基于种群集合的最优化方法

摘要在这篇文章中，提出了一个基于种群集合的最优化方法，它被用来解决一些基准函数还有比如有多目标函数的联合经济调度问题这种最佳潮流问题。这种算法会考虑到所有等式或者不等式约束条件。系统表现的进展是基于发电费用和有功功率损耗的减少上。提出的算法已经和其他的比如遗传算法、粒子群优化算法做过比较，结果是非常可观而且令人鼓舞。研究结果表明，该算法能提出解决CEED问题的更好方案。

简介

在过去几十年，一些算法已经被发展来解决某些特定问题。这些问题可能是工程或者数学上的问题，这些问题都需要适合他们的算法。比如遗传算法和粒子群优化算法就能就绝一些数学或者工程中的最优化问题。这些算法能够决定全局最优点，已经被应用到电力系统区域还有经济调度中去。

一个新的名叫基于种群集合的最优化算法也能解决这些问题。这个方法不仅能解决这些问题，还能比其他方法花费更少的时间，。这篇文章将会介绍他是如何解决基准函数和联合经济调度问题的。

基于种群集合的最优化算法

像遗传算法或是粒子群优化算法这样的进化算法都是基于种群这个概念的最优化技术。提出的最优化方法也是一个基于种群的搜索算法，它和遗传算法在随机产生初始种群的方面跟遗传算法是一致的。

初始化

初始的种群是随机产生的，候选的解决方案是遍布整个搜索空间的。在搜索空间的限制之内，在随机状态下产生N个候选的初始值。种群的规模应该比最初和最后的极限值大十倍。随机数在两个极限值范围之内。下面举一个约束问题的例子。

假定两个变量x 和y有范围：

a>x>b

c>y>d

所以产生了变量x的种群数字是10*（b-a+1），变量y的种群数字是10*（c-d+1），这些随机数字形成了集合。假设在a和b之间的随机数a、a1、a2…，b1，b2，…，b和c到d之间的随机数c，c1，c2，…，d1，d2，…，d。所以这个集合就是（a，c）,(a1,c),(a2,c),…,(b,c),(a,c1),(a1,c1),…,(b,d)。

计算适应度函数与再生新的种群

先要求出所有集合的适应度函数。先算出第一个集合的第一个个适应度函数和变量的对应值，再算下一个集合。新的适应度函数将和之前存储的适应度值作比较，如果新的值能够给出更多的最优解，那么适应度值就会更新为变量的对应值（x和y），否则还是原来的值。一直到所有的集合都结束。

再找到最好的最优解解决方案之后，问题就变了。自变量的范围也改变了。假设最优解“1”是有变量x获得，那么新的范围就是（a+1）/2<1<(b+1)/2。然后再操作之前相同的步骤，让新的范围在产生新的种群。

如果这些范围的差值（（b-a）或者（d-c）或者在第二轮新产生的范围）很小，比如小于等于10，那么在他们之间产生的随机数应该为100.

基于种群集合的最优化方法采取以下步骤：

第一步：

构建一个有N个候选的初始种群。在范围为10*（max-min+1）的区间内随机提取N个随机

数。

第二步：

使所有集合取到变量范围内所有的随机值，来产生一个所有集合都没落下的种群。

第三部：

计算第二步中的所有集合的适应度函数。同时比较新的适应度值和旧的适应度值，使适应度值和x和y的对应值更新，知道所有的比较结束。（对于最小值问题，在每一步中比较较低的适应度值，然后更新x和y的值，最大值亦然。这样给出新的x和y值）。

第四步：

用下试给定新的x和y的范围：

（x（new）+a）/2

（y（new）+a）/2

然后在这个范围内再产生随机数，在循环2到4的步骤，直到遇到停止标准，x（new）和y （new）的值不会变。

问题规划

Rosenbrock函数

这个函数也被人称为香蕉函数，因为它的函数图像像一个香蕉。他能用下面的数学公式表示出来。在这个问题中有两个范围在-5到5的预计变量。Rosenbrock函数在（1,1）点有一个大家都知道的最小值0。

Minimize f（x）=100（x2-x12）2+（1-x1）2 （1）

1，使所有的集合排列，

2，一个一个计算每个集合的适应度函数，同时比较更优化的方法来更新f（x）的值和对应的x1和x2的值。

3，得到新的x1和x2。改变这个问题，定义新的范围。

4，重复运算直到到达停止标准。

Eggcrate函数

Eggcrate函数能用下面的数学公式得到。在这个问题中有两个范围在-2π到2π的预计变量。Eggcrate函数在（0,0）点有一个大家都知道的最小值0。

Minimize f（x）=x12 +x22 +25（sinx12+sinx22）（2）

1，使所有的集合排列，

2，一个一个计算每个集合的适应度函数，同时比较更优化的方法来更新f（x）的值和对应的x1和x2的值。

3，得到新的x1和x2。改变这个问题，定义新的范围。

4，重复运算直到到达停止标准。具体的结果在表1中。

联合经济调度问题

联合经济调度问题是基于清洁空气的需要。集中污染物比如硫氧化物、氮氧化物和二氧化碳的排放是因为发电需要燃烧化学燃料而产生的。特别是氮氧化物的排放更为复杂。因此基于种群集合的最优化方法被应用到解决联合经济调度问题中去。因此引入了一种价格处罚因子（g）来帮助达到目标函数。

目标函数：minimize Φi= fi+g Eij Rs/h

受到约束：Plowi<=Pi<=Phighi 不等式约束

Pload= Pi +Ploss（等式约束）

Φi是整个系统的运营成本。适应度函数用上面的目标函数计算出。

PF是电力平衡处罚因子，g是价格平衡处罚因子。PF放在目标函数中是为了处罚任何违反