圆形基础的集中荷载，R 是基础的半径，r 是距基础中心的距离。 由以上的公式可知，弹性地基上刚性基础的接触压力，在基础的端部为无穷大（参见图 3.8(a)） 。但是实际上，由于应力集中，在基础端部附近的土屈服后会产生应力重分布，形成 图 3.8(b)那样的比较均匀的应力分布形式。 另外砂土地基与粘土地基的接触压力也是不同的， 形成了图 3.9 所示的分布规律。据说，这是因为在基础端部，砂土比较容易向侧向移动，而 粘土具有粘着力不大容易向侧向移动。 或者这与砂土和粘土的压缩特性不同也有关系。 总之， 基础的接触压力分布会因基础的刚性、基础底面摩擦力的大小、地基的压缩特性以及变形、 强度特性、基础端部土的约束条件等因素的不同而不同，不能简单的下结论。