必修一 第一章 集合与函数概念 集合 集合间的基本关系
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B＝{0，|x|，x}， ∴x2＝|x|，当x＝1时x2＝1矛盾，∴x＝－1， ∴x＝y＝－1.
* (江苏苏北四市2010模拟)已知集合A＝{0,2，a2}，B＝
{1，a}，若A∪B＝{0,1,2,4}，则实数a的值为______．
[答案] 2 [解析] ∵A∪B＝{0,1,2,4}，∴a＝4或a2＝4，若a＝4， 则a2＝16，但16∉A∪B，∴a2＝4，∴a＝±2， 又－2∉A∪B，∴a＝2.
(1)∈与⊆的区别 ∈表示元素与集合之间的关系，因此有1∈N，－1∉N 等；⊆和表示集合与集合之间的关系，因此有N⊆R，∅ R等，要正确区分属于和包含关系．
(2)a与{a}的区别 一般地，a表示一个元素，而{a}表示只有一个元素a的
集合，因此有1∈{1,2,3},0∈{0}，{1}{1,2,3}，a∈{a，b，
为{a，b}，{a，c}，{b，c}共3个，含有3个元素时子集为
{a，b，c}共1个，另外还有空集∅，因此集合A共有8个子 集． (2)按上述方法，当集合A含有1个元素时子集个数为2， 含有两个元素时子集个数为4，含有4个元素时子集个数为
16，含有5个元素时子集个数为32.
(3)将上述子集个数整理为21,22,23,24,25 ，猜测当集合A 含有n个元素时子集个数为2n.
总结评述：当给定的问题涉及元素与集合、集合与 集合的关系时，要抓住基本概念去解题．此时要注意辨明
集合中元素的特征，对“包含”与“包含于”、“真包含”
与“真包含于”、“属于”与“不属于”等符号要进行仔 细辨认，以避免因疏忽而出错.
[例2] 判定下列集合之间是否具有包含或相等关系：
(1)A＝{x|x＝2m－1，m∈Z}， B＝{x|x＝4n±1，n∈Z}， (2)A＝{x|x＝－a2－4，a∈R}， B＝{y|y＝－b2－3，b∈R}，
总结评述：要特别注意a能否取到1，若把其它条件 不变，分别只改以下条件时，结论如何：
①M＝{x|x≥1}；②N＝{x|x≥a}；③M⊆N；④M⊇N；⑤
M N.
已知A＝{x|x＜3}，B＝{x|x＜a}
(1)若B⊆A，则a的取值范围是________； (2)若A⊆B，则a的取值范围是________； (3)若AB，则a的取值范围是________； (4)若A＝B，则a的值是________．
[例5]
已知集合A＝{x，xy，x－y}，集合B＝{0，|x|，
有限集合的相等，即集合中的元素一一对应
y}，若A＝B，求实数x，y的值． [分析] 相等，可以由此建立关于x、y的方程组来解决问题．
[Fra Baidu bibliotek析]
(1)∵0∈B，A＝B，∴0∈A，又由集合中元素
的互异性，可以断定|x|≠0，y≠0，
∴x≠0，xy≠0，故x－y＝0，即x＝y，此时A＝{x，x2,0}，
C；
(4)集合A不包含于集合B(A 况：
B)包括如下图所示几种情
3．集合相等与真子集 如果集合A的所有元素都是集合B的元素，同时集合B
的所有元素都是集合A的元素，那么就称集合A等于集合
B.(即：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B) 如果集合A是集合B的子集，并且存在x∈B，且 x∉A ， 则称A是B的真子集． 值得说明的是：
{a1 ，a2}⊆A⊆{a1 ，a2 ，a3 ，a4 ，a5}，求满足上述条件
的集合A的个数．
[解析] 集合A首先含有元素a1，a2，然后再从剩下的3 个元素中选取，即{a3 ，a4 ，a5}的子集总数为23 ＝8个，∴ 这样的集合A共有8个．
[例7]
若集合A＝{x|x2＋x－6＝0}，B＝{x|mx＋1＝0}，
B)或A与B相等(A＝B)两种情况．“AB”和“A＝B”二者
必居其一．反过来，A是B的真子集(AB)也可以说A是B的 子集(A⊆B)；A＝B也可以说A是B的子集(A⊆B)．要注意 A⊆B与B⊇A是同义的，而A⊆B与B⊆A是不同的． 4．用Venn图表达集合与集合之间的关系直观、方便，
尤其是抽象集合之间关系的问题，常用Venn图求解．
[解析]
a2＝5＋2 6＝5＋ 24＜5＋5＝( 10)2， ∴a＝ 2
＋ 3＜ 10， 是集合 M 中的一个元素， 2a＞ 10， ∴a 又 ∴2a 不是集合 M 中的元素， 而元素与集合之间的关系应由“属于 或不属于”来描述，∴①是错误的，⑤是正确的；再由{a} 是以 a 为元素的集合，{∅}表示的是以∅为元素的集合，且集 合与集合之间的关系由“包含或不包含”来描述，从而可以 判定③、④错误，②正确． 正确选项应为 A
A的所有元素无一遗漏地全部列出，只要举出一个即可．同 理要说明A⊆B成立，须给出严格的证明过程，但要说明 A⊆B不成立，只要能找出一个元素x0∈A，但x0∉B即可． ③注意集合表示的意义，它与表示集合时所采用字母
的名称无关．
指出下列各对集合之间的关系．
(1)A＝{x|x是两组对边分别平行的四边形}，
一、选择题 1．下列四个命题：①空集没有子集；②空集是任何集
合的真子集；③任何集合至少有两个子集；④若∅
则A≠∅，其中正确的个数是 ( A．1个 C．3个 B．2个 D．4个
A，
)
[答案] A
[解析] 空集是本身的子集，但不是本身的真子集， 它只有本身这一个子集，故①②③错，只有④正确．
[分析]
B⊆A包括B＝A与BA两种情形．当B＝A时，
集合B中一元二次方程有两实根0和－4；当B A时，有B ＝∅或B中一元二次方程有两相等实根0(或－4)．
[解析] A＝{－4,0} 1°若B＝A，则－4,0是方程x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0的
两根，∴a＝1.
2°若B＝∅，则Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)＜0， ∴a＜－1， 3°若B中只有一个元素，则Δ＝0，∴a＝－1， 经验证a＝－1时，B＝{0}满足．
(1)集合A是集合B的真子集，即A是B的子集，并且B中 至少存在一个元素 不是 A的元素；
(2)子集包括真子集和相等两种情况；
(3)空集∅是任何非空集合的真子集；
本节重点：子集的概念． 本节难点：属于与包含之间的区别．
1．学习子集的概念要特别注意概念中“任何一个元素” 而不是某些元素．
2．正确区别各种符号的含义．
∴A＝{x|x≤－4}，B＝{y|y≤－3}．
∴A B.
(3)∵若x＞0，y＞0，则必有x＋y＞0，∴B⊆A. 又∵若x＝－1，y＝2时，x＋y＞0，∴(－1,2)∈A.
又∵x＝－1＜0，∴(－1,2)∉B，∴B A.
总结评述：①如果要证明A＝B，只要证明A⊆B与 B⊆A同时成立即可．
②已知A⊆B，证明A B，并不需要将属于B而不属于
[答案] (1)a≤3 (2)a≥3 (3)a>3 (4)3
[解析] (1)若B⊆A应满足a≤3； (2)若A⊆B应满足a≥3； (3)AB应满足a>3； (4)若A＝B则a＝3.
[例4]
设集合A＝{x|x2 ＋4x＝0，x∈R}，B＝{x|x2 ＋
2(a＋1)x＋a2－1＝0，x∈R}，若B⊆A，求实数a的值．
(3)A＝{(x，y)|x＋y＞0，x∈R，y∈R}，
B＝{(x，y)|x＞0，y＞0，x，y∈R}．
[解析] (1)∵A＝{奇数},4n±1(n∈Z)必是奇数， ∴B⊆A.
又∵当m为偶数时，设m＝2n(n∈Z)，则2m－1＝4n－1；
当m为奇数时，设m＝2n＋1(n∈Z)，则2m－1＝4n＋1. 由此可见，不论m是何整数，2m－1∈B. 故A⊆B.综上所述，A＝B. (2)∵－a2－4≤－4，－b2－3≤－3，
BA，求m的值．
[错解] A＝{x|x2＋x－6＝0}＝{－3,2}，
∵BA，∴mx＋1＝0的解为－3或2.
当 mx＋1＝0 的解为－3 时，由 m· (－3)＋1＝0，得 m＝ 1 1 2＋1＝0，得 m＝－2； 3；当 mx＋1＝0 的解为 2 时，由 m· 1 1 综上所述，m＝3或 m＝－2
[例3] 则
已知M＝{x|x＞1}，N＝{x|x＞a}，且M
N，
(
A．a≤1 C．a≥1 [分析] B．a＜1 D．a＞1
)
为了形象直观地表示集合的关系．可借助数
轴，让a在x轴上运动，通过观察归纳M与N的关系，进而得
出1与a的关系．
[解析]
随着a在x轴上运动，集合N也在变化，满足M
N的情况如图，显见a＜1，故选B.
[辨析]
要解答本题，首先要搞清楚集合A的元素是什
么，然后根据B A，求m的值．
在这里未考虑“B＝∅，即方程mx＋1＝0无解”这一情
形导致错误．
[正解]
1° B＝∅ 即 mx＋1＝0 无解时，m＝0， 当
2° B≠∅时，∵A＝{x|x2＋x－6＝0}＝{－3,2}， 当 B A，∴mx＋1＝0 的解为－3 或 2. 当 mx＋1＝0 的解为－3 时，由 m· (－3)＋1＝0，得 m＝ 1 1 2＋1＝0，得 m＝－2； 3；当 mx＋1＝0 的解为 2 时，由 m· 1 1 综上所述，m＝0、m＝3或 m＝－2.
c}，{a}⊆{a，b，c}． (3)空集是集合中的特殊现象，A⊆B包括A＝∅的情形容 易漏掉，解题时要特别留意． (4){0}与∅的区别
{0}是含有一个元素0的集合，∅是不含任何元素的集
合，因此有∅{0}，∅＝{0}与∅∈{0}都是错误的．要正确 地判断元素与集合，集合与集合之间的关系．
3．正确地理解子集、真子集的概念 如果A是B的子集(即A⊆B)，那么有A是B的真子集(A
综上所述a＝1或a≤－1.
[点评] ①BA时，容易漏掉B＝∅的情况； ②B＝{0}或{－4}易造成重复讨论，应直接由Δ＝0，
求得a值再验证BA是否成立；
③分类讨论应按同一标准进行． 本题解答中，实际是按Δ>0，Δ＝0，Δ<0讨论B中方程 解的情况的．Δ>0对应B＝A；Δ＝0对应B＝{0}或B＝{－4}； Δ<0对应B＝∅.
若非空集合A＝{x|x2＋px＋q＝0}，B＝{x|x2 －3x＋2＝
0}，且B⊇A，求p、q满足的条件．
[解析] 因为B＝{1,2}，A⊆B，A≠∅. ∴A＝{1}，{2}或{1,2}． (1)A＝{1,2}时，p＝－3，q＝2； (2)A＝{1}时，p＝－2，q＝1；
(3)A＝{2}时，p＝－4，q＝4.
1．1.2
集合间的基本关系
1．观察下面几组集合，集合A与集合B具有什么关系？ (1)A＝{1,2,3}，B＝{1,2,3,4,5}．
(2)A＝{x|x＞3}，B＝{x|3x－6＞0}．
(3)A＝{正方形}，B＝{四边形}． 对于两个集合A、B，如果集合A中的任意一个元素都 是集合B的元素，那么称集合A是集合B的 A⊆B(或B⊇A)．用图表示为 子集 ， 记 作
．
用平面上封闭曲线的 内部 示法．这种图称作Venn图．
表示集合的方法称作图
2．理解子集概念注意以下几点：
(1)不含任何元素的集合称作空集．规定： 空集 是 任何集合的子集． (2)任何一个集合是它本身的子集． (3) 对 于 集 合 A 、 B 、 C ， 如 果 A⊆B ， B⊆C ， 那 么 A ⊆
[例 1]
设 a＝ 2＋ 3，M＝{x|x≤ 10}，给出下列关 ②M⊇{a}；
系；①a⊆M；
③{a}∈M; ④{∅}∈{a}； ⑤2a∉M； 其中正确的关系式共有 A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个 ( )
[分析]
解题的关键是确定出 a 与 10的大小， 正确使
用“属于”、“包含”等符号．
[例6] (1)A＝{a，b，c}，求集合A子集的个数．
(2)若集合A含有的元素分别为1个、2个、4个、5个， 则集合A的子集的个数分别是多少？ *(3)根据上面结果猜测集合A含有n个元素时，集合A子 集的个数．
[解析]
(1)确定集合A各种情形子集的个数：含有一个
元素时子集为{a}，{b}，{c}共3个，含有两个元素时子集
B＝{x|x是一组对边平行且相等的四边形}． (2)A＝{x|x是能被3整除的数}， B＝{x|x是能被6整除的数}． (3)A＝{x|x>3}，B＝{x|x>5}．
[解析] ∴A＝B.
(1)∵A＝{平行四边形}，B＝{平行四边形}，
(2)∵能被3整除的数不一定能被6整除，但能被6整除
的数一定能被3整除，∴B A. (3)∵x>5⇒x>3，但x>3⇒/ x>5，∴B A.
* (江苏苏北四市2010模拟)已知集合A＝{0,2，a2}，B＝
{1，a}，若A∪B＝{0,1,2,4}，则实数a的值为______．
[答案] 2 [解析] ∵A∪B＝{0,1,2,4}，∴a＝4或a2＝4，若a＝4， 则a2＝16，但16∉A∪B，∴a2＝4，∴a＝±2， 又－2∉A∪B，∴a＝2.
(1)∈与⊆的区别 ∈表示元素与集合之间的关系，因此有1∈N，－1∉N 等；⊆和表示集合与集合之间的关系，因此有N⊆R，∅ R等，要正确区分属于和包含关系．
(2)a与{a}的区别 一般地，a表示一个元素，而{a}表示只有一个元素a的
集合，因此有1∈{1,2,3},0∈{0}，{1}{1,2,3}，a∈{a，b，
为{a，b}，{a，c}，{b，c}共3个，含有3个元素时子集为
{a，b，c}共1个，另外还有空集∅，因此集合A共有8个子 集． (2)按上述方法，当集合A含有1个元素时子集个数为2， 含有两个元素时子集个数为4，含有4个元素时子集个数为
16，含有5个元素时子集个数为32.
(3)将上述子集个数整理为21,22,23,24,25 ，猜测当集合A 含有n个元素时子集个数为2n.
总结评述：当给定的问题涉及元素与集合、集合与 集合的关系时，要抓住基本概念去解题．此时要注意辨明
集合中元素的特征，对“包含”与“包含于”、“真包含”
与“真包含于”、“属于”与“不属于”等符号要进行仔 细辨认，以避免因疏忽而出错.
[例2] 判定下列集合之间是否具有包含或相等关系：
(1)A＝{x|x＝2m－1，m∈Z}， B＝{x|x＝4n±1，n∈Z}， (2)A＝{x|x＝－a2－4，a∈R}， B＝{y|y＝－b2－3，b∈R}，
总结评述：要特别注意a能否取到1，若把其它条件 不变，分别只改以下条件时，结论如何：
①M＝{x|x≥1}；②N＝{x|x≥a}；③M⊆N；④M⊇N；⑤
M N.
已知A＝{x|x＜3}，B＝{x|x＜a}
(1)若B⊆A，则a的取值范围是________； (2)若A⊆B，则a的取值范围是________； (3)若AB，则a的取值范围是________； (4)若A＝B，则a的值是________．
[例5]
已知集合A＝{x，xy，x－y}，集合B＝{0，|x|，
有限集合的相等，即集合中的元素一一对应
y}，若A＝B，求实数x，y的值． [分析] 相等，可以由此建立关于x、y的方程组来解决问题．
[Fra Baidu bibliotek析]
(1)∵0∈B，A＝B，∴0∈A，又由集合中元素
的互异性，可以断定|x|≠0，y≠0，
∴x≠0，xy≠0，故x－y＝0，即x＝y，此时A＝{x，x2,0}，
C；
(4)集合A不包含于集合B(A 况：
B)包括如下图所示几种情
3．集合相等与真子集 如果集合A的所有元素都是集合B的元素，同时集合B
的所有元素都是集合A的元素，那么就称集合A等于集合
B.(即：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B) 如果集合A是集合B的子集，并且存在x∈B，且 x∉A ， 则称A是B的真子集． 值得说明的是：
{a1 ，a2}⊆A⊆{a1 ，a2 ，a3 ，a4 ，a5}，求满足上述条件
的集合A的个数．
[解析] 集合A首先含有元素a1，a2，然后再从剩下的3 个元素中选取，即{a3 ，a4 ，a5}的子集总数为23 ＝8个，∴ 这样的集合A共有8个．
[例7]
若集合A＝{x|x2＋x－6＝0}，B＝{x|mx＋1＝0}，
B)或A与B相等(A＝B)两种情况．“AB”和“A＝B”二者
必居其一．反过来，A是B的真子集(AB)也可以说A是B的 子集(A⊆B)；A＝B也可以说A是B的子集(A⊆B)．要注意 A⊆B与B⊇A是同义的，而A⊆B与B⊆A是不同的． 4．用Venn图表达集合与集合之间的关系直观、方便，
尤其是抽象集合之间关系的问题，常用Venn图求解．
[解析]
a2＝5＋2 6＝5＋ 24＜5＋5＝( 10)2， ∴a＝ 2
＋ 3＜ 10， 是集合 M 中的一个元素， 2a＞ 10， ∴a 又 ∴2a 不是集合 M 中的元素， 而元素与集合之间的关系应由“属于 或不属于”来描述，∴①是错误的，⑤是正确的；再由{a} 是以 a 为元素的集合，{∅}表示的是以∅为元素的集合，且集 合与集合之间的关系由“包含或不包含”来描述，从而可以 判定③、④错误，②正确． 正确选项应为 A
A的所有元素无一遗漏地全部列出，只要举出一个即可．同 理要说明A⊆B成立，须给出严格的证明过程，但要说明 A⊆B不成立，只要能找出一个元素x0∈A，但x0∉B即可． ③注意集合表示的意义，它与表示集合时所采用字母
的名称无关．
指出下列各对集合之间的关系．
(1)A＝{x|x是两组对边分别平行的四边形}，
一、选择题 1．下列四个命题：①空集没有子集；②空集是任何集
合的真子集；③任何集合至少有两个子集；④若∅
则A≠∅，其中正确的个数是 ( A．1个 C．3个 B．2个 D．4个
A，
)
[答案] A
[解析] 空集是本身的子集，但不是本身的真子集， 它只有本身这一个子集，故①②③错，只有④正确．
[分析]
B⊆A包括B＝A与BA两种情形．当B＝A时，
集合B中一元二次方程有两实根0和－4；当B A时，有B ＝∅或B中一元二次方程有两相等实根0(或－4)．
[解析] A＝{－4,0} 1°若B＝A，则－4,0是方程x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0的
两根，∴a＝1.
2°若B＝∅，则Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)＜0， ∴a＜－1， 3°若B中只有一个元素，则Δ＝0，∴a＝－1， 经验证a＝－1时，B＝{0}满足．
(1)集合A是集合B的真子集，即A是B的子集，并且B中 至少存在一个元素 不是 A的元素；
(2)子集包括真子集和相等两种情况；
(3)空集∅是任何非空集合的真子集；
本节重点：子集的概念． 本节难点：属于与包含之间的区别．
1．学习子集的概念要特别注意概念中“任何一个元素” 而不是某些元素．
2．正确区别各种符号的含义．
∴A＝{x|x≤－4}，B＝{y|y≤－3}．
∴A B.
(3)∵若x＞0，y＞0，则必有x＋y＞0，∴B⊆A. 又∵若x＝－1，y＝2时，x＋y＞0，∴(－1,2)∈A.
又∵x＝－1＜0，∴(－1,2)∉B，∴B A.
总结评述：①如果要证明A＝B，只要证明A⊆B与 B⊆A同时成立即可．
②已知A⊆B，证明A B，并不需要将属于B而不属于
[答案] (1)a≤3 (2)a≥3 (3)a>3 (4)3
[解析] (1)若B⊆A应满足a≤3； (2)若A⊆B应满足a≥3； (3)AB应满足a>3； (4)若A＝B则a＝3.
[例4]
设集合A＝{x|x2 ＋4x＝0，x∈R}，B＝{x|x2 ＋
2(a＋1)x＋a2－1＝0，x∈R}，若B⊆A，求实数a的值．
(3)A＝{(x，y)|x＋y＞0，x∈R，y∈R}，
B＝{(x，y)|x＞0，y＞0，x，y∈R}．
[解析] (1)∵A＝{奇数},4n±1(n∈Z)必是奇数， ∴B⊆A.
又∵当m为偶数时，设m＝2n(n∈Z)，则2m－1＝4n－1；
当m为奇数时，设m＝2n＋1(n∈Z)，则2m－1＝4n＋1. 由此可见，不论m是何整数，2m－1∈B. 故A⊆B.综上所述，A＝B. (2)∵－a2－4≤－4，－b2－3≤－3，
BA，求m的值．
[错解] A＝{x|x2＋x－6＝0}＝{－3,2}，
∵BA，∴mx＋1＝0的解为－3或2.
当 mx＋1＝0 的解为－3 时，由 m· (－3)＋1＝0，得 m＝ 1 1 2＋1＝0，得 m＝－2； 3；当 mx＋1＝0 的解为 2 时，由 m· 1 1 综上所述，m＝3或 m＝－2
[例3] 则
已知M＝{x|x＞1}，N＝{x|x＞a}，且M
N，
(
A．a≤1 C．a≥1 [分析] B．a＜1 D．a＞1
)
为了形象直观地表示集合的关系．可借助数
轴，让a在x轴上运动，通过观察归纳M与N的关系，进而得
出1与a的关系．
[解析]
随着a在x轴上运动，集合N也在变化，满足M
N的情况如图，显见a＜1，故选B.
[辨析]
要解答本题，首先要搞清楚集合A的元素是什
么，然后根据B A，求m的值．
在这里未考虑“B＝∅，即方程mx＋1＝0无解”这一情
形导致错误．
[正解]
1° B＝∅ 即 mx＋1＝0 无解时，m＝0， 当
2° B≠∅时，∵A＝{x|x2＋x－6＝0}＝{－3,2}， 当 B A，∴mx＋1＝0 的解为－3 或 2. 当 mx＋1＝0 的解为－3 时，由 m· (－3)＋1＝0，得 m＝ 1 1 2＋1＝0，得 m＝－2； 3；当 mx＋1＝0 的解为 2 时，由 m· 1 1 综上所述，m＝0、m＝3或 m＝－2.
c}，{a}⊆{a，b，c}． (3)空集是集合中的特殊现象，A⊆B包括A＝∅的情形容 易漏掉，解题时要特别留意． (4){0}与∅的区别
{0}是含有一个元素0的集合，∅是不含任何元素的集
合，因此有∅{0}，∅＝{0}与∅∈{0}都是错误的．要正确 地判断元素与集合，集合与集合之间的关系．
3．正确地理解子集、真子集的概念 如果A是B的子集(即A⊆B)，那么有A是B的真子集(A
综上所述a＝1或a≤－1.
[点评] ①BA时，容易漏掉B＝∅的情况； ②B＝{0}或{－4}易造成重复讨论，应直接由Δ＝0，
求得a值再验证BA是否成立；
③分类讨论应按同一标准进行． 本题解答中，实际是按Δ>0，Δ＝0，Δ<0讨论B中方程 解的情况的．Δ>0对应B＝A；Δ＝0对应B＝{0}或B＝{－4}； Δ<0对应B＝∅.
若非空集合A＝{x|x2＋px＋q＝0}，B＝{x|x2 －3x＋2＝
0}，且B⊇A，求p、q满足的条件．
[解析] 因为B＝{1,2}，A⊆B，A≠∅. ∴A＝{1}，{2}或{1,2}． (1)A＝{1,2}时，p＝－3，q＝2； (2)A＝{1}时，p＝－2，q＝1；
(3)A＝{2}时，p＝－4，q＝4.
1．1.2
集合间的基本关系
1．观察下面几组集合，集合A与集合B具有什么关系？ (1)A＝{1,2,3}，B＝{1,2,3,4,5}．
(2)A＝{x|x＞3}，B＝{x|3x－6＞0}．
(3)A＝{正方形}，B＝{四边形}． 对于两个集合A、B，如果集合A中的任意一个元素都 是集合B的元素，那么称集合A是集合B的 A⊆B(或B⊇A)．用图表示为 子集 ， 记 作
．
用平面上封闭曲线的 内部 示法．这种图称作Venn图．
表示集合的方法称作图
2．理解子集概念注意以下几点：
(1)不含任何元素的集合称作空集．规定： 空集 是 任何集合的子集． (2)任何一个集合是它本身的子集． (3) 对 于 集 合 A 、 B 、 C ， 如 果 A⊆B ， B⊆C ， 那 么 A ⊆
[例 1]
设 a＝ 2＋ 3，M＝{x|x≤ 10}，给出下列关 ②M⊇{a}；
系；①a⊆M；
③{a}∈M; ④{∅}∈{a}； ⑤2a∉M； 其中正确的关系式共有 A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个 ( )
[分析]
解题的关键是确定出 a 与 10的大小， 正确使
用“属于”、“包含”等符号．
[例6] (1)A＝{a，b，c}，求集合A子集的个数．
(2)若集合A含有的元素分别为1个、2个、4个、5个， 则集合A的子集的个数分别是多少？ *(3)根据上面结果猜测集合A含有n个元素时，集合A子 集的个数．
[解析]
(1)确定集合A各种情形子集的个数：含有一个
元素时子集为{a}，{b}，{c}共3个，含有两个元素时子集
B＝{x|x是一组对边平行且相等的四边形}． (2)A＝{x|x是能被3整除的数}， B＝{x|x是能被6整除的数}． (3)A＝{x|x>3}，B＝{x|x>5}．
[解析] ∴A＝B.
(1)∵A＝{平行四边形}，B＝{平行四边形}，
(2)∵能被3整除的数不一定能被6整除，但能被6整除
的数一定能被3整除，∴B A. (3)∵x>5⇒x>3，但x>3⇒/ x>5，∴B A.