大题限时练(二) 函数、导数、不等式综合题

大题规范练(二) 函数、导数、不等式综合题

(限时：60分钟)

1．(2013·高考新课标全国卷)已知函数f (x )＝e x

(ax ＋b )－x 2

－4x ，曲线y ＝f (x )在点(0，

f (0))处的切线方程为y ＝4x ＋4.

(1)求a ，b 的值；

(2)讨论f (x )的单调性，并求f (x )的极大值．

2．已知函数f (x )＝

f ′（1）

e ·e x

－f (0)·x ＋12

x 2(e 是自然对数的底数)．

(1)求函数f (x )的解析式和单调区间；

(2)若函数g (x )＝12x 2

＋a 与函数f (x )的图象在区间[－1，2]上恰有两个不同的交点，求实数a 的取值范围．

3．(2013·高考湖北卷)设a >0，b >0，已知函数f (x )＝

ax ＋b

x ＋1

. (1)当a ≠b 时，讨论函数f (x )的单调性．

(2)当x >0时，称f (x )为a 、b 关于x 的加权平均数． ①判断f (1)，f ⎝

⎛⎭⎪⎫b a ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 是否成等比数列，并证明f ⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ≤f ⎝ ⎛⎭

⎪⎫

b a ； ②a 、b 的几何平均数记为G ，称2ab

a ＋b

为a 、b 的调和平均数，记为H ，若H ≤f (x )≤G ，求x 的取值范围．

4．(2013·高考天津卷)已知函数f (x )＝x 2

ln x .

(1)求函数f (x )的单调区间；

(2)证明：对任意的t ＞0，存在唯一的s ，使t ＝f (s )；

(3)设(2)中所确定的s 关于t 的函数为s ＝g (t )，证明：当t ＞e 2

时，有25＜ln g （t ）ln t ＜12.

5．(2014·山西省质检)已知函数f (x )＝12

m (x －1)2

－2x ＋3＋ln x ，m ≥1.

(1)当m ＝3

2时，求函数f (x )在区间[1，3]上的极小值；

(2)求证：函数f (x )存在单调递减区间[a ，b ]；

(3)是否存在实数m ，使曲线C ：y ＝f (x )在点P (1，1)处的切线l 与曲线C 有且只有一个公共点？若存在，求出实数m 的值；若不存在，请说明理由．

6．(2014·荆州市高中毕业班质量检查Ⅰ)已知f 0(x )＝x e x ，f 1(x )＝f ′0(x )，f 2(x )＝f ′

1(x )，…，

f n (x )＝f ′n －1(x )，n ∈N *

.

(1)请写出f n (x )的表达式(不需要证明)； (2)求f n (x )的极小值；

(3)设g n (x )＝－x 2

－2(n ＋1)x －8n ＋8，g n (x )的最大值为a ，f n (x )的最小值为b ，证明：a －b ≥e －4

.

大题规范练(二)

1．解：(1)f ′(x )＝e x

(ax ＋a ＋b )－2x －4. 由已知得f (0)＝4，f ′(0)＝4.故b ＝4，a ＋b ＝8. 从而a ＝4，b ＝4.(4分)

(2)由(1)知，f (x )＝4e x

(x ＋1)－x 2

－4x ，

f ′(x )＝4e x (x ＋2)－2x －4＝4(x ＋2)·⎝

⎛⎭

⎪⎫

e x

－12

.(6分)

令f ′(x )＝0，得x ＝－ln 2或x ＝－2.

从而当x ∈(－∞，－2)∪(－ln 2，＋∞)时，f ′(x )>0；(8分) 当x ∈(－2，－ln 2)时，f ′(x )<0.

故f (x )在(－∞，－2)，(－ln 2，＋∞)上单调递增，在(－2，－ln 2)上单调递减． 当x ＝－2时，函数f (x )取得极大值，极大值为f (－2)＝4(1－e －2

)．(12分) 2．解：(1)由已知得f ′(x )＝f ′（1）

e

e x

－f (0)＋x ，∴f ′(1)＝f ′(1)－f (0)＋1，即f (0)＝1.(2分)

又f (0)＝

f ′（1）

e

，∴f ′(1)＝e.

从而f (x )＝e x

－x ＋12

x 2.(4分)

显然f ′(x )＝e x

－1＋x 在R 上单调递增且f ′(0)＝0，故当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )＜0；当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )＞0.

∴f (x )的单调递减区间是(－∞，0)，单调递增区间是(0，＋∞)．(7分) (2)由f (x )＝g (x )得a ＝e x

－x .令h (x )＝e x

－x ， 则h ′(x )＝e x

－1.

由h ′(x )＝0得x ＝0.(9分)

当x ∈(－1，0)时，h ′(x )＜0；当x ∈(0，2)时，h ′(x )＞0. ∴h (x )在(－1，0)上单调递减，在(0，2)上单调递增， 又h (0)＝1，h (－1)＝1＋1e

，h (2)＝e 2

－2且h (－1)＜h (2)，

∴两个图象恰有两个不同的交点时，实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤1，1＋1e .(13分) 3．解：(1)f (x )的定义域为(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，f ′(x )＝

a （x ＋1）－（ax ＋

b ）（x ＋1）2＝a －b

（x ＋1）

2.(2分)

当a >b 时，f ′(x )>0，函数f (x )在(－∞，－1)，(－1，＋∞)上单调递增； 当a

(2)①计算得f (1)＝a ＋b

2>0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＝2ab a ＋b >0，f ⎝

⎛⎭⎪⎫b a ＝ab >0，故f (1)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＝a ＋b 2·2ab

a ＋

b ＝ab ＝⎣⎢⎡⎦

⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2

，①

所以f (1)，f ⎝

⎛⎭⎪⎫b a ，f ⎝ ⎛⎭

⎪⎫

b a 成等比数列．(6分)